Механики
 Скачать 4.29 Mb.
|
|
Характеристики многоканальной СМО M/ М /K В качестве основной характеристики функционирования СМО, будем использовать среднее время ожидания w заявок. Точный метод расчета характеристик обслуживания заявок в многоканальной СМО разработан при следующих предположениях: • поток заявок – простейший; • длительность обслуживания заявок распределена по экспоненци- альному закону со средним значением b ; • все K приборов – идентичны, и любая заявка может быть обслу- жена любым прибором; y ( ρ ) w 0 1 ) ( y f w = Рис.4.2. Зависимость среднего времени ожидания от нагрузки П 1 λ Н (О) b Рис.4.3. Многоканальная СМО П K Раздел 3. Аналитическое моделирование 127 • ёмкость накопителя – не ограничена; • в системе отсутствуют перегрузки, то есть загрузка системы меньше 1: 1 < = K b λ ρ При этих предположениях среднее время ожидания заявок определяется следующим образом: ) 1 ( ρ − = K Pb w , (4.8) где P – вероятность того, что все K приборов заняты обслуживанием заявок. Вероятность P определяется как: 0 ) 1 ( ! ) ( P K K P K ρ ρ − = , где 0 P – вероятность простоя многоканальной СМО, то есть вероятность того, что в системе нет заявок: 1 1 0 0 ! ) ( ) 1 ( ! ) ( − − = + − = ∑ K i i K i K K K P ρ ρ ρ 4.2.2. Анализ свойств многоканальной СМО Анализ свойств многоканальной СМО с однородным потоком заявок и накопителем неограниченной ёмкости может быть выполнен с использованием представленных выше математических моделей , определяющих зависимости характеристик обслуживания заявок от параметров поступления и обслуживания заявок для установившегося ( стационарного ) режима работы системы 1. На рис .4.4 показан характер зависимости среднего времени ожидания w и среднего времени пребывания u заявок в системе от числа обслуживающих приборов K. Очевидно , что с увеличением числа обслуживающих при - боров времена ожидания и пребывания заявок умень - шаются , при этом в пределе при ∞ → K время ожидания стремится к нулю , а время пребывания достигает своего наименьшего значения , рав - ного длительности обслужи - вания заявок Рис .4.4. Зависимости времени ожидания и пребывания заявок от числа приборов K u w 1 0 ) (K f u u = ) (K f w w = 128 Раздел 3. Аналитическое моделирование 2. На рис .4.5 показаны аналогичные зависимости , но при условии , что при уве - личении числа обслуживаю - щих приборов K их сум - марная производительность ( скорость работы ) остается постоянной , т е = = Σ K V K V const = , где K V – произво - дительность одного прибора при наличии в системе K обслуживающих приборов Из представленных графиков видно , что среднее время ожидания w заявок , как и в предыдущем случае , уменьшается с увеличением числа приборов , однако время пребывания u заявок в системе увеличивается Последнее объясняется тем , что с увеличением числа приборов K производительность каждого из них для сохранения суммарной производительности системы уменьшается пропорционально K и , следовательно , линейно увеличивается длитель - ность обслуживания заявки в приборе При этом скорость увеличения длительности обслуживания больше скорости уменьшения времени ожидания , что в сумме приводит к увеличению времени пребывания заявок в системе В пределе при ∞ → K время пребывания заявок асимптотически стремится к длительности обслуживания заявок Таким образом , при проектировании систем обслуживания следует иметь в виду , что с точки зрения задержек ( времени пребывания заявок ) более эффективной является одноканальная система , чем многоканальная , при равенстве суммарной производительности Основным достоинством многоканальной системы является более высокая надёжность , проявляя - ющаяся в том , что при выходе из строя одного или даже нескольких обслуживающих приборов система продолжает функционировать , хотя и с меньшей эффективностью , что заключается в увеличении времени пребывания заявок в системе 3. Можно показать , что среднее время ожидания заявок , как и для одноканальных систем , существенно зависит от нагрузки y ( загрузки ρ ) системы При ) 1 ( → ≥ ρ K y время ожидания заявок возрастает неограниченно : ∞ → w , то есть заявки могут ожидать обслуживания сколь угодно долго 4.3. Одноканальные СМО с неоднородным потоком заявок «Никогда не ставьте задачу, решение которой вам неизвестно» (Правило Берке) Рассмотрим одноканальную СМО с неоднородным потоком заявок , в которую поступают H классов заявок , образующие простейшие потоки с Рис .4.5. Зависимость времени пребывания заявок от числа приборов при const V = Σ K u w 1 0 ) (K f w w = ) (K f u u = ) (K f b b = Раздел 3. Аналитическое моделирование 129 интенсивностями H λ λ , , 1 K Длительность k b τ обслуживания заявок класса k распределена по произвольному закону со средним значением k b и коэффициентом вариации k b ν Выбор заявок из очереди на обслуживание осуществляется в соответствии с заданной дисциплиной обслуживания , в качестве которой будем рассматривать : • дисциплину обслуживания бесприоритетную ( ДО БП ), при которой заявки выбираются на обслуживание в порядке поступления ; • дисциплину обслуживания заявок с относительными приорите - тами ( ДО ОП ); • дисциплину обслуживания заявок с абсолютными приоритетами ( ДО АП ). В качестве основной характеристики , описывающей эффективность функционирования системы , будем рассматривать средние времена ожидания заявок разных классов , на основе которых легко могут быть рассчитаны все остальные характеристики с использованием фундаментальных зависимостей , представленных в разделе 3 ( п .3.3.5). При этом следует иметь в виду , что представленные ниже формулы были получены при следующих предположениях : 1) СМО содержит один обслуживающий прибор , который в каждый момент времени может обслуживать только одну заявку ; 2) СМО имеет накопитель заявок неограниченной ёмкости , что означает отсутствие отказов поступающим заявкам при их постановке в очередь , то есть любая поступающая заявка всегда найдёт в накопителе место для ожидания независимо от того , сколько заявок уже находится в очереди ; 3) заявки разных классов , поступающие в СМО независимо друг от друга , образуют простейшие потоки ; 4) длительности обслуживания заявок каждого класса в приборе распределены по произвольному закону и не зависят друг от друга ; 5) обслуживающий прибор не простаивает , если в системе ( накопителе ) имеется хотя бы одна заявка любого класса , причем после завершения обслуживания очередной заявки мгновенно из накопителя выбирается следующая заявка в соответствии с заданной дисциплиной обслуживания ; 6) при использовании ДО БП заявки разных классов выбираются на обслуживание только в зависимости от времени поступления в систему по правилу « раньше пришел – раньше обслужен », независимо от номера класса , к которому принадлежит заявка ; 7) при использовании приоритетных дисциплин ( ДО ОП и ДО АП ) приоритеты классам заявок назначены по принципу « класс с меньшим номером имеет более высокий приоритет », то есть наивысшим приоритетом обладают заявки класса 1; 130 Раздел 3. Аналитическое моделирование 8) в случае ДО АП заявка , обслуживание которой прервано более высокоприоритетной заявкой , возвращается в накопитель , где ожидает дальнейшего обслуживания , причем ее обслуживание продолжается с прерванного места 4.3.1. Характеристики и свойства ДО БП При бесприоритетной ДО средние времена ожидания одинаковы для всех классов заявок и определяются по следующей формуле : ) , , 1 ( ) 1 ( 2 ) 1 ( 1 2 2 БП БП H k R b w w H i b i i k i K = − + = = ∑ = ν λ , (4.9) где ∑ ∑ = = = = H i i i H i i b R 1 1 λ ρ – суммарная загрузка системы Выражение (4.5) получено в предположении , что в системе существует стационарный режим и отсутствует перегрузка : 1 < R Анализ представленной аналитической зависимости (4.5) позволяет выявить свойства ДО БП и сформулировать следующие выводы. 1. Среднее время ожидания заявок разных классов при использовании ДО БП одинаково при любых интенсивностях поступления H λ λ , , 1 K и законах распределений ) ( , ), ( 1 τ τ H B B K длительностей обслуживания заявок : БП БП w w k = для всех H k , , 1 K = Отметим , что средние времена пребывания в системе заявок разных классов , в общем случае , различны , так как различны длительности обслуживания : ) , , 1 ( БП БП H k b w u k k K = + = 2. Среднее время ожидания заявок в очереди минимально при постоянной ( детерминированной ) длительности обслуживания заявок каждого класса , когда коэффициент вариации длительности обслуживания 0 = k b ν , и увеличивается с ростом коэффициента вариации ( дисперсии ) длительности обслуживания . Заметим , что зависимость среднего времени ожидания от коэффициента вариации k b ν носит нелинейный характер Так , например , при экспоненциально распределенной длительности обслуживания , когда 1 = k b ν , среднее время ожидания заявок увеличивается в 2 раза , а при 2 = k b ν – в 5 раз , по сравнению с детерминированным обслуживанием 3. Среднее время ожидания заявок существенно зависит от суммарной нагрузки Y ( загрузки R) системы ( рис .4.6, а ). При ) 1 ( 1 → ≥ R Y время ожидания заявок всех классов возрастает неограниченно : ∞ → БП w , то есть заявки могут ожидать обслуживания сколь угодно долго Отметим , что увеличение суммарной нагрузки может быть Раздел 3. Аналитическое моделирование 131 обусловлено двумя факторами : увеличением интенсивностей поступления в систему заявок разных классов или увеличением длительности обслуживания заявок ( например , за счет уменьшения скорости работы обслуживающего прибора ). Зависимость среднего времени пребывания в системе заявок разных классов от суммарной нагрузки аналогична зависимости времени ожидания ( рис .4.6, б ). Единственное отличие состоит в том , что средние времена пребывания в системе заявок разных классов , в общем случае , различны , то есть ) ( j i u u j i ≠ ≠ , поэтому на графике , в отличие от времени ожидания , могут отображаться несколько зависимостей Это различие обусловлено различием длительностей обслуживания заявок разных классов Аналогично , на графиках , отображающих зависимости средних длин очередей и числа заявок в системе от суммарной нагрузки , в общем случае , будут изображаться несколько кривых , соответствующих разным классам заявок Отметим , что средние длины очередей заявок разных классов , несмотря на одинаковое время ожидания , в общем случае , различны и , в соответствии с формулой Литтла ( БП w l i i λ = ), совпадают только в случае равенства интенсивностей поступления заявок разных классов в систему 4. Можно показать , что для бесприоритетной дисциплины обслуживания в обратном порядке ( ООП ) , когда заявки на обслуживание выбираются по правилу « последний пришёл – первый обслужен », средние времена ожидания заявок будут такими же , как и при обслуживании в порядке поступления ( ОПП ), но дисперсия времени ожидания будет больше Это обусловлено тем , что заявки , поступившие последними , будут ожидать незначительное время , в то время как заявки , попавшие в начало очереди , могут ожидать обслуживания достаточно долго , что обусловливает большой разброс значений времени ожидания 5. Аналитическое исследование дисциплины обслуживания в циклическом порядке ( ДО ЦП ) достаточно сложно и связано с громоздкими математическими выкладками Поэтому , не выписывая Y (R) w 0 1 ) ( БП Y f w = Рис .4.6. Зависимость среднего времени ожидания ( а ) и среднего времени пребывания ( б ) от нагрузки при ДО БП Y (R) u 0 1 i u j u j i b b ≠ а ) б ) 132 Раздел 3. Аналитическое моделирование громоздких формул , отметим лишь наиболее характерные особенности , присущие этой ДО Для дисциплины обслуживания в циклическом порядке среднее время ожидания заявок разных классов в общем случае не одинаково ( рис .4.7). Это различие зависит от соотношения параметров потоков ( H λ λ , , 1 K ) и обслуживания ( ) ( , ), ( 1 τ τ H B B K ) заявок разных классов В некоторых случаях ДО ЦП позволяет обеспечить меньшую суммарную длину очереди заявок , чем ДО БП Зависимость среднего времени ожидания заявок каждого класса от суммарной нагрузки Y имеет такой же вид , как и для ДО БП ( рис .4.6). 4.3.2. Характеристики и свойства ДО ОП Приоритеты называются |