Механики
 Скачать 4.29 Mb.
|
|
производительность замкнутой СеМО 0 λ , определяемая как интенсивность потока заявок, проходящих через выделенный нулевой узел замкнутой сети, и представляющая собой среднее число заявок, обслуженных в ЗСеМО за единицу времени; производительность ЗСеМО может быть рассчитана на основе выражения (3.5), из которого следует: ) , , 1 ( / 0 n j j j K = = α λ λ ; (3.30) Следует отметить, что для сетевых характеристик СеМО выполняют- ся те же фундаментальные соотношения, что и для СМО, а именно: W L 0 λ = ; (3.31) U M 0 λ = ; (3.32) Y L M + = ; (3.33) B W U + = , (3.34) где ∑ = = n j j j b B 1 α – суммарное время обслуживания заявки во всех узлах за время ее нахождения в сети. Выражения (3.31) и (3.32) представляют собой формулы Литтла для расчёта сетевых характеристик СеМО. Из (3.32) может быть получена ещё одна важная формула для расчёта производительности ЗСеМО: U M = 0 λ . (3.35) Для неоднородной СеМО перечисленные характеристики определя- ются как для каждого класса в отдельности, так и для объединенного (суммарного) потока заявок. 3.5. Резюме 1. В качестве математических моделей дискретных систем со стохастическим характером функционирования широко применяются модели массового обслуживания (ММО), которые делятся на базовые модели в виде одноканальных и многоканальных систем массового обслуживания (СМО) и сетевые модели в виде разомкнутых и замкнутых сетей массового обслуживания (СеМО). Для описания СМО используются следующие понятия: заявка (требование, запрос, вызов, клиент), поток заявок , обслуживающий прибор ( или просто прибор), обслуживание , длительность обслуживания , накопитель , ёмкость накопителя , очередь , длина очереди , дисциплина буферизации , дисциплина обслуживания , приоритет . Для описания СеМО дополнительно используются такие понятия как узел , источник , граф СеМО , маршрут. 106 Раздел 3. Математические модели дискретных систем 2. Описание потока заявок в простейшем случае предполагает задание его интенсивности. Поток заявок может быть детерминирован - ным ( регулярным ) или случайным, стационарнымили нестационарным, ординарнымили неординарным (групповым), с последействием или без последействия. Стационарный ординарный поток без последействия называется простейшим ( пуассоновским ). Интервалы времени между заявками в простейшем потоке распределены по экспоненциальному закону. Аналити- ческие исследования моделей массового обслуживания обычно проводятся в предположении о простейшем потоке заявок, что обусловлено рядом присущих ему особенностей (суммирование потоков , вероятностное раз - режение потока), позволяющих во многих случаях получить сравнительно простые аналитические зависимости характеристик от параметров. Длительность обслуживания заявок в приборе в простейшем случае может быть задана средним значением иливеличиной обратной – интенсивностью обслуживания, характеризующей среднее число заявок, которое может быть обслужено прибором за единицу времени. Стратегия управления потоками заявок задается в виде дисциплины буферизации ( ДБ ) и дисциплины обслуживания ( ДО ) , которые могут быть классифицированы по следующим признакам: наличие приоритетов между заявками разных классов; способ (режим) вытеснения заявок из очереди или назначения заявок на обслуживание; правило вытеснения или выбора заявок на обслуживание; возможность изменения приоритетов. Среди дисциплин обслуживания заявок в технических системах наибольшее распространение получили: бесприоритетная дисциплина обслуживания в порядке поступления (ОПП или FIFO) и приоритетные дисциплины: с относительными (ОП) и абсолютными (АП) приорите - тами, которые могут быть статическими или динамическими. 3. Большинство СМО, используемых в качестве базовых моделей реальных систем, могут быть классифицированы: по числу мест в накопи- теле (без накопителя – СМО с отказами; с накопителем ограниченной ёмкости – СМО с потерями; с накопителем неограниченной ёмкости – СМО без потерь); по количеству обслуживающих приборов (одноканаль - ные и многоканальные); по количеству классов заявок (с однородным и неоднородным потоком заявок). Заявки относятся к разным классам, если они в моделируемой реальной системе различаются длительностью обслуживания и / или приоритетами. 4. Сетевые модели (СеМО) могут быть классифицированы: в зависи- мости от характера процессов поступления и обслуживания заявок (стоха - стические, детерминированные); по виду зависимостей, связывающих интенсивности потоков заявок в разных узлах СеМО (линейные, нелиней - Раздел 3. Математические модели дискретных систем 107 ные); по числу циркулирующих в сети заявок (разомкнутые, замкнутые, замкнуто-разомкнутые); по типу циркулирующих заявок (однородные, неоднородные). В линейных СеМО интенсивность потока заявок в любом узле связана линейной зависимостью с интенсивностью источника через коэф- фициент передачи, который показывает среднее количество попаданий заявки в данный узел за время ее нахождения в сети. В нелинейных СеМО интенсивности потоков заявок в узлах связаны нелинейными зависимостями. Нелинейность СеМО может быть обуслов- лена потерей заявок или размножением заявок в сети. Разомкнутая СеМО содержит один или несколько внешних незави - симых источников заявок, причем в сети одновременно может находиться любое число заявок. Замкнутая СеМО, в отличие от разомкнутой, не содержит незави - симых внешних источников заявок и характеризуется тем, что в ней циркулирует постоянное число заявок М. 5. Для компактного описания СМО используются обозначения в виде A / B / N / L , где A и В – задают законы распределений соответственно интервалов времени между моментами поступления заявок и длительно- стей обслуживания в приборе; N – число обслуживающих приборов в системе; L – число мест в накопителе. 6. Для описания СМО, в простейшем случае, используются следующие параметры: • количество обслуживающих приборов K ; • количество k и емкости накопителей E j ) , 1 ( k j = ; • количество поступающих в систему классов заявок H ; • интенсивность i λ потока и коэффициент вариации i a ν интерва- лов времени между поступающими в систему заявками класса H i , 1 = ; • среднее значение i b и коэффициент вариации i b ν длительности обслуживания заявок класса H i , 1 = ; • дисциплина буферизации и дисциплина обслуживания заявок. СМО может работать в установившемся (стационарном ) режиме или в неустановившемся (переходном или нестационарном режиме). Кроме того, СМО может работать в режиме перегрузки, когда система не справляется с нагрузкой. При этом характеристики функционирования СМО с накопителем неограниченной емкости с течением времени растут неограниченно. Для того чтобы в такой СМО не было перегрузок, необходимо, чтобы нагрузка системы была меньше, чем число обслуживающих приборов, или, что то же самое, загрузка системы была 108 Раздел 3. Математические модели дискретных систем строго меньше единицы. В СМО с накопителем ограниченной ёмкости перегрузки не приводят к неустановившемуся режиму. 7. Характеристики систем со стохастическим характером функцио- нирования являются случайными величинами и полностью описываются соответствующими законами распределений. На практике при моделирова- нии часто ограничиваются определением только средних значений (мате- матических ожиданий), реже – определением двух первых моментов этих характеристик. В качестве основных характеристик СМО с однородным потоком заявок используются: • нагрузка системы: b y λ µ λ = = / ; • загрузка системы: − = 1 ; ) 1 ( min K y п π ρ ; • коэффициент простоя системы: ρ η − = 1 ; • вероятность потери заявок: ) ( ) ( lim T N T N п T п ∞ → = π ; • вероятность обслуживания заявки: ); 1 ( 0 п π π − = ; • производительность системы: λ π λ π λ ) 1 ( 0 ' п − = = ; • интенсивность потока потерянных заявок: λ π λ π λ ) 1 ( 0 " − = = п ; • среднее время ожидания заявок в очереди: ? = w (подлежит определению для каждой конкретной СМО); • среднее время пребывания заявок в системе: b w u + = ; • средняя длина очереди заявок: w l ' λ = ; • среднее число заявок в системе: u m ' λ = Для СМО с неоднородным потоком заявок определяются две группы характеристик обслуживания заявок: характеристики по каждому классу заявок и характеристики суммарного ( объединенного ) потока заявок. 8. Для описания линейных разомкнутых и замкнутых однородных экспоненциальных СеМО необходимо задать следующие параметры: • число узлов в сети n ; • число обслуживающих приборов в узлах сети n K K ,..., 1 ; • матрицу вероятностей передач ] , , 1 , 0 , [ n j i p ij K = = P ; • интенсивность 0 λ источника заявок, поступающих в РСеМО, или число заявок M , циркулирующих в ЗСеМО; • средние длительности обслуживания заявок в узлах сети n b b ,..., 1 СеМО, как и СМО, может работать в установившемся и неустановившемся режимах. Последний может быть связан с началом работы системы (переходной режим), нестационарным характером Раздел 3. Математические модели дискретных систем 109 процессов поступления и обслуживания заявок в приборе (нестационарный режим), а в разомкнутой СеМО, кроме того, перегрузкой системы (режим перегрузки). Условие отсутствия перегрузок в разомкнутой СеМО предполагает отсутствие перегрузок в каждом из узлов сети. В замкнутой СеМО перегрузки не возникают. 9. Характеристики СеМО делятся на узловые и сетевые. Состав узловых характеристик СеМО, работающей в стационарном режиме, такой же, как и для СМО. На основе узловых характеристик рассчитываются средние значения сетевых характеристик СеМО: • суммарная нагрузка и загрузка: ∑ = = n j j y Y 1 ∑ = = n j j R 1 ρ ; • среднее суммарное число заявок, находящихся во всех очередях сети: ∑ = = n j j l L 1 ; • среднее суммарное число заявок, находящихся в разомкнутой сети (во всех узлах): ∑ = = n j j m M 1 ; • среднее время ожидания и пребывания заявок в сети: ∑ = = n j j j w W 1 α ; ∑ = = n j j j w W 1 α ; • производительность замкнутой СеМО: U M = 0 λ Сетевые характеристики СеМО связаны между собой теми же фундаментальными соотношениями, что и характеристики СМО. Для неоднородной СеМО перечисленные характеристики определяя- ются как для каждого класса в отдельности, так и для объединенного (суммарного) потока заявок. 3.6. Практикум : обсуждение и решение задач В разделе 3 рассмотрены модели массового обслуживания: СМО и СеМО, выполнена их классификация, перечислены параметры и рассчитываемые на их основе характеристики функционирования СМО и СеМО различных классов, приведены основные зависимости для расчета указанных характеристик. Как и ранее, в процессе обсуждения представленного материала попытаемся ответить на некоторые конкретные вопросы практического характера. Вопрос__1.__Почему_математическая_модель_называется_абстрактной__110_Раздел_3._Математические_модели_дискретных_систем_Обсуждение'>Вопрос 1. Почему математическая модель называется абстрактной? 110 Раздел 3. Математические модели дискретных систем Обсуждение . Действительно, все математические модели являются абстрактными, собственно, как и сама математика. Абстрактность обуслов- лена переходом от параметров и характеристик реальной системы к её описанию в терминах определённого математического аппарата, например теории массового обслуживания. Затем выполняется анализ характеристик и исследование свойств этой математической модели, а полученные результаты интерпретируются применительно к реальной системе. Абстрактность математической модели состоит в том, что полученные с её помощью результаты могут быть применены к любой другой реальной системе, которая может быть представлена такой же моделью. Другими словами, одна и та же математическая модель может отображать функцио- нирование совершенно разных по своей природе реальных систем, описываемых с помощью различных структурно-функциональных и нагрузочных параметров, состав и перечень которых определяются соответствующей прикладной областью. Вопрос 2. Насколько предположение о простейшем характере потока заявок соответствует реальности? Обсуждение . Простейший поток заявок является математическим представлением некоторого «идеального» потока, обладающего рядом замечательных свойств, благодаря которым для многих математических моделей удаётся получить достаточно простые аналитические зависи- мости, связывающие характеристики функционирования систем массового обслуживания с исходными параметрами. Одним из таких свойств является «отсутствие последействия», которое заключается в том, что поступление в систему очередной заявки не зависит от того, когда и сколько заявок поступило ранее. В реальной жизни наличие этого свойства означало бы следующее. Представим, что вы, подходя к автобусной остановке, не успели на только что отправившийся автобус. Если поток автобусов, прибывающих на остановку, простейший, то в сложившейся ситуации это совсем не означает, что вам долго придётся ждать следующий автобус. Вполне возможно, что следующий автобус подойдет к остановке практически сразу. Точно так же, если вы пришли на автобусную остановку и застали большое число ожидающих пассажиров (что свидетельствует о том, что давно не было автобуса), то это совсем не означает, что скоро подойдет автобус. Кто-то скажет, что часто попадал в такие ситуации, и отсюда сделает вывод, что поток автобусов к остановке – простейший. В действительности же реальный поток автобусов может быть сколь угодно близок к простейшему, но не может быть простейшим по следующей причине. Если предположить, что поток автобусов к остановке – простей- ший, то существует (пусть и совсем ничтожная) вероятность того, что автобус вообще никогда не придёт, что, по всей видимости, невозможно (исключая случай, когда движение автобусов отменено, а все ожидающие Раздел 3. Математические модели дискретных систем 111 пассажиры не знали об этом). Наличие такой вероятности обусловлено тем, что интервалы времени между последовательными заявками (или автобусами) в простейшем потоке распределены по экспоненциальному закону, функция распределения которого ограничена слева (нулевым значением случайной величины), но не ограничена справа, то есть случайная величина, описывающая интервалы между последовательными заявками в простейшем потоке, может принимать сколь угодно большие значения, в том числе, равное бесконечности. Очевидно, что в реальных системах функция распределения обычно ограничена и справа. Таким образом, отвечая на поставленный вопрос, можно сказать, что в реальной жизни вряд ли существует простейший поток. В то же время, многие реальные потоки могут быть достаточно близки к простейшему. |