матрицы. Матрицы. Матрицы. Основные понятия. Матрицей называется прямоугольная таблица чисел. Пример 13
![]()
|
Матрицы. Основные понятия. Матрицей называется прямоугольная таблица чисел. Пример 13. ![]() ![]() ![]() ![]() В общем случае матрица может содержать ![]() ![]() ![]() Числа ![]() ![]() ![]() Элементы ![]() ![]() ![]() Матрицы называются равными, если у них равны элементы, стоящие на соответствующих местах, т. е. ![]() ![]() ![]() ![]() Квадратная матрица, у которой все элементы, кроме главной диагонали равны 0, называется диагональной. Пример 14. ![]() Если все элементы матрицы равны нулю, то матрица называется нулевой. Пример 15. ![]() Диагональная матрица, у которой каждый элемент диагонали равен 1, называется единичной. Пример 16. ![]() ![]() Квадратная матрица называется треугольной, если все элементы, расположенные по одну сторону от диагонали, равны нулю. Пример 17. ![]() ![]() Матрица, содержащая одну строку (столбец), называется вектором(вектор-строкой, вектор-столбцом). Пример 18. ![]() ![]() Матрица, полученная из данной заменой каждой ее строки столбцом с тем же номером, называется транспонированной ![]() Пример 19. ![]() ![]() Очевидно, что ![]() Действия над матрицами. Матрицы одинаковых размерностей можно складывать и вычитать. Если ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Пример 20. ![]() ![]() Умножение матрицы на число. Чтобы умножить матрицу на число, необходимо каждый ее элемент умножить на это число. Пример 21. Пусть ![]() ![]() ![]() ![]() Умножение матриц. Умножение матриц ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Пример 22. Пусть ![]() ![]() ![]() ![]() Видим, что в общем случае ![]() ![]() ![]() ![]() Матрица называется ступенчатой, если для её элементов выполняются условия: под первым не нулевым элементом каждой строки находится 0; первый ненулевой элемент любой строки находится правее первого не нулевого элемента любой строки, расположенной выше. Пример 23. Следующая матрица является ступенчатой. ![]() Элементарные преобразования матриц. Элементарными преобразованиями матриц являются: Перестановка местами двух любых её строк (столбцов). Умножение элементов какой-нибудь строки (столбца) на некоторое не нулевое число. Прибавление ко всем элементам строки (столбца) соответствующих элементов другой строки (столбца), умноженных на одно и то же число. Две матрицы ![]() ![]() Любую матрицу с помощью элементарных преобразований можно привести к ступенчатому виду. Определители. Определителемназывается квадратная числовая таблица, вычисляемая по определенным правилам. Пример 24. Если ![]() ![]() ![]() Если ![]() ![]() Так ![]() Если ![]() ![]() ![]() ![]() При вычислении определителей 3-го порядка удобно пользоваться правилом треугольников. С плюсом берутся произведения элементов стоящих на главной диагонали и элементы, стоящие в вершинах следующих треугольников. ![]() С минусом берутся произведения элементов, стоящих на второй диагонали и в вершинах следующих треугольников. В ![]() ![]() Вычисление определителей более высоких порядков осуществляется путем использования их свойств. Свойства определителей. Пусть дана квадратная матрица ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Алгебраическим дополнениемэлемента ![]() ![]() ![]() ![]() Свойства определителей. 1. Определитель не изменится, если его строки заменить столбцами и наоборот, т. е. ![]() 2. Определитель меняет знак при перестановке любых двух его строк (столбцов). 3. Определитель, имеющий две равные строки (столбца), равен 0. 4. Общий множитель строки (столбца) можно выносить за знак определителя, например ![]() 5. Если элементы какой-нибудь строки (столбца) представимы в виде суммы двух слагаемых, то определитель может быть представлен в виде суммы двух определителей, например ![]() 6. Определитель не изменится, если к какой-нибудь строке (столбцу) прибавить соответствующие элементы другой строки (столбца), умноженные на некоторое ненулевое число. ![]() 7. Определитель треугольной матрицы равен произведению её диагональных элементов. 8. Определитель равен сумме произведений элементов какой-нибудь его строки (столбца) на их алгебраические дополнения. Например ![]() ![]() Для вычисления определителя мы использовали разложение по второй строке, так как она содержит большее число нулевых элементов. 9. Сумма произведений элементов какой-нибудь строки (столбца) на соответствующее алгебраическое дополнение другой строки (столбца) равна 0. |