Механики
 Скачать 4.29 Mb.
|
|
2.8. Практикум : решение задач Задача 1. Дискретная случайная величина Х принимает значения : 1; 2; 3 с вероятностями 0,2; 0,3; 0,5 соответственно 1) Нарисовать график функции распределения дискретной случайной величины Х 2) Вычислить математическое ожидание , дисперсию , второй Раздел 2. Элементы теории вероятностей 71 начальный момент , среднеквадратическое отклонение и коэффициент вариации случайной величины Х Дано: ; 1 ; 2 ; 1 3 2 1 = = = x x x 5 , 0 ; 3 , 0 ; 2 , 0 3 2 1 = = = p p p Требуется: 1) нарисовать ) ( x F ; 2) вычислить ] [ ], [ ], [ ], [ ], [ 2 X X X X D X M ν σ α Решение. 1) График функции распределения случайной величины Х : Следует отметить , что значения функции распределения ) ( x F для каждого значения случайной величины i x увеличиваются на величину , равную соответствующей вероятности i p появления этого значения , причем самое верхнее значение всегда равно 1. Отметим также , что , как показано на графике ( в виде черных кружочков ), значения функции распределения в точках 1 = x , 2 = x и 3 = x соответственно равны : 0 ) 1 ( = F , 2 , 0 ) 2 ( = F и 5 , 0 ) 3 ( = F , поскольку функция распределения ) ( x F определяется как вероятность появления случайной величины , значение которой строго меньше ( а не меньше или равно ) x : ) P( ) ( x X x F < = 2) Математическое ожидание : 3 , 2 3 5 , 0 2 3 , 0 1 2 , 0 ] [ 3 3 2 2 1 1 = × + × + × = + + = x p x p x p X M Второй начальный момент : 9 , 5 9 5 , 0 4 3 , 0 1 2 , 0 ] [ 2 3 2 2 2 1 2 3 2 1 = × + × + × = + + = x p x p x p X α Дисперсия : 61 , 0 29 , 5 9 , 5 ]) [ ( ] [ ] [ 2 2 = − = − = X M X X D α Среднеквадратическое отклонение : 78 , 0 ] [ ] [ ≈ = X D X σ Коэффициент вариации : 34 , 0 ] [ ] [ ] [ ≈ = X M X X σ ν 0 3 2 1 x 2 , 0 1 = p F(x) 5 , 0 2 1 = + p p 1 3 2 1 = + + p p p 72 Раздел 2. Элементы теории вероятностей Задача 2. Чему равно математическое ожидание , дисперсия , второй начальный момент и коэффициент вариации детерминированной величины 10 = x ? Нарисовать график функции и плотности распределения случайной величины Дано: детерминированная величина : 10 = x Требуется: 1) вычислить ] [ ], [ ], [ ], [ 2 X X X D X M ν α ; 2) нарисовать ) ( x F и ) ( x f Решение. 1) Детерминированную величину можно рассматривать как случайную величину , принимающую одно и то же значение 10 = x с вероятностью 1 = p Тогда : • математическое ожидание : 10 ] [ = = x p X M ; • второй начальный момент : 100 ] [ 2 2 = = x p X α ; • дисперсия : 0 ]) [ ( ] [ ] [ 2 2 = − = X M X X D α ; • коэффициент вариации : 0 ] [ ] [ ] [ = = X M X D X ν Полученные достаточно тривиальные результаты становятся очевид - ными , если вспомнить физическое толкование представленных величин Математическое ожидание , представляющее собой среднее значение слу - чайной величины , естественно , совпадает с единственно возможным значе - нием 10 = x Дисперсия , среднеквадратическое отклонение и коэффициент вариации , определяющие разброс значений относительно математического ожидания , очевидно всегда равны нулю для детерминированной величины , поскольку разброса значений просто нет Однако следует обратить внимание , что второй начальный момент не равен нулю , хотя тоже опреде - ляет разброс значений , но , в отличие от предыдущих характеристик , относительно начала координат Действительно , единственное значение 10 = x находится от начала координат на « расстоянии », не равном нулю и , следовательно , второй начальный момент отличен от нуля 2) Графики функции и плотности распределения детерминированной величины : ) ( x F 10 x 0 ) ( x f 10 x 0 1 Раздел 2. Элементы теории вероятностей 73 Как следует из представленных графиков , функция распределения детерминированной величины представляет собой функцию Хевисайда , а плотность распределения – дельта-функцию : ) M ( ) ( ); M ( ) ( − = − = x x f x H x F δ , где М – математическое ожидание , равное значению детерминированной величины ( в нашем случае М =10). Задача 3. Непрерывная случайная величина равномерно распределена в интервале (-30; +20). Нарисовать график плотности и функции распределения случайной величины Определить : а ) математичес - кое ожидание случайной величины ; б ) вероятность того , что случайная величина принимает положительные значения Дано: равномерно распределённая случайная величина в интервале (-30; +20). Требуется: 1) нарисовать ) ( x f и ) ( x F ; 2) вычислить ] [ X M ; 3) определить ) 0 ( 1 ) 0 Pr( F X − = ≥ Решение. 1) Графики плотности и функции равномерно распределённой случайной величины : 2) Очевидно , что математическое ожидание равномерно распре - делённой случайной величины находится в середине заданного интервала (-30; +20) и равно : 5 M − = Этот же результат может быть получен с использованием формулы для расчета математического ожидания равно - мерно распределённой случайной величины : 5 2 20 30 2 M − = + − = + = b a , где b a и - соответственно левая и правая границы интервала 3) Вероятность того , что случайная величина принимает положительные значения , также может быть определена несколькими -30 -20 -10 +20 +10 0 ) ( x f -30 -20 -10 +20 +10 0 ) ( x F 1 x x 74 Раздел 2. Элементы теории вероятностей способами Во - первых , через значение функции распределения : 4 , 0 6 , 0 1 ) 0 ( 1 ) 0 Pr( = − = − = ≥ F X Во - вторых , из графика плотности рас - пределения как площадь под плотностью распределения , ограниченная слева значением 0 = x и справа значением 20 + = x ( на графике выделена серым цветом ). Помня , что площадь под плотностью распределения на всём интервале значений случайной величины равна 1, можно сделать вывод , что площадь на интервале значений (0, +20) составляет 2/5, то есть равна 0,4. 2.9. Самоконтроль : перечень вопросов и задач 1. Что понимается под случайной величиной ? 2. Приведите примеры случайных величин 3. Является ли случайной величиной …: … число дней в году ? … рост человека ? … количество пассажиров в автобусе ? … интервал между поездами в метро ? … температура воздуха на улице ? … напряжение в электрической сети ? … количество студентов в группе ? … оценка на экзамене ? Ответы сопроводить необходимыми пояснениями Какие из перечислен - ных величин являются непрерывными ? 4. Приведите примеры дискретных и непрерывных случайных величин 5. Что характеризует вероятность ? 6. Как рассчитать вероятность какого - либо события ? 7. Рассчитайте вероятность того , что в тщательно перемешанной колоде из 36 карт нижней картой окажется …: … туз пиковый ? … туз любой масти ? … любой масти туз или король ? … пиковый туз или пиковый король ? … пиковый туз или крестовый король ? … любая карта красной масти ? 8. Рассчитайте вероятность того , что в тщательно перемешанной колоде из 36 карт две верхние карты окажутся …: … тузами ? … туз и король одной масти ? … пиковый туз и пиковый король ? … пиковый туз или король любой масти ? … красной масти ? 9. Из тщательно перемешанной колоды , содержащей 36 карт , Раздел 2. Элементы теории вероятностей 75 отброшена половина карт Какова вероятность того , что в оставшейся половине колоды находится …: … туз пиковый ? … туз любой масти ? … любой масти туз или король ? … пиковый туз или пиковый король ? … пиковый туз или крестовый король ? … любая карта красной масти ? 10. Понятие и способы задания закона распределения случайной величины 11. Понятие и свойства функции распределения случайной величины 12. Понятие и свойства плотности распределения вероятностей 13. Что характеризует и какую размерность имеет математическое ожидание ( дисперсия ; второй начальный момент ; среднеквадратическое отклонение ; коэффициент вариации , функция распределения , плотность распределения ) случайной величины ? 14. Для чего используются производящая функция и преобразование Лапласа ? Для каких случайных величин используется преобразование Лапласа ? 15. Назовите известные Вам дискретные и непрерывные законы распределений 16. Чему равен коэффициент вариации : а ) экспоненциального распределения ; б ) распределения Эрланга 9- го порядка ? 17. В каком интервале находится коэффициент вариации распреде - ления : а ) Эрланга ; б ) гиперэкспоненциального ; в ) гиперэрланговского ? 18. Нарисовать график плотности и функции распределения : а ) экс - поненциального ; б ) Эрланга ; в ) гиперэкспоненциального 19. Показать на графике и пояснить , в чём различие между плот - ностями распределений экспоненциального и гиперэкспоненциального законов 20. Показать на графике и пояснить , в чём различие между плот - ностями распределений Эрланга 2- го и 4- го порядка 21. Дискретная случайная величина принимает значения 1; 2; 3 с вероятностями 0,5; 0,4; 0,1 соответственно Вычислить математическое ожидание , дисперсию , второй начальный момент , среднеквадратическое отклонение , коэффициент вариации 22. Чему равно математическое ожидание , дисперсия , второй начальный момент и коэффициент вариации детерминированной величины X=25? 23. Определить значение детерминированной величины X, если известно , что ее второй начальный момент равен 25? 24. Определить коэффициент вариации детерминированной величины X, если известно , что ее второй начальный момент равен 121? 25. Математическое ожидание экспоненциально распределенной 76 Раздел 2. Элементы теории вероятностей случайной величины равно 0,1. Определить среднеквадратическое отклонение , второй начальный момент и коэффициент вариации 26. Дисперсия экспоненциально распределенной случайной величины равна 16. Определить математическое ожидание и второй начальный момент 27. Чему равен коэффициент вариации распределения Эрланга 4- го порядка ? 28. Чему равна дисперсия случайной величины , распределенной по закону Эрланга 9- го порядка с математическим ожиданием , равным 15? 29. Дискретная случайная величина принимает значения 1; 2; 3 соответственно с вероятностями 0,3; 0,1; 0,6. Нарисовать график функции распределения случайной величины Определить математическое ожидание и второй начальный момент 30. Непрерывная случайная величина принимает значения в интервалах (1; 2) и (3; 4), причем вероятность появления значения из интервала (3; 4) в три раза больше вероятности появления значения из интервала (1; 2). Полагая , что в пределах каждого из интервалов случайная величина имеет равновероятное распределение , построить графики функции и плотности распределения Вычислить математическое ожидание , дисперсию , второй начальный момент , среднеквадратическое отклонение , коэффициент вариации 31. Случайная величина может принимать только два значения 10 и 90. Какова вероятность появления этих значений , если известно , что математическое ожидание случайной величины равно 80? 32. В чём заключается свойство отсутствия последействия , присущее экспоненциальному закону распределения случайных величин ? 33. Какие распределения , связанные с экспоненциальным , можно использовать для аппроксимации случайных величин с коэффициентом вариации 1 < ν ? 34. Что представляет собой однофазное гиперэкспоненциальное распределение ? 35. В каком интервале находится коэффициент вариации случайной величины , имеющей однофазное гиперэкспоненциальное распределение ? Раздел 3. Математические модели дискретных систем 77 Раздел 3. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ДИСКРЕТНЫХ СИСТЕМ «Соседняя очередь всегда движется быстрее. Как только вы перейдете в другую очередь, ваша бывшая начинает двигаться быстрее» (Наблюдение Этторе) Исследование сложных систем предполагает построение абстракт- ных математических моделей, представленных на языке математических отношений в терминах определенной математической теории, позволяю- щей получить функциональные зависимости характеристик исследуемой системы от параметров. Изучение процессов, протекающих в дискретных системах со стохастическим характером функционирования, проводится в рамках теории массового обслуживания (ТМО) и теории случайных процессов. При этом многие модели реальных систем строятся на основе моделей массового обслуживания (ММО), которые делятся на базовые модели в виде систем массового обслуживания и сетевые модели в виде сетей массового обслуживания, представляющие собой математические объекты, описываемые в терминах соответствующего математического аппарата. 3.1. Основные понятия Для описания одного и того же понятия многочисленные литератур- ные источники по моделям и методам теории массового обслуживания зачастую используют разные термины. Сама «теория массового обслужи- вания» часто называется «теорией очередей» (в англоязычной литературе Queue Theorie), наряду с термином «обслуживающий прибор» используют- ся термины «устройство», «канал», «линия» и т.д. Обычно это связано с прикладной областью, в которой применяются модели массового обслужи- вания. Например, термины «вызов» и «линия» используются в телефонии (откуда собственно и пошла теория массового обслуживания), термин «клиент» – в моделях магазинов, банков, парикмахерских и т.д. В связи с этим, желательно иметь однозначные термины и понятия, которые будут использоваться при изложении материала в последующих разделах. Рассматривая модели массового обслуживания как абстрактные математи- ческие модели, ниже вводятся и используются термины безотносительно прикладной области применения этих моделей. Для каждого термина в круглых скобках перечислены термины-синонимы, которые могут встретиться в других источниках. 3.1.1. Система массового обслуживания Система массового обслуживания (СМО) – математический (абстрактный) объект, содержащий один или несколько приборов |