матрицы. Матрицы. Матрицы. Основные понятия. Матрицей называется прямоугольная таблица чисел. Пример 13
Скачать 144.4 Kb.
|
Матрицы. Основные понятия. Матрицей называется прямоугольная таблица чисел. Пример 13. , , , . В общем случае матрица может содержать строк и столбцов . Числа называются элементами матрицы, где - указывает номер строки, - указывает номер столбца. Элементы образуют главную диагональ матрицы. Если число строк равно числу столбцов, то матрица называется квадратной. Квадратная матрица размеров называется матрицей – го порядка. Матрицы называются равными, если у них равны элементы, стоящие на соответствующих местах, т. е. тогда и только тогда, когда , для всех , . Квадратная матрица, у которой все элементы, кроме главной диагонали равны 0, называется диагональной. Пример 14. . Если все элементы матрицы равны нулю, то матрица называется нулевой. Пример 15. . Диагональная матрица, у которой каждый элемент диагонали равен 1, называется единичной. Пример 16. , . Квадратная матрица называется треугольной, если все элементы, расположенные по одну сторону от диагонали, равны нулю. Пример 17. , . Матрица, содержащая одну строку (столбец), называется вектором(вектор-строкой, вектор-столбцом). Пример 18. , . Матрица, полученная из данной заменой каждой ее строки столбцом с тем же номером, называется транспонированной . Пример 19. ; Очевидно, что . Действия над матрицами. Матрицы одинаковых размерностей можно складывать и вычитать. Если , , то , причем , для всех . Пример 20. , . Умножение матрицы на число. Чтобы умножить матрицу на число, необходимо каждый ее элемент умножить на это число. Пример 21. Пусть , тогда . Матрица называется противоположной к матрице . Умножение матриц. Умножение матриц можно только в том случае, когда число столбцов матрицы равно числу строк матрицы В этом случае справедливо соотношение , причем элементы матрицы равны , , . Другими словами строки матрицы умножаются на столбцы матрицы Пример 22. Пусть , . Тогда , . Видим, что в общем случае . Если же выполняется условие , то матрицы и называются перестановочными друг с другом. Матрица называется ступенчатой, если для её элементов выполняются условия: под первым не нулевым элементом каждой строки находится 0; первый ненулевой элемент любой строки находится правее первого не нулевого элемента любой строки, расположенной выше. Пример 23. Следующая матрица является ступенчатой. . Элементарные преобразования матриц. Элементарными преобразованиями матриц являются: Перестановка местами двух любых её строк (столбцов). Умножение элементов какой-нибудь строки (столбца) на некоторое не нулевое число. Прибавление ко всем элементам строки (столбца) соответствующих элементов другой строки (столбца), умноженных на одно и то же число. Две матрицы называются эквивалентными, если одна из них получается из другой с помощью элементарных преобразований Любую матрицу с помощью элементарных преобразований можно привести к ступенчатому виду. Определители. Определителемназывается квадратная числовая таблица, вычисляемая по определенным правилам. Пример 24. Если , то . Так . Если , то . Так . Если , то . Так . При вычислении определителей 3-го порядка удобно пользоваться правилом треугольников. С плюсом берутся произведения элементов стоящих на главной диагонали и элементы, стоящие в вершинах следующих треугольников. С минусом берутся произведения элементов, стоящих на второй диагонали и в вершинах следующих треугольников. В торой метод заключается в том, что рядом с определителем справа записываются первый и второй столбцы и тогда с плюсом берутся произведения элементов, стоящих на главной диагонали и двух ей параллельных, с минусом – произведения элементов, стоящих на второй диагонали и двух ей параллельных. Вычисление определителей более высоких порядков осуществляется путем использования их свойств. Свойства определителей. Пусть дана квадратная матрица Из элементов этой матрицы можно составить определитель, который называется детерминантом матрицы и обозначается Минором некоторого элемента определителя называют определитель, который получается вычеркиванием из него строки и столбца. Например , . Алгебраическим дополнениемэлемента определителя называют число . Например , . Свойства определителей. 1. Определитель не изменится, если его строки заменить столбцами и наоборот, т. е. . 2. Определитель меняет знак при перестановке любых двух его строк (столбцов). 3. Определитель, имеющий две равные строки (столбца), равен 0. 4. Общий множитель строки (столбца) можно выносить за знак определителя, например . 5. Если элементы какой-нибудь строки (столбца) представимы в виде суммы двух слагаемых, то определитель может быть представлен в виде суммы двух определителей, например 6. Определитель не изменится, если к какой-нибудь строке (столбцу) прибавить соответствующие элементы другой строки (столбца), умноженные на некоторое ненулевое число. (I=I+II). 7. Определитель треугольной матрицы равен произведению её диагональных элементов. 8. Определитель равен сумме произведений элементов какой-нибудь его строки (столбца) на их алгебраические дополнения. Например . Для вычисления определителя мы использовали разложение по второй строке, так как она содержит большее число нулевых элементов. 9. Сумма произведений элементов какой-нибудь строки (столбца) на соответствующее алгебраическое дополнение другой строки (столбца) равна 0. |