«Механика» бойынша д_рістер курсы. Материялы_ н_ктені_ _оз_алысы. Механика бойынша дрістер курсы. Материялы нктені озалысы
 Скачать 1.58 Mb.
|
|
Материалық нүктелер жүйесінің динамикасы Механикада бір бірімен өзара әсерлеуші денелердің қозғалысымен айналысуға тура келдеі.Мұндайжүйелерге, мәселен, кез келген машинаның вагондарымен бірге жылулық немесе электрлік тасымалдаушына Күн мен оның планеталарын және т.б. жатқызуға болады. Егер қозғалыс жүйені құрайтын денелердің мөлшері мен формасы ерекше бір роль атқармайтындай болса, онда материалық нүктелер жүйесінің қозғалсы жайлы қарасытырылады. Жүйені құрайтын денелер арасында әсер ететін күштерді ішкі күштер дейді. Жүйені құрайтын денелерге, бұл жүйеге кірмейтін басқа денелердің әсерінен болатын күштерді сыртқы күштер дейді. Дегенмен есептің қойылу шартына байланысты, бір күштің өзі ішкі де сыртқы да болуы мүмкін. Мәселен, егер күн жүйесін біртұтас етіп қарастырсақ, онда Күн мен планеталардың өзара әсерлесу күшін ішкі, ал жеке планеталарға немесе олардың серіктеріне қатысты (мәселен Жер мен Айдың қозғалысы) күштерді қарастырсақ оларды сыртқы деп аламыз. Массалар центрі. Механикалық жүйелер үшін массалар центрі деп аталатын түсініктің үлкен ролі бар. Элементарлы физикада денелерге әсер ететін күштердің ауырлық центрі жайлы қарастырылған. Енді ауырлық күштеріне байланыссыз, денелердің массалар центрі жайлы едәуір жалпы түсінік енгіземіз. Алдымен екі дененің массалар центрін қарастырайық. Екі материалдық нүктенің масслар центрі дегеніміз олардың массаларына кері пропорционал болатын, өзара арақашықтығын бөлетін нүктені айтады. Координаттары қозғалмайтын есептеу жүйесінде x,y,z, және x2,y2,z2 шамаларға сәйкес келетін, массалары m1 және m2 болатын екі екі материалдық нүкте болсын (13)-сурет. Анаметикалық геометриядан белгілі ереже бойынша кесіндіні m1,m2 берілген қатынасты бөлетін x,y,z, нүктелерінің координаттарымен келесі қатынаста байланысты. , , (31) Бұл теңдеулерді x,y,z координаттарына қатысты шешіп, мынаны табамыз: ; ; (32) Енді үш материалдық нүктенің масслар m2=2 центрін қарастырайық. Бұл да жоғарыдағы m1=1 екі нүкте үшін табылған массалар центріне 3-сурет m3=12 ұқсас анықталады. , , (33) 3-сурет бойынша:0- m1,m2 массаларының центрі m1,m2, m3 массаларының центрі Осы жолмен n материалдық нүктенің массалaр центрінің координаттарымен анықтауға болады. ; ; (34) Массалар центрінің қозғалысы. Механикалық жүйенің ілгерімелі қозғалысын біртұтас қозғалысы ретінде сипаттау үшін жүйенің ауырлық центрі деп аталатын бір нүктенің қозғалысын қарастыру жеткілікті. Өйткені онда жүйеге кіретін барлық денелердің массасы жинақталған. (34) теңдеуді мына түрде жазайық: ; ; ; (35) Бұл теңдеуді уақыт бойынша дифференциалдайық: ; (36) (36) теңдеулердің сол жағында материалдық нүктенің қортқы массаның, жылдамдық мәнін беретін көбейтінділеріне тең екендігін көруге болады. Ал олардың жағында дене импульсі немесе қозғалыс мөлшері мәндері тұр, яғни: (37) Механикалық жүйенің толық импульсі, жүйе денелердің массасына тең және оның массалар центрінің қозғалуына сай қозғалатын материалдық нүктелердің массасының импулсіне тең. (37) теңдеуді дифференциалдап, мынаны табамыз. (38) жүйенің массалар центрінің импульсі, -жүйеге әсер ететін күш векторы. Бұл импульстің сақталу заңын көрсетеді. Реактивті қозғалыс, Мещерский мен Циолковский теңдеулері. Табиғатта және техникада уақыттың өтуіне қарай массасы өзгеріп отыратын денелер жиі кездеседі. Мәселен планеталар массасы оларға метеориттердің құлау салдарынан артады, ол метариттердің массалары да ұшу кездерінде өзгереді. Айнымалы массалы денелер динамикасының жалпы заңдарын И.В.Мещерский мен К.Э.Циолковский зерттеп,ашты. T уақыт моментіндегі ракетаның массасы М, ал Оның жылдамдығы . Уақыттың аралығында ракетадан жылдамдықпен массасы бөлініп кетті Z X (4-сурет). Осыған байланысты И.В.Мещерский 1897 ж мыны формуланы қорытып шығарды. (39) Теңдіктің оң жағындағы F сыртқы күштердің қосындысы, оның ішінде ракетадан массаның үздіксіз бөліну салдарынан пайда болатын керек күш. Міне осы соңғы күшті реактивтік күш дейді. Осыған ұқсас 1903 ж К.Э.Циолковский мына формуланы қорытып шығарды. (40) Мұндағы -ракетаның бастапқы массасы, m-оның соңғы массасы, -ракетадан бөлініп шыққан дененің жылдамдығы . Ракеталарға космостық жылдамдық беру идеясын бірінші рет К.Э.Циолковский айтты. Бұл үшін ол көп сатылы ракета жасауды ұсынды. Қатты денелер механикасы Қатты дененің материалдық нүктелер жүйесі ретінд. Абсолютті қатты дене.Қатты дененің ілгерімелі және айнымалы қозғалысы. Барлық қатты денелерді көп санды материалдық нүктелер жүйесі деп қарастыруға болады. Қатты денені құрайтын бөлшектердің бір-біріне қатысты орналасуы өзгермейтін жағдайда қатты денені абсолюттік деп айтады. Мұндай қатты денелер деформацияланбайтындығы белгілі. Осы тұрғыдан алғанда абсолют қатты денелерді, реалды денелерге жақын, идеал деп санауға болады. Қатты дененің кез келген қозғалысы қарапайым екі қозғалыс жиынтығына алып келуі мүмкін ілгерілемелі және айналмалы қозғалыстар. Дененің және оны құрайтын бөлшектердің өздеріне қатысты парллель орны ауыстыруы кезіндегі қозғалысты ілгерілемелі қозғалыс дейді. Ілгерілемелі қозғалыс түзусызықты және қисықсызықты,бірқалыпты және бірқалырсыз болуы мүмкін. Мәселен темір жолдың түзусызқты бөлігіндегі поездың қозғалысы түзусызықты ілгерімелі қозғалысқа жатады және ол бірқалыпты үдемелі де болуы мүмкін. Осы сияқты демалыс парктеріндегі шайтан дөңгелек қозғалысы шеңбер бойымен ілгерімелі қозғалысқа жатады. Ілгерімелі қозғалыс кезінде дененің барлық нүктелері бірдей жылдамдыққа және бірдей үдеуге ие болады. Дененің барлық нүктелері айналу осі деп аталатын түзу бойынша шеңбер бойымен қозғалса, оны айналмалы қозғалыс дейді. Дененің айналу осі қозғалмайтын да, қозғалмалы да болуы мүмкін. Мәселен, электр қозғалтқышының роторы, қозғалмайтын ось бойыменайналады. Бір дененің өзі бір емес екі ось бойымен қозғалуы мүмкін. Мәселен О нүктесіндее орналасқан қозғалмайтын конус бетімен ОО′ ось бойымен екінші конус айналамалы қозғалысын. (6-сурет) Сонда соңғы конус ОО′ және ОО осьтері бойынша екі айналмаыл қозғалысқа қатысты деуге болады. Бұлардың нәтижесінде екі қозғалыста жалпы лездік айналу осі бойынша жүреді. Кез келген дене қозғалысы бір мезгілде ілгерілемелі , айналмалы да болуы мүмкін. Сондықтан қатты дене қозғалысының в еркіндік дәрежесі бар деп айтады. Бекітілген ось бойынша айналатын дененің еркіндік дәрежесі біреу, рельспен қозғалған дөңгелектің екі еркіндік дәрежесі бар-ілгерілемелі және айналмалы. Қозғалмайтын ось бойынша дененің айналуы. Күш моменті. Кез келген формадағы бір дене F күшінің әсерінен қозғалмайтын ОО′ осі бойынша айналсын. Осьтен күш түскен нүктеге дейінгі қашықтық r болсын. Денені айналдырушы күштің М моменті деп, сол айналдырушы F күшінің күш түсетін нүктенің сызатын шеңберінің r радиусына көбейтіндісіне тең. (1) Бұрыннан белгілі r-күш иіні деп аталады. Массасы ,жіпке байланған шариктің радиусы бар, 7.. шенбер бойымен қозғалысын қарастырайық. Шарик О JO жіптің деффмациялаушы күші мен ауырлық күшінің әсерінен қозғалады, оның алғашқысы әрқашан радиус бойымен центрге бағытталған, ал екіншісі онымен айнымалы өзгеріп отыратын бұрыш құрады. Шарикке әсер ететін қортқы күшпен жанама арасындағы бұрышты деп белгілейік Шарик тангенстік күш әсерінен тангенстік үдеу алады. Ньютонның екінші заңы бойынша; Бұрыштық үдеу болғандықтан (2) (2) теңдеудің екі жағын да r-ге көбейтіп (3) екендігін табамыз.(3) теңдеудің сол жағындағы шама айналу центріне қатысты күш моментін береді. күш иіні деп аталады. Инерция моменті болғандықтан, Күш моменті (4) Бұл теңдеуді дененің айнымалы қозғалысының негізгі теңдеуі дейді. Формасы әртүрлі денелер үшін айналу осіне қатысты инерция мометін есептеу формулаларын бірден жазайық: 1.Ұзындығы жіңішке стержень үшін инерция моменті: 2.Ұзындығы a,ені b болатын білеушінің инерция моменті: a b 3.Сыртқы радиусы R,ішкі радиусы r сақинаның инерция моменті: 4.Радиусы R жұқа сақинаның инерция моменті: 5.Радиусы R дененің инерция моменті: 6.Радиусы R шардың инерция моменті: Штейнер теоремасы Таңдап алынған оське қатысты дененің инерция моменті берілген оське параллель және массалар центрі арқылы өтетін оське қатысты инерция моментіне дененің массасы мен екі ось арақашықтығы көбейтіндісін қосқанға тең: Қатты дененің импульс моменті Айналу осіне қатысты дененің импульс моменті сан жағынан осы оське қатысты оның инерция моментінің айналуының бұрыштық жылдамдығының көбейтіндісіне тең. (5) Айнымалы қозғалған дене динамикасының негізі теңдеуін мына түрде жазайық: (6) Берілген оське қатысты қатты дененің инерция моментінің шамасы тұрақты болғандықтан (6)теңдеуді мына түрде жазуға болады: (7) Немесе (5)теңдеуді ескеріп мына түрде жазамыз : (8) Бұл теңдеу моменттер импульсінің теңдеуі деп аталады. Айналу өсіне қатысты дененің импульс моментінен алынған туынды сол оське қатысты денеге әсер етуші сыртқы күштердің моментіне тең. Немесе басқаша (9) Мұндағы болған жағыдайда (10) Бұл-айналмалы дене импульсі моментінің сақталу заңы . Айналатын қатты дененің кинетикалық энергиясы Берілген бұрыштық жылдамдықпен қозғалмайтын осьтен айналатын қатты денені қарастырайық.Оны өте ұсақ элементтерге бөлейік .Сонда -ші элементтің кинетикалық энергиясы мынаған тең: (11) Мұндағы сол элементтің массасы , оның сызықтық жылдамдығы . Егер элемент центрінен айналу өсіне дейінгі қашықтық болса онда екендігін ескеріп,бұл теңдеуді мына түрде жазамыз: (12) Дененің толық айналысының кинетикалық энергиясы оның жеке элементтерінің кинетикалық энергияларының қосындысына тең. (13) Мұндағы дененің айналу өсіне қатысты инерция моменті екендігін ескерсек : (14) Сонымен қозғалмайтын осьтен айналатын қатты дененің кинетикалық энергиясының формуласы материялық нүктенің кинетикалық энергиясының формуласына ұқсас,бірақ ондағы массасының инерция моменті, сызықтық жылдамдық рөлін бұрыштық жылдамдығы атқарады. Егер дене массалар центрі арқылы өтетін оське қатысты айнала қозғалса және мұнымен қатар ілгерілемелі қозғалса онда қатты дененің толық кинетикалық энергиясы дененің массалар центрінің ілгерілемелі қозғалысының кинетикалық энергиясы мен оның айналмалы қозғалысының кинетикалық энергиясының қосындысына тең: (15) Ілгерілемелі және айнымалы қозғалыстар жайлы білімдерді салыстырып ,есте сақтау үшін мынадай таблицаны пайдаланайық:
Гироскоп Өз өсі бойынша тез қозғалатын симметриялық денелер зырлдауық немесе гироскоп деп аталады. A 8-сурет кардон ілмесінде орнатылған B гироскоп C 8-суретте кардон ілмесіне орнатылған екі сақинадан тұратын гироскоп көрсетілген.Сыртқы сақина ,ішкі сақина осьтерінің бойымен айналады.Ал гироскопының осі кардон ілмесінің ішкі сақинасына тіреліп тұрады ,сондықтан ол кез-келген бағыт бойынша бұрыла алады.Гироскопта шапшаң айналдырып жіберіп,оның тіреуін кез келген жаққа бұрғанда гироскоптың айналыс осі өзінің бағытын өзгертпей сақтайды. Гироскоптар техникада кеңінен қолданылады.Мәселен,артқы дөңгелектері жетектеуші болып саналатын машиналарда кардондық білеу болады. Қатты денелердің тепе-теңдігі Еркіндік дәрежелер.Берілген денелер немесе денелер жүйесі үшін мүмкін болатын тәуелсіз қозғалысты механикада еркіндік дәреже дейді. Берілген денелер немесе денелер жүйесі үшін бір мезгілде мүмкін болптын тәуелсіз қозғалыстар санын еркіндік дәреже саны дейді. Мәселен,материалық нүктенің кез-келген орын ауыстыруы оның тәуелсіз үш бағыт бойынша ілгерілемелі қозғалысының нәтижесі деп қарастыруға болады.Сондықтан материалық нүктенің үш еркіндік дәрежесі бар. Өткенде айтқанымыздай еркін қатты дененің алты еркіндік дәрежесі бар.Оның массалар центрінің ілгерілемелі қозғалысының және массалар центрі арқылы өтетін үш ось бойымен айналмалы қозғалысын сипаттау үшін біз алты теңдеу құра аламыз.Олардың үшеуі қатты дененің массалар центірінің қозғалу заңы негізінде алынған: ; ; (16) Мұндағы күштер осьтері бой ынша әсер ететін сыртқы қортқы күштер. Басқа үш теңдеулер қатты дененің айналмалы қозғалыс динамикасы заңы негізінде алынған: ; ; (17) Мұндағы күш моменттері осьтері бойынша сыртқы күштер моменттері. Дене тепе-теңдікте болу үшін ,келесі алты шарт орындалуы қажет: ; ; ; ; Тепе-теңдік орнықты және орнықсыз болуы мүмкін . Арнайы салыстырмалық теория элементтері Салыстырмалық принципі. Барлық есептеу жүйелерін екі топқа бөлуге болады: инерциалдық және инерциалдық емес .Берілген дене қозғалысын кинематикалық жағынан сипаттау үшін есептеу жүйесінің қайсысы болса да жарамды.Дегенмен ,есептеудің инерциалдық жүйесінде ғана дене қозғалысын сипаттау қарапайым форма алады. Барлық инерциалдық есептеу жүйесінде барлық физикалық процестер бірдей жағыдайда өтеді.Осы тұжырымдама салыстырмалық принциптері деген атқа ие болады .Оны былай анықтауға болады:барлық инерциалдық есептеу жүйесінде физика заңдары бірдей математикалық форма алады.Бұдан,бір инерциалдық есептеу жүйесінде ашылған физикалық заңды ешқандай өзгеріссіз екінші инерциалдық есептеу жүйесінде қолдануға болатындығын көреміз. Салыстырмалылықтың механикалық принципі, әртүрлі инерциалдық жүйелерде жүргізген тәжірибелердің нәтижесінде Галилей қортындыланды.Механиканың барлық белгілі заңдары Галилей түрлендірулерімен үйлесімді (инвариантты).Басқа жүйелер үшін бұл түрлендірулер жарамды. Галилейдің салыстырмалық принципі қазіргі кезде былай айтылады:барлық инерциалдық есептеу жүйесінде бір механикалық құбылыс бірдей жағыдайда өтеді. Эйнштейн пастулаттары .Лоренц түрлендірулері Физикалық заңдар барлық инерциалды санақ жүйесінде бірдей,ендеше заңдардың жазылуының математикалық формасы түрлендірулерге инвариантты болуы қажет. Ваккумдағы жарық жылдамдығы барлық инерциалды санақ жүйесінде бірдей және оның таралу бағытына,жарық көзі мен қабылдаушының қозғалысына тәуелсіз. Жарық жылдамдығының тұрақтылығы Галилей түрлендіруімен келіспейді.Өйткені онда жарық бір санақ жүйесінен екіншіге ауысқан кезде өзгеріске ұшырайды деп көрсетілген. Эйнштейннің бұл кеңістік пен уақыт жөніндегі бұрыннан қалыптасқан абсольюттілік жайлы түсініктерді теріске шығаруы ғылымда төңкеріс жасады деуге болады.Ол кеңістік пен уақыт қасиеттері материалдық обьектілердің қозғалуына байланысты өзгереді деп түсіндірді. Жоғардағы екі пастулат негізінде Эйнштейн мынадай түрдегі жаңа түрлендірулер енгізді: , (1) , Мұндағы - және инерциалды санақ жүйелеріне қатысты салыстырмалы қозғалыс жылдамдығы, -вакумдағы жарық жылдамдығы,ал . (1)теңдеуде келтірілген қатыстар галландияның атақты физигі Г.А.Лоренцтің құрметіне Лоренц түрлендірулері деп аталады.Өйткені ол бұл түрлендіруді бірінші болып алған. Арнайы салыстырмалылық теориядағы кеңістік пен уақыт Лоренц түрлендірулерінен шығатын кеңістік пен уақыттың кейбір маңызды ерекшеліктерін карастырайық. Бірмезгіліктің салыстырмалылығы.Ньютон механикасында белгілі бір инерциалдық есептеу жүйесіндегі бірмезгілде болған оқиға басқа басқа инерциалдық санақ жүйесінде де бірмезгілде болады.Арнайы салыстырмалылық теорияда бұл қалай болатындығын көрейік. жылжымалы жүйесіндегі және нүктелерінде бір мезгілде екі оқиға болсын.Бұл оқиғалар қозғалмайтын есептеу жүйесінде уақыттың және әртүрлі моментіндегі өтеді.Жоғардағы Лоренц түрлендірулері бойынша : ， Мұнда . Сонымен арнайы салыстырмалылық теорияда бір есептеу жүйесінде бір мезгілде өткен екі оқиға басқа жүйеде бірмезгілде болмай қабылданады. Оқиға ұзақтылығының салыстырмалылығы.Уақыттың баяулау эффектісі.Қозғалатын есептеу жүйесінің қозғалмайтын нүктесінде уақытқа созылған оқиға болсын,мұндағы және оқиғаның басталуы мен аяқталуы.Осы құбылыстың қозғалмайтын есептеу жүйесіндегі бақылаушы өз жүйесіндегі сағат бойынша және моменттерімен байланыстырып оқиғаның басы мен аяқталуын және деп белгіледі. Сонда (1)Лоренц түрлендіруі бойынша: , (1) Бұдан есептеу жүйесіндегі оқиғаның ұзақтығы мынаған тең: (2) Яғни, жүйесіне қарағанда оқиға едәуір ұзағырақ болып көрінеді.Мұны уақыттың баяулау эффектісі дейді.Сонымен бір ғана оқиғаның ұзақтығы әртүрлі инерциалды санақ жүйесінде бірдей болып шығады. Ұзындықтың салыстырмалылығы.Қозғалыстағы есептеу жүйесінде осі бойында ұзындығы ұзындығы бар кесінді (мәселен сызғыш)жатсын.Мұндағы және уақыттың белгілі бір моментіндегі жүйесінде белгіленген кесіндінің басы мен аяғының координаттарын кескіндейік деп алайық. жүйесіндегі бақылаушы үшін кесінді жылдамдықпен қозғалатын болады.уақыттың белгілі бір моментіндегі кесіндінің ұзындығын және координаттарымен байланыстырып және деп белгілейік. , Бұдан: деп белгілеп,және екендігін ескеріп: (3) екендігін табамыз. Сонымен жүйесіндегі бақылаушы қозғалыстағы кесіндінің ұзындығының осы кесіндінің тыныштықта болған өзінің ұзындығынан есе аз екендігін табады. |