Механики
 Скачать 4.29 Mb.
|
4.4. Рассчитаем характеристики замкнутой однородной экспоненциальной СеМО , полученной путём преобразования разомкнутой СеМО ( рис . 4.12), рассмотренной в Примере 4.2, в замкнутую Положим , что « нулевая точка », отображающая завершение обслуживания заявок в сети и мгновенное формирование новой заявки , выбрана на дуге , выходящей из узла 1 и входящей снова в этот же узел ( рис .4.14). Напомним , что в ЗСеМО относительно « нулевой точки » рассчитываются временн ы е сетевые характеристики : время нахождения в состоянии ожидания и время пребывания заявок в сети , а также производительность ЗСеМО ЗСеМО содержит 4 = n одноканальных узла , связи между которыми описываются той же матрицей вероятностей передач : 0 0 0 1 0 4 1 0 0 0 0 3 1 0 0 0 0 2 0 7 , 0 2 , 0 0 1 , 0 1 0 0 0 1 0 0 4 3 2 1 0 = P Раздел 3. Аналитическое моделирование 153 Следовательно , коэффициенты передач для всех узлов , рассчиты - ваемые путём решения системы линейных алгебраических уравнений (4.17), будут иметь те же самые значения : 10 1 = α ; 2 2 = α ; 7 3 = α ; 9 4 = α В ЗСеМО циркулирует М заявок , средние длительности обслужи - вания которых в узлах равны : 8 , 0 1 = b с ; 2 2 = b с ; 4 , 0 3 = b с ; 3 , 0 4 = b с Ниже в табл .4.6 представлены значения времени пребывания ) (M u i и числа заявок ) (M m i в узлах сети , а также среднего времени пребывания ) (M U заявок в сети и производительности ) ( 0 M λ , рассчитанные на основе выражений (4.18) – (4.21), для числа циркулирующих в сети заявок 6 , , 2 , 1 K = M Корректность выполненных расчетов подтверждается тем , что для всех 6 , , 2 , 1 K = M выполняется проверочное условие : ∑ = = 4 1 ) ( i i M M m . Таблица 4.6 M i ) (M u i ) (M U ) ( 0 M λ ) (M m i 1 0,8 0,46 2 2,0 0,23 3 0,4 0,16 1 4 0,3 17,5 0,057 0,15 1 1,17 1,02 2 2,46 0,43 3 0,46 0,28 2 4 0,35 22,94 0,087 0,27 1 1,61 1,68 2 2,86 0,59 3 0,51 0,37 3 4 0,38 28,87 0,104 0,36 1 2,14 2,43 2 3,19 0,72 3 0,55 0,44 4 4 0,41 35,29 0,113 0,42 1 2,74 3,25 2 3,45 0,82 3 0,57 0,48 5 4 0,42 42,14 0,119 0,45 1 3,40 4,14 2 3,63 0,88 3 0,59 0,50 6 4 0,44 49,35 0,122 0,48 На рис .4.15 представлены зависимости производительности рассма - триваемой замкнутой СеМО и среднего времени пребывания заявок в сети 154 Раздел 3. Аналитическое моделирование от количества 10 , 1 = M циркулирующих заявок Анализ полученных результатов показывает , что все характеристики , включая производитель - ность 0 λ , растут с увеличением M. 0 0,02 0,04 0,06 0,08 0,1 0,12 0,14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Количество заяок П р о и з в о д и те л ь н о с ть 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Количество заявок В р е м я п р е б ы в а н и я Производительность сети асимптотически приближается к максимально возможной производительности ( пропускной способности ЗСеМО ), совпадающей с предельно допустимой интенсивностью поступления заявок в аналогичной разомкнутой СеМО ( см Пример 4.1), при которой в сети отсутствуют перегрузки , и равна 1 0 с 125 , 0 − = λ Среднее время пребывания заявок в ЗСеМО растёт неограниченно с увеличением количества заявок с сети Остальные характеристики замкнутой СеМО ( загрузки и коэффици - енты простоя узлов , время ожидания , длины очередей и число заявок в узлах сети , полное время ожидания в сети ) могут быть рассчитаны с использованием фундаментальных соотношений , представленных в разделе 3 ( п .3.4.3). 4.5.4. Анализ свойств замкнутых СеМО Для замкнутых СеМО , как и для разомкнутых , наибольший интерес представляют свойства сети в целом , в частности , влияние циркули - рующих в ЗСеМО числа заявок , на такие сетевые характеристики как производительность 0 λ замкнутой СеМО и среднее время пребывания U заявок в сети Анализ представленных на рис .4.16, зависимостей позволяет сфор - мулировать следующие выводы 1. Зависимость ) ( 0 M f = λ производительности ЗСеМО 0 λ от числа M циркулирующих заявок вначале растёт с увеличением M до некоторо - го значения 0 M , после которого рост производительности замедляется , а с дальнейшим увеличением M производительность сети асимптотически стремится к некоторому предельному значению 0 ˆ λ , представляющему Рис.4.15. Производительность и время пребывания заявок в ЗСеМО Раздел 3. Аналитическое моделирование 155 собой пропускную способность ЗСеМО Для объяснения этой зави - симости вспомним , что производи - тельность замкнутой сети измеряет - ся как интенсивность потока заявок , проходящих через некоторую условную точку , обозначаемую как «0» и расположенную на одной из дуг СеМО , отображающей заверше - ние обслуживания заявок в сети и мгновенное формирование новой заявки , поступающей в сеть Выше ( см пример 4.4) было показано , что увеличение числа заявок в замкнутой СеМО приводит к увеличению значений всех сетевых характеристик , включая производительность 0 λ В свою очередь , увеличение производительности приводит к увеличению загрузок узлов СеМО , связанных с интенсивностью 0 λ зависимостью : j j j j K b 0 λ α ρ = , где j j b , α и j K – соответственно коэффициент передачи , средняя длитель - ность обслуживания и количество приборов в узле n j , 1 = Когда число заявок в ЗСеМО достигает некоторого значения 0 M , загрузка одного из узлов становится близкой к 1, при этом практически прекращается рост производительности , которая при ∞ → M достигает своего предельного значения – пропускной способности 0 ˆ λ Такой узел представляет собой « узкое место » сети , и значение пропускной способности 0 ˆ λ определяется пропускной способностью узкого места из условия , что загрузка у ρ этого узла равна 1: 1 0 = = у у у у K b λ α ρ Отсюда пропускная способность замкнутой СеМО : у у у b K α λ = 0 ˆ , где у у b , α и у K – соответственно коэффициент передачи , средняя длительность обслуживания и количество обслуживающих приборов в узле , являющимся узким местом Правая часть последнего выражения представляет собой пропускную способность узла , являющегося узким местом сети : у у у у b K α µ = M 0 λ 0 0 M ) (M f U = Рис.4.16. Характеристики ЗСеМО U 0 ˆ λ ) ( 0 M f = λ 156 Раздел 3. Аналитическое моделирование Действительно , у у b α представляет собой полное время обслуживания одной заявки в данном узле с учётом того , что заявка за время нахождения в сети в среднем у α раз побывает в данном узле Тогда величина , обратная у у b α , представляет собой интенсивность обслуживания заявок одним прибором в данном узле : у у b α µ / 1 1 = , а 1 µ µ у у K = – интенсивность обслуживания заявок узлом , то есть всеми приборами Этот же результат можно получить следующими рассуждениями Если загрузка некоторого узла , являющегося узким местом СеМО , становится равной 1, то это означает , что все приборы данного узла постоянно обслуживают заявки , то есть не простаивают Тогда интенсивность выходящего из этого узла потока заявок будет равна интенсивности обслуживания : 1 µ µ λ у у у K = = Напомним , что интенсив - ность потока заявок в узле у λ связана с производительностью ЗСеМО 0 λ зависимостью 0 λ α λ у у = Отсюда вытекает , что производительность ЗСеМО равна у у у у у у у b K K α α µ α λ λ = = = 1 0 2. Среднее время пребывания заявок ( рис .4.16) в замкнутой СеМО , как и производительность , растёт с увеличением числа M циркулиру - ющих в сети заявок , причём вначале наблюдается незначительный рост , а затем , после значения 0 M M = , наблюдается линейный рост времени пребывания Действительно , если в сети циркулирует только одна заявка , то в такой сети не может быть очередей , и время пребывания заявок в СеМО складывается только из времён обслуживания заявок в узлах с учётом коэффициентов передач : ∑ = = n i i i b U 1 α С увеличением числа заявок M в узлах ЗСеМО появляются очереди , причём очевидно , что чем больше заявок в сети , тем более длинные очереди образуются в узлах и тем больше время ожидания , а , следовательно , и время пребывания заявок в ЗСеМО Сопоставляя зависимости производительности и среднего времени пребывания заявок от их числа в ЗСеМО , можно сделать следующий вывод : увеличение числа заявок в сети , с одной стороны , приводит к увеличению производительности , что может рассматриваться как положительный фактор , а , с другой стороны , – к увеличению времени пребывания заявок в сети , что является нежелательным фактором Точка 0 M M = характеризует некоторое граничное значение числа заявок в ЗСеМО Дальнейшее увеличение числа заявок в сети оказывается нецелесообразным , поскольку приводит к резкому увеличению времени Раздел 3. Аналитическое моделирование 157 пребывания заявок в ЗСеМО при незначительном увеличении производительности сети 3. Когда загрузка узкого места становится равной единице , дальнейший рост производительности за счёт увеличения числа заявок в ЗСеМО невозможен Для увеличения производительности ЗСеМО , как и в РСеМО , необходимо разгрузить узкое место , то есть уменьшить загрузку : 1 0 = = у у у у K b λ α ρ , что при одной и той же производительности может быть достигнуто : • уменьшением длительности обслуживания заявок у b , например за счет увеличения скорости работы ( быстродействия ) обслуживающего прибора ; • увеличением числа обслуживающих приборов у K в узле ; • уменьшением коэффициента передачи у α или , что то же самое , вероятности передачи заявок к узлу , являющемуся узким местом Если до разгрузки узкого места зависимость производительности ЗСеМО от числа заявок в сети имела вид ) ( ' 0 M f = λ (рис.4.17), а пропускная способность была рав- на ' 0 ˆ λ , то после разгрузки – зависи- мость производительности от числа заявок будет иметь вид ) ( " 0 M f = λ , а пропускная способность станет равной ' 0 " 0 ˆ ˆ λ λ > . При этом гранич- ное значение числа заявок в ЗСеМО увеличится: " 0 M > ' 0 M Следует отметить, что к рассматриваемой зависимости производи- тельности ЗСеМО 0 λ от числа M циркулирующих в сети заявок может быть применена линейная аппроксимация ) ( " 0 M f = λ , показанная на рис.4.17 в виде пунктирных линий и представляющая собой верхнюю границу производительности ЗСеМО. Последнее означает, что производи- тельность ЗСеМО будет не больше, чем рассчитанное верхнее значение. Нетрудно представить себе и изобразить на графике, как изменится зависимость среднего времени пребывания заявок в замкнутой СеМО от числа циркулирующих в сети заявок после разгрузки узкого места. Отметим, что в некоторых случаях разгрузка узкого места не приводит к улучшению характеристик СеМО, в частности, к увеличению производительности. Обычно это связано с тем, что в СеМО может существовать несколько узлов, являющихся «узкими местами». Условием M 0 λ 0 ' 0 M Рис .4.17. Разгрузка « узкого места » ) ( " 0 M f = λ " 0 ˆ λ " 0 M ' 0 ˆ λ ) ( ' 0 M f = λ ) ( " 0 M f = λ 158 Раздел 3. Аналитическое моделирование этого является равенство загрузок узлов: j i ρ ρ = или j j j i i i K b K b 0 0 λ α λ α = , откуда окончательно получим: ) ( j i K b K b j j j i i i ≠ = α α . В этом случае для улучшения характеристик ЗСеМО необходимо одновременно разгрузить все «узкие места». Последовательно разгружая узкие места СеМО, мы можем прийти к некоторой «идеальной» сети, в которой загрузки всех узлов одинаковы. СеМО, в которой загрузки всех узлов равны, называется сбалансированной . Сбалансированная СеМО обладает наилучшими характеристиками по сравнению с несбалансированной. При построении реальных систем, моделями которых служат СеМО, необходимо, по-возможности, строить сбалансированные системы, хотя на практике по многим причинам достичь этого не удаётся. 4.6. Резюме 1. Одноканальная экспоненциальная СМО M/M/1 является наиболее простой с точки зрения аналитического расчета. Средние времена ожидания и пребывания заявок в СМО M/M/1 рассчитываются по сравнительно простым формулам: ρ ρ − = 1 b w и ρ − = 1 b u , где 1 < = b λ ρ – загрузка системы; λ – интенсивность поступления заявок в систему; b – средняя длительность обслуживания заявок в приборе. Для СМО M/G/1 среднее время ожидания заявок определяется по формуле Поллачека - Хинчина : ) 1 ( 2 ) 1 ( 2 2 ρ ν λ − + = b b w , где b ν – коэффициент вариации длительности обслуживания Для общего случая одноканальных СМО типа G/G/1 с однородным потоком применяются приближённые аналитические методы расчёта Свойства одноканальной СМО с однородным потоком заявок : • среднее время ожидания заявок в очереди минимально при детерминированной длительности обслуживания заявок с коэффициентом вариации 0 = b ν и увеличивается нелинейно с ростом коэффициента вариации ( дисперсии ) длительности обслуживания ; • среднее время ожидания заявок существенно зависит от нагрузки y ( загрузки ρ ) системы и при ) 1 ( 1 → ≥ ρ y возрастает неограниченно: ∞ → w , т е заявки могут ожидать обслуживания сколь угодно долго ; Раздел 3. Аналитическое моделирование 159 • для дисциплин обслуживания в обратном порядке и обслуживания в случайном порядке средние времена ожидания заявок будут такими же , как и при обслуживании в порядке поступления , но дисперсии времени ожидания будут больше. 2. В случае многоканальных СМО с однородным потоком заявок точный метод расчета среднего времени ожидания заявок разработан только для СМО типа M/M/K: ) 1 ( ρ − = K Pb w , где K b λ ρ = – загрузка системы ; P – вероятность того , что все K приборов заняты обслуживанием заявок : 0 ) 1 ( ! ) ( P K K P K ρ ρ − = , где 0 P – вероятность простоя многоканальной СМО , то есть вероятность того , что в системе нет заявок : 1 1 0 0 ! ) ( ) 1 ( ! ) ( − − = + − = ∑ K i i K i K K K P ρ ρ ρ |