Механики
 Скачать 4.29 Mb.
|
|
формулы Литтла и вместе с формулой (3.13) представляют собой фундаментальные зависимости, справедливые для широкого класса моделей массового обслуживания. Из (3.15) можно получить зависимость, связывающую среднее число заявок в системе со средней длиной очереди заявок: y l b w b w u m + = + = + = = λ λ λ λ ) ( , откуда следует, что нагрузка b y λ = характеризует среднее число заявок, находящихся на обслуживании. При условии отсутствия перегрузок в одноканальной СМО загрузка совпадает с нагрузкой: b y λ ρ = = и тогда ρ + = l m , то есть загрузку одно- канальной СМО можно трактовать как среднее число заявок, находящихся на обслуживании в приборе. Отметим, что на обслуживании находится не одна заявка, как может показаться, а меньше единицы: 1 < ρ . Это действи- тельно так, если вспомнить, что речь идёт о среднем числе находящихся на обслуживании заявок, которое может быть рассчитано следующим обра- зом. В приборе в каждый момент времени может находиться случайное число заявок, принимающее два значения: 1, если прибор работает, то есть обслуживает заявку, и 0, если прибор простаивает. Поскольку значение загрузки лежит в интервале от 0 до 1 ( 1 0 ≤ ≤ ρ ) и показывает долю време- ни, в течение которого прибор работает, то загрузку можно трактовать как вероятность того, что прибор работает, а величину ) 1 ( ρ η − = – как вероятность простоя прибора. Тогда математическое ожидание случайной величины, принимающей значения 1 с вероятностью ρ и 0 с вероятностью ) 1 ( ρ − , будет равно: ρ ρ ρ = × − + × 0 ) 1 ( 1 , что и требовалось показать. Обычно исследование систем проводится в предположении о стационарности входящего потока заявок и длительности обслуживания. В этом случае условие существования установившегося режима для СМО с накопителем неограниченной ёмкости совпадает с условием отсутствия перегрузок в СМО и записывается в виде: 1 < ρ Характеристики_СМО_с_неоднородным_потоком_заявок'>3.3.5. Характеристики СМО с неоднородным потоком заявок Для СМО с неоднородным потоком заявок, в которую поступают H классов заявок с интенсивностями H λ λ , , 1 K и средними длительностями обслуживания H b b , , 1 K , определяются две группы характеристик обслужи- вания заявок: характеристики по каждому классу (потоку) заявок; характеристики объединённого (суммарного) потока заявок. 100 Раздел 3. Математические модели дискретных систем Характеристики по каждому классу заявок H i , 1 = идентичны характеристикам СМО с однородным потоком: • нагрузка , создаваемая заявками класса i: i i i i i b y λ µ λ = = / ; • вероятность потери заявок: i п π ; • вероятность обслуживания заявки: ) 1 ( 0 i i п π π − = ; • интенсивность потока обслуженных заявок (производительность по i-му классу заявок): i п i i i i λ π λ π λ ) 1 ( 0 0 − = = ; • интенсивность потока потерянных заявок: i п п i i λ π λ = • загрузка системы, создаваемая заявками класса i: − = 1 ; ) 1 ( min K y i п i i π ρ , где i п π – вероятность потери заявок класса i из - за ограниченной ёмкости накопителя ( 0 = i п π , если ёмкость накопителя – неограниченная ); K – число обслуживающих приборов в СМО ; • время ожидания заявок в очереди : i w ; • время пребывания заявок в системе : i i i b w u + = ; • длина очереди заявок : i i i w l λ = ; • число заявок в системе ( в очереди и на обслуживании ): i i i u m λ = Характеристики объединённого ( суммарного ) потока заявок позволяют определить усредненные по всем классам заявок показатели эффективности функционирования СМО : • суммарная интенсивность поступления заявок в систему ( интенсивность суммарного потока ): ∑ = = Λ H i i 1 λ ; (3.19) • суммарная нагрузка Y и суммарная загрузка R системы : ∑ = = H i i y Y 1 ; ) 1 ; min( 1 ∑ = = H i i R ρ , (3.20) причем условие отсутствия перегрузок в СМО с неоднородным потоком заявок и накопителем неограниченной ёмкости имеет вид : 1 < R ; (3.21) • коэффициент простоя системы : R − = 1 η ;;;; • среднее время ожидания W и среднее время пребывания U заявок объединённого потока в системе : ∑ = = H i i i w W 1 ξ ; ∑ = = H i i i u U 1 ξ , (3.22) Раздел 3. Математические модели дискретных систем 101 где Λ = / i i λ ξ – коэффициент , учитывающий долю заявок класса i в суммарном потоке , который может трактоваться как вероятность того , что поступившая в систему заявка принадлежит классу i ; • суммарная длина очереди и суммарное число заявок в системе : ∑ = = H i i l L 1 ; ∑ = = H i i m M 1 . (3.23) Можно доказать , что для характеристик объединённого ( суммар - ного ) потока справедливы те же фундаментальные соотношения (3.13) – (3.15) , что и для однородного потока : B W U + = ; W L Λ = ; U M Λ = , где B – среднее время обслуживания любой заявки суммарного потока : ∑ = = H i i i b B 1 ξ 3.4. Параметры и характеристики СеМО 3.4.1. Параметры СеМО Для описания линейных разомкнутых и замкнутых однородных экс - поненциальных СеМО используется следующая совокупность параметров : • число узлов в сети : n; • число обслуживающих приборов в узлах сети : n K K ,..., 1 ; • матрица вероятностей передач : ] , , 1 , 0 , [ n j i p ij K = = P , где ij p – вероятность передачи заявки из узла i в узел j; • интенсивность 0 λ источника заявок , поступающих в разомкну - тую СеМО ( РСеМО ), или число заявок M, циркулирующих в замкнутой СеМО ( ЗСеМО ); • средние длительности обслуживания заявок в узлах сети : n b b , , 1 K Заметим , что состав параметров разомкнутых и замкнутых СеМО различается только одним параметром , а именно : для ЗСеМО , в отличие от РСеМО , вместо интенсивности 0 λ поступления заявок в сеть необходимо задать число постоянно циркулирующих в сети заявок M Для линейных СеМО элементы матрицы вероятностей передач должны удовлетворять условию : ) , 0 ( 1 0 n i p n j ij = = ∑ = . (3.24) Это условие отражает тот факт, что любая заявка, покинувшая некоторый узел, обязательно (с вероятностью 1) перейдёт в какой-то узел, включая тот же самый или нулевой. Переход заявки в нулевой узел означает, что заявка покинула сеть. 102 Раздел 3. Математические модели дискретных систем В случае неэкспоненциальных разомкнутых СеМО дополнительно необходимо задать законы распределения или, по крайней мере, вторые моменты интервалов времени между поступающими в разомкнутую сеть заявками и длительностей обслуживания заявок в узлах сети. В случае неоднородных СеМО необходимо дополнительно задать количество классов заявок H в сети и для каждого класса – матрицы вероятностей передач P(h) , интенсивности ) ( 0 h λ или число заявок M ( h ), а также средние длительности обслуживания ) ( h b i заявок класса H h , 1 = в узле n i , 1 = . При необходимости могут быть заданы законы распределений интервалов между поступающими в РСеМО заявками и законы распре- делений длительностей обслуживания заявок разных классов в узлах сети. 3.4.2. Режимы функционирования СеМО СеМО, как и СМО, может работать в установившемся и неустанно- вившемся режимах. Последний может быть связан с началом работы системы (переходной режим), нестационарным характером потока заявок и обслуживания в приборе (нестационарный режим) и перегрузкой системы (режим перегрузки). Очевидно, что для СеМО, как и для СМО, при использовании пред- положения о стационарности входящего потока заявок и длительностей обслуживания заявок в узлах условие существования установившегося режима совпадает с условием отсутствия перегрузок. Рассмотрим это условие для разомкнутой и замкнутой СеМО. Очевидно, что перегрузки в разомкнутой СеМО отсутствуют, если каждый узел сети работает без перегрузок. Если же хотя бы один из узлов сети не справляется с нагрузкой, то длина очереди в этом узле начнет увеличиваться до бесконечности и, следовательно, суммарное число заявок в РСеМО будет расти неограниченно. Таким образом, для того чтобы в разомкнутой СеМО не было пере- грузок, необходимо отсутствие перегрузок во всех узлах РСеМО, то есть загрузка j ρ любого узла ) , 1 ( n j j = должна быть строго меньше единицы: 1 0 < = = j j j j j j j K b K b λ α λ ρ для всех n j , 1 = Из последнего неравенства имеем: j j j b K α λ < 0 для всех n j , 1 = Это условие может быть записано также в следующем виде: < n n n b K b K b K α α α λ ,..., , min 2 2 2 1 1 1 0 . (3.25) Раздел 3. Математические модели дискретных систем 103 Полученное условие налагает ограничение сверху на интенсивность поступления заявок в РСеМО из внешнего источника. Узлы, в которых указанное условие не выполняется, являются перегруженными. С течением времени это приводит к неограниченному росту числа заявок в сети, которые скапливаются в перегруженных узлах, имеющих накопители неограниченной ёмкости. В дальнейшем при исследовании разомкнутых СеМО, если не оговорено другое, будем полагать, что в сети существует установившийся режим. Несколько иначе дело обстоит для замкнутых СеМО . Поскольку в ЗСеМО циркулирует постоянное число заявок, то в узлах сети не могут образовываться очереди бесконечной длины, следовательно, в ЗСеМО всегда существует установившийся режим. Даже если в сети имеется очень «медленный» узел, в котором по сравнению с другими узлами слишком долго обрабатываются заявки, то это может привести только к тому, что все заявки будут постоянно скапливаться в очереди перед данным узлом, однако их количество будет всегда конечно и в пределе равно числу циркулирующих в сети заявок. Загрузка такого «медленного» узла будет близка к единице, поскольку постоянное наличие очереди перед этим узлом обусловливает непрерывную работу приборов узла. Такой узел обычно представляет собой так называемое «узкое место» сети. 3.4.3. Характеристики СеМО Характеристики СеМО делятся на два класса: • узловые , описывающие эффективность функционирования отдельных узлов СеМО; • сетевые , описывающие функционирование СеМО в целом. Состав узловых характеристик СеМО, работающей в стационарном режиме, такой же, как и для СМО, и для узла n j , 1 = включает в себя следующие характеристики: • нагрузка узла: j j j j j b b y 0 λ α λ = = ; • загрузка узла: j j j j j j K b K y 0 λ α ρ = = , причем 1 < j ρ ; • коэффициент простоя узла: j j ρ η − = 1 ; • время ожидания заявок в узле: j w ; • время пребывания заявок в узле: j j j b w u + = ; • длина очереди заявок узле: j j j j j w w l 0 λ α λ = = ; • число заявок в узле (в очереди и на обслуживании): j j j j j j j j y l b w u m + = + = = ) ( 0 λ α λ 104 Раздел 3. Математические модели дискретных систем В приведенных выше формулах использован тот факт, что в линейных СеМО интенсивность поступления заявок в любой узел связана с интенсивностью источника соотношением (3.5). На основе узловых характеристик рассчитываются сетевые характеристики СеМО: • суммарная нагрузка во всех узлах, характеризующая среднее число заявок , одновременно находящихся на обслуживании во всех узлах сети: ∑ = = n j j y Y 1 , где j y – нагрузка узла j , причем ∑ = ≤ < n j j K Y 1 0 ; • суммарная загрузка всех узлов СеМО, характеризующая среднее число параллельно работающих узлов сети: ∑ = = n j j R 1 ρ , где j ρ – загрузка узла j , причем n R ≤ < 0 ; • среднее число заявок, находящихся в очередях всех узлов сети и ожидающих обслуживания: ∑ = = n j j l L 1 , (3.26) где j l – средняя длина очереди заявок в узле j ; • среднее число заявок, находящихся в сети: ∑ = = n j j m M 1 , (3.27) где j m – среднее число заявок в узле j , причём для замкнутых сетей это выражение может быть использовано для проверки правильности проведенных расчетов, так как для них число заявок M в сети задано; • среднее время ожидания заявок в сети: ∑ = = n j j j w W 1 α , (3.28) где j w – среднее время ожидания заявок в узле j ; j α – коэффициент пере- дачи для узла j , показывающий среднее число попаданий заявки в узел j за время её нахождения в сети; j j j w W α = – представляет собой суммарное (полное) время ожидание заявки в узле j за время её нахождения в сети; • среднее время пребывания заявок в сети: ∑ = = n j j j u U 1 α , (3.29) |