решение балансовых уравнений с помощью обратной матрицы. высшая математика письменная работа. Матрицы

• Название: Матрицы
• Анкор: решение балансовых уравнений с помощью обратной матрицы
• Дата: 25.10.2020
• Размер: 51.94 Kb.
• Имя файла: высшая математика письменная работа.docx
• Тип: Задача; #145561

Оглавление

Введение 2

1. Матрицы 3

1.1 Понятие матрицы 3

1.2 Понятие обратной матрицы 4

2. Системы линейных уравнений 4

2.1 Основные понятия и определения 4

2.2 Методы решения систем линейных алгебраических уравнений 6

2.2.1 Метод обратной матрицы 6

3. Модель Леонтьева многоотраслевой экономики 6

3.1 Балансовый анализ. Основная задача межотраслевого баланса 6

3.2 Составление и решение балансового уравнения с помощью обратной матрицы 9

Заключение 14

Список использованных источников 15

Введение

Математика интенсивно проникает в другие науки: во многом этот процесс происходит благодаря разделению математики на ряд самостоятельных областей. Язык математики универсален, что является объективным отражением универсальности законов окружающего нас мира.

Экономика как наука об объективных причинах функционирования и развития общества пользуется разнообразными количественными характеристиками, а потому вобрала в себя большое число математических методов. Современная экономика использует методы, разработанные в XX в. Л.В. Канторовичем, В.В. Леонтьевым, Е.Е. Слуцким. В это же время интенсивно развивался и математический аппарат, применяемый в экономике.

Использование элементов алгебры матриц является одним из основных методов решения многих экономических задач. Этот вопрос стал особенно актуальным при разработке и использовании баз данных: при работе с ними почти вся информация хранится и обрабатывается в матричной форме.

Также существует ряд экономических задач, приводящих к составлению и решению систем линейных алгебраических уравнений на основе прогноза выпуска продукции по известным запасам сырья.

На основе алгебры матриц и аппарате матричного анализа американский экономист В.В. Леонтьев создал математическую модель, которая решает проблему баланса между отдельными отраслями мирового хозяйства.

Таким образом, применение элементов линейной алгебры в значительной степени упрощает способы решения многих задач экономики.

Тема моей работы: «Решение балансовых уравнений с помощью обратной матрицы».

Цель: обобщение и систематизация теоретического материала в рамках исследуемой проблемы.

Задачи:

Проанализировать литературу по математике и экономике.

Подобрать необходимый теоретический и практический материал из раздела линейной алгебры и адаптировать его.

Подобрать серию экономических задач и показать их решение с помощью элементов линейной алгебры.

1. Матрицы

1.1 Понятие матрицы

Понятие матрицы и основанный на нем раздел математики - матричная алгебра - имеют чрезвычайно важное значение для экономистов.

Определение 1. Матрицей размера mЧn называется прямоугольная таблица чисел, содержащая m строк и n столбцов. Числа, составляющие матрицу, называются элементами матрицы.

Матрицы обозначаются прописными заглавными буквами латинского алфавита, например, А, В, С,…, а для обозначения элементов матрицы используются строчные буквы с двойной индексацией: a_?, где i - номер строки, j - номер столбца.

Например, матрица А =

или в сокращенной записи А = , где i = 1, 2, …, m; j = 1,2, …, n.

Определение 2. Две матрицы А и В одного размера называются равными, если они совпадают поэлементно, то есть а_ij =b_ij для любых i =1,2, …,m; j=1,2, …,n.

С помощью матриц удобно записывать некоторые экономические зависимости. Например, таблица распределения ресурсов по отдельным отраслям экономики:

Ресурсы	Отрасли экономики
	промышленность	сельское хозяйство
Электроэнергия	5,3	4,1
Трудовые ресурсы	2,8	2,1
Водные ресурсы	4,8	5,1

Данная таблица может быть записана в компактной форме в виде матрицы распределения ресурсов по отраслям:

5,3 4,1

А= 2,8 2,1

4,8 5,1.

В этой записи, например, элемент а₁₁=5,3 показывает, сколько электроэнергии потребляет промышленность, а элемент а₂₂ =2,1 - сколько трудовых ресурсов потребляет сельское хозяйство.

Использование элементов алгебры матриц является одним из основных методов решения многих экономических задач. Этот вопрос стал особенно актуальным при разработке и использовании баз данных: при работе с ними почти вся информация хранится и обрабатывается в матричной форме.

1.2 Понятие обратной матрицы

Понятие обратной матрицы распространяется только на квадратные матрицы.

Определение 3. Матрица порядка n называется вырожденной, если ее ранг r < п.

Определение 4. Матрица A^-1 называется обратной по отношению к матрице A, если их произведение равно единичной матрице:

A·A^-1 = A^-1·A = E.

обратная матрица балансовое уравнение

Для вырожденной матрицы не существует обратной матрицы. Иными словами, если для некоторой матрицы порядка n ее ранг г < n, то для нее не существует обратной матрицы.

2. Системы линейных уравнений

2.1 Основные понятия и определения

Система m линейных уравнений с n переменными имеет вид:

а₁₁х₁ + а₁₂х₂ + … + а_1nх_n = b₁

а₂₁х₁ + а₂₂х₂ + … + а_2nх_n = b₂

… (1)

а_i1х₁ + а_i2х₂ + … + а_inх_n = b_i

…

а_m1х₁ + а_m2х₂ + … + а_mnх_n = b_m

где а_ij, b_i (i = 1,2, …, m; j = 1,2, …,n) - произвольные числа, называемые соответственно коэффициентами при переменных и свободными членами уравнений.

В более краткой записи с помощью знаков суммирования систему можно записать в виде:

n

У a_ijx_j = b_i (i = 1, 2, …, m).

j=1

Определение 5. Решением данной системы называется такая совокупность n чисел (х₁ = к₁, х₂ = к₂, …, х_n = к_n), при подстановке которых каждое уравнение системы обращается в верное равенство.

Определение 6. Система уравнений называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение, и несовместной, если она не имеет решений.

Определение 7. Совместная система уравнений называется определенной, если она имеет единственное решение, и неопределенной, если она имеет более одного решения.

Определение 8. Две системы уравнений называются равносильными, или эквивалентными, если они имеют одно и то же множество решений.

С помощью элементарных преобразований системы уравнений, рассмотренных применительно к матрицам (например, умножение обеих частей уравнений на числа, не равные нулю; сложение уравнений системы), получается система, равносильная данной.

Запишем систему (1) в матричной форме. Обозначим:

а₁₁ а₁₂ … а_1n х₁b₁

А = а₂₁ а₂₂ … а_2n; Х = х₂; В = b_2,… … … … ……

а_m1 а_m2 … а_mn х_n b_m

где А - матрица коэффициентов при переменных, или матрица системы, Х - матрица-столбец переменных, В - матрица-столбец свободных членов.

Так как число столбцов матрицы А_mЧn равно числу строк матрицы Х_nЧ1, то их произведение

а₁₁х₁ + а₁₂х₂ + … + а_1nх_n

АХ = а₂₁х₁ + а₂₂х₂ + … + а_2nх_n есть матрица-столбец.

…

а_m1х₁ + а_m2х₂ + … + а_mnх_n

Элементами полученной матрицы являются левые части системы (1). На основании определения равенства матриц систему (1) можно записать в виде:

АХ = В.

2.2 Методы решения систем линейных алгебраических уравнений

2.2.1 Метод обратной матрицы

Рассмотрим случай, когда число уравнений равно числу неизвестных, т.е. т = п. Система уравнении имеет вид:

а₁₁х₁ + а₁₂х₂ + … + а_1nх_n = b₁

а₂₁х₁ + а₂₂х₂ + … + а_2nх_n = b₂ (A)

…

а_n1х₁ + а_n2х₂ + … + а_nnх_n = b_n

В матричной форме система уравнений имеет вид АХ = В.

Пусть матрица системы А является невырожденной, т.е. существует обратная матрица А^-1. Умножив обе части этого уравнения слева на А^-1, получаем решение данной системы в матричной форме:

X = А^-1B.

3. Модель Леонтьева многоотраслевой экономики

3.1 Балансовый анализ. Основная задача межотраслевого баланса

Цель балансового анализа - ответить на вопрос, возникающий в макроэкономике и связанный с эффективностью ведения многоотраслевого хозяйства: каким должен быть объем производства каждой из n отраслей, чтобы удовлетворить все потребности в продукции этой отрасли? При этом, каждая отрасль выступает, с одной стороны, как производитель некоторой продукции, а с другой - как потребитель продукции и своей, и произведенной другими отраслями.

Связь между отраслями, как правило, отражается в таблицах межотраслевого баланса, а математическая модель, позволяющая их анализировать, разработана в 1936 году американским экономистом В. Леонтьевым.

Предположим, что рассматривается n отраслей промышленности, каждая из которых производит свою продукцию. Часть продукции идет на внутрипроизводственное потребление данной отраслью и другими отраслями, а другая часть предназначена для целей конечного (вне сферы материального производства) личного и общественного потребления.

Рассмотрим процесс производства за некоторый период времени, например, за год.

Введем следующие обозначения:

x_i - общий (валовой) объем продукции i - ой отрасли (i = 1, 2, …,n);

х_ij - объем продукции i - ой отрасли, потребляемой j - ой отраслью в процессе производства (i,j = 1, 2, …,n);

y_i - объем конечного продукта i - ой отрасли для непроизводственного потребления.

Так как валовой объем продукции любой i - ой отрасли равен суммарному объему продукции, потребляемой n отраслями, и конечного продукта, то

_n

x_i = У x_ij + y_i, (i = 1, 2, …,n). (1)

^j = 1

Уравнения (1) называются соотношениями баланса. Будем рассматривать стоимостный межотраслевой баланс, когда все величины, входящие в уравнения (1), имеют стоимостное выражение.

Введем коэффициенты прямых затрат

х_ij

а_ij = х_j, (i,j = 1, 2, …,n), (2)

показывающие затраты продукции i - ой отрасли на производство единицы продукции j - ой отрасли.

Можно полагать, что в некотором промежутке времени коэффициенты а_ij будут постоянными и зависящими от сложившейся технологии производства. Это означает линейную зависимость материальных затрат от валового выпуска, то есть

x_ij = а_ij х_j, (i,j = 1, 2, …,n), (3)

вследствие чего, построенная на этом основании модель межотраслевого баланса получила название линейной.

Теперь соотношения баланса (1) примут вид:

_n

x_i = У а_ij х_j + y_i, (i = 1, 2, …,n). (4)

^j = 1

х₁ а₁₁ а₁₂ … а_1n у₁

Обозначим Х = х_2, А = а₂₁ а₂₂ … а_2n, Y = у_2, (4')

……………………. …

х_n а_n1 а_n2 … а_nn у_n

где Х - матрица-столбец валового выпуска, Y - матрица-столбец конечного продукта, А - матрица прямых затрат (технологическая или структурная матрица). Тогда систему (1) можно записать в матричном виде:

Х = АХ + Y. (5)

Основная задача межотраслевого баланса состоит в отыскании такой матрицы валового выпуска Х, которая при известной матрице прямых затрат А обеспечивает заданную матрицу конечного продукта Y.

Перепишем уравнение (5) в виде:

Х - АХ = Y или ЕХ - АХ = Y,

отсюда по свойству дистрибутивности умножения матриц относительно сложения имеем:

(Е - А) Х = Y. (6)

Если матрица (Е - А) невырожденная, то есть | E - A | ?0, то получаем

Х = (Е - А) - ¹Y. (7)

Матрица S = (Е - А) - ¹ называется матрицей полных затрат.

Чтобы выяснить экономический смысл элементов матрицы S = (s_ij), зададим единичными матрицами конечного продукта Y'₁ = (1,0, …, 0), Y'₂ = (0,1,…, 0), …, Y'_n = (0,0, …,1), где знак "'" означает транспонирование матриц. Тогда по уравнению (7) соответствующие матрицы валового выпуска имеют вид: Х'₁ = (s₁₁, s₂₁, …, s_n1), X'₂ = (s₁₂, s₂₂, …, s_n2), …, X'_n = (s_1n, s_2n, …, s_nn).

Следовательно, каждый элемент s_ij матрицы S есть величина валового выпуска продукции i - ой отрасли, необходимого для обеспечения выпуска единицы конечного продукта j - ой отрасли y_j = 1 (j = 1, 2, …, n).

В соответствии с экономическим смыслом задачи значения x_i должны быть неотрицательны при неотрицательных значениях y_i ? 0 и a_ij ? 0, где i,j = 1, 2, …,n.

Матрица А ? 0 называется продуктивной, если для любой матрицы Y ? 0 существует решение Х ? 0 уравнения (6). В этом случае и модель Леонтьева называется продуктивной.

Существует несколько критериев продуктивности матрицы А. Один из них говорит о том, что матрица А продуктивна, если максимум сумм элементов ее столбцов не превосходит единицы: причем хотя бы для одного столбца (строки) эта сумма строго меньше единицы.

3.2 Составление и решение балансового уравнения с помощью обратной матрицы

Балансовое уравнение появляется в линейной модели экономики (модели Леонтьева) и может применяться для анализа и планирования деятельности предприятия, отрасли, а также экономики страны в целом. Рассмотрим суть этой модели на простейшем примере.

Предприятие производит три вида продукции в количестве х_1, х₂ и х₃ единиц каждого вида. Часть этой продукции расходуется внутри производства, а оставшаяся часть (товарная продукция) реализуется за пределами производства, поэтому можно, исходя из условия, что продукция каждого вида должна обеспечивать внутрипроизводственное потребление и запланированный объем продаж, составить систему уравнений:

х₁ = х₁₁ + х₁₂ + х₁₃ + y₁, х₁ - х₁₁ - х₁₂ - х₁₃ = y_1,х₂ = х₂₁ + х₂₂ + х₂₃ + y₂, или х₂ - х₂₁ - х₂₂ - х₂₃ = y_2,х₃ = х₃₁ + х₃₂ + х₃₃ + y₃, х₃ - х₃₁ - х₃₂ - х₃₃ = y_3.

Здесь х_ij - количество продукции вида i, расходуемое на производство продукции вида j, например х₂₃ - количество продукции второго вида, расходуемое на производство продукции третьего вида. Если разделить это количество на х₃, то можно найти, сколько продукции второго вида расходуется при производстве единицы продукции третьего вида.

Аналогично, отношение показывает, какое количество продукции вида i расходуется при производстве единицы продукции вида j. Поскольку такой расход зависит от используемой в производстве технологии, то указанное отношение называется технологическим коэффициентом. Обозначим его

a_ij = и, учитывая, что х_ij = a_ij Ч--х_j, перепишем вторую систему в виде:

х₁ - a₁₁х₁ - a₁₂х₂ - a₁₃х₃ = y_1,х₂ - a₂₁х₁ - a₂₂х₂ - a₂₃х₃ = y_2,х₃ - a₃₁х₁ - a₃₂х₂ - a₃₃х₃ = y_3.

Введем в рассмотрение три матрицы: матрицу А, составленную из техно - логических коэффициентов (технологическую матрицу или матрицу Леонтьева), матрицу X, характеризующую выпуск продукции (производственный вектор) и матрицу Y (вектор товарной продукции или конечного спроса).

а₁₁ а₁₂ а₁₃ x₁ y₁

А = а₂₁ а₂₂ а₂₃ Х = х₂ Y = y_2,а ₃₁ а₃₂ а₃₃ х₃ y₃

Используя введенные обозначения и помня правила действий с матрицами, систему можно записать в матричном виде:

X - AX = Y или (E - A) X = Y.

Составленное матричное уравнение и называется балансовым уравнением, его решение можно найти с помощью обратной матрицы:

X = (E - A) - 1Y.

Применить его можно следующим способом. По результатам деятельности предприятия за истекший период составляют балансовое уравнение и находят матрицу B = (E - A) - 1, которая называется матрицей полных производственных затрат. Элемент этой матрицы b_ij равен величине продукции i - того вида, необходимой для производства единицы товарной продукции j - того вида. Затем, зная величину конечного спроса на продукцию Y_H на новый производственный период, определим новый производственный вектор X_H по формуле

X_H = (E - A) - ¹ Y_H =BY_H.

Матрицу B можно найти по формуле обратной матрицы через алгебраические дополнения, а можно по приближенной формуле:

B ? E + A + A² + A³.

Рассмотрим пример решения задачи с использованием модели Леонтьева.

Результаты деятельности некоторого предприятия, состоящего из трех цехов, каждый из которых производит свой вид продукции, представлены следующей таблицей.

№ цеха	Валовая продукция	Из нее использовано для производства продукции подразделениями	Конечная (товарная) продукция
		1	2	3
1	100	10	5	40	45
2	100	30	-	30	40
3	200	20	20	-	140

Вычислим технологические коэффициенты и составим технологическую матрицу А.

a₁₁ = = 0,1; a₁₂ = = 0,05; a₁₃ = = 0,2.

a₂₁ = = 0,2; a₂₂ =; a₂₃ = = 0,15.

a₃₁ = = 0,2; a₃₂ = = 0,4; a₃₃ = 0.

0,1 0,05 0,2

А = 0,3 0 0,15.

0,2 0,4 0

Составим балансовое уравнение X - AX = Y и сделаем его проверку.

100 0,1 0,05 0,2 100 45

100 - 0,3 0 0,15 · 100 = 40.

200 0,2 0,4 0 200 140

Выполним действия в левой части уравнения:

100 0,1·100 + 0,05·100 + 0,2·200 100 50 45

100 - 0,3·100 + 0·100 + 0,15·200 = 100 - 60 = 40.

200 0,2·100 + 0,4·100 + 0·200 200 60 140

Т.к. левая часть уравнения равна правой, значит, уравнение составлено верно.

1 0 0 0,1 0,05 0,2 0,9 - 0,05 - 0,2

E - A = 0 1 0 - 0,3 0 0,15 = - 0,3 1 - 0,15.

0 0 1 0,2 0,4 0 - 0,2 - 0,4 1

Вычислим матрицу полных производственных затрат B = (E - A) - 1

а) по формуле обратной матрицы:

det (E - A) = 0,7655.

0,94 0,13 0, 2075 1,23 0,17 0,27

(E - A) - 1 = 0,33 0,86 0, 195 ? 0,43 1,12 0,25.

0,32 0,37 0,885 0,42 0,48 1,16

б) по приближенной формуле B ? E + A + A² + A³:

0,065 0,085 0,0275 0,0375 0,01425 0,02575

A2 = 0,06 0,075 0,06; A3 = 0,0405 0,027 0,2325;

0,14 0,01 0,1 0,037 0,047 0,0295

1, 2025 1,14925 0,25325 1,20 0,15 0,25

B ? E + A + A² + A³ = 0,4005 1,102 1,23325 ? 0,40 1,10 0,23.

0,377 0,457 1,1295 0,38 - 0,46 1,13

100

Определим новый производственный план, задав Y_H = 50.

80

0,94 0,13 0, 2075 100 153

X_H = 0,33 0,86 0, 195 50 ? 119.

0,32 0,37 0,885 80 159

Заключение

В настоящее время интенсивно развивается математический аппарат, применяемый в экономике. Использование элементов алгебры матриц является одним из основных методов решения экономических задач. Таким образом, на основе алгебры матриц и аппарате матричного анализа создана математическая модель В.В. Леонтьева, которая позволяет решить одну из основных проблем мировой экономики, а именно, проблему межотраслевого баланса.

Также в экономике имеется ряд задач, решение которых сводится к составлению и решению систем линейных алгебраических уравнений на основе прогноза выпуска продукции по запасам сырья.

Изучение математики и ее методов в экономике, составляющих основу современной экономики, позволяет не только значительно упростить способы решения многих экономических задач, но и приобрести необходимые навыки для этого, расширить кругозор, повысить уровень мышления и общую культуру.


Список использованных источников

1. 
   Анапольский Л.Ю., Никулина С.И. Сборник задач по математике в экономике. Ч.2. Линейная алгебра. Функции многих переменных. - Иркутск: Изд-во ИГЭА, 2001. - 142 с.
   
2. 
   Высшая математика для экономистов: учебник для вузов для эконом. специальностей /под ред.Н.Ш. Кремера. - 2-е изд., перераб. и доп. - М.: Юни - ти, 2000. - 471 с.: ил.
   
3. 
   Высшая математика для экономистов: учебник для студентов, обучающихся по экономическим специальностям/ [Н.Ш. Кремер и др.]; под ред. Проф.Н.Ш. Кремера. - 3-е изд. - М.: Юнити-Дана, 2015
   
4. 
   Данко, П.Е. Высшая математика в упражнениях и задачах: учеб. посо - бие для втузов: в 2 ч. Ч.1. /П.Е. Данко, А.Г. Попов, Т.Я. Кожевникова. - 5-е изд. испр. - М.: Высш. шк., 1999. - 304 с.
   
5. 
   Дегтярь Л.А., Мокриевич, А.Г. Линейные модели и линейные методы оптимизации: учебное пособие для самостоятельной работы студентов - пос. Персиановский: Донской ГАУ, 2014. - 54с.
   
6. 
   Дыхта В.А. Линейная алгебра и экономические модели: учеб. пособие. - Иркутск: Изд-во ИГЭА, 1997. - 234 с. - Серия "Основы математики для экономистов", вып.6.
   
7. 
   Задохина Н.В. Математика и информатика. Решение логико-познавательных задач: учебное пособие для студентов вузов / Н.В. Задохина. - М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2015
   
8. 
   Количественные методы в экономических исследованиях: учебник. Под редакцией М.В. Грачевой, Ю.Н. Черемных, Е.А. Тумановой.2-е изд., перераб. и доп. / Туманова Л.В., Грачева М.В., Черемных Ю.Н. - М.: Юнити-Дана, 2013
   
9. 
   Красс М.С., Б.П. Чупрынов. Математика для экономистов. Издательство "Питер", 2004
   
10. 
    Красс М.С. Математика для экономических специальностей.4-е изд. - М., Дело, 2003.
    
11. 
    Красс М.С., Чупрынов Б.П. Основы математики и ее приложения в экономическом образовании.4-е изд. - М.: Дело, 2003
    
12. 
    Кремер Н.Ш. Высшая математика для экономистов: учебник для студентов, обучающихся по кономическим специальностям. - М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2007. - 479 с.
    
13. 
    Кузнецов Б.Т. Математика: учебник для студентов вузов, обучающихся по специальностям экономики и управления / Б.Т. Кузнецов. - 2-е изд., перераб. и доп. - М.: Юнити-Дана, 2015
    
14. 
    Малугин В.А. Математика для экономистов: линейная алгебра: курс лекций: учеб. пособие /В.А. Малугин. - М.: Эксмо, 2006. - 216 с.: ил.
    
15. 
    Микрюкова О.И. Математика: методическое пособие по выполнению контрольной рабо - ты № 1 для заочного и дистанционного обучения студентов экономических специальностей. - Вологда: ВоГТУ, 2009. - 50 с.
    
16. 
    Минорский В.П. Сборник задач по высшей математике: учеб. пособие для втузов. - М.: Физматлит, 2008. - 336 с.
    
17. 
    Начала алгебры. Часть1/МихалевА.В., МихалевА.А. - М.: Национальный Открытый Университет "ИНТУИТ", 2016
    
18. 
    Никифорова И.А. Линейная алгебра: курс лекций/ И.А. Никифорова, Н.П. Шерстянкина. - Иркутск: Изд-воБГУЭП, 2015. - 100 с
    
19. 
    Никольский С.М., Бугров Я.С. Высшая математика: учеб. Для вузов: в3 т. - М.: Дрофа, 2004. - Т.1: Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии. - 288 с.
    
20. 
    Общий курс высшей математики для экономистов / Под ред.В.И. Ермакова. - М., 2002
    
21. 
    Полькина Е.А., Стакун Н.С. Сборник заданий по высшей математике с образцами решений (математический анализ): учебно-методическое пособие/ - МПГУ; Издательство Прометей", 2013