Механики
 Скачать 4.29 Mb.
|
|
Пример Пусть математическое ожидание и коэффициент вариации аппроксимируемого выражения соответственно равны : 10 = t и 4 , 0 = ν В соответствии с выше изложенным алгоритмом аппроксимации : 1) минимально необходимое число экспоненциальных фаз в аппроксимирующем распределении : 7 = k ( 25 , 6 16 , 0 1 = ≥ k ); 2) выберем значение 3 1 = k , тогда 4 3 7 2 = − = k ; на основе (2.29) рассчитываются значения 2 1 = t и 1 2 = t Таким образом , в качестве аппроксимирующего распределения выбираем семифазное гипоэкспоненциальное распределение , в котором три экспоненциальные фазы имеют математическое ожидание , равное 2, и четыре фазы – математическое ожидание , равное 1. 2.6.2. Аппроксимация распределения с коэффициентом вариации 1 > ν Положим , что математическое ожидание и коэффициент вариации некоторой случайной величины τ , определенной в положительной области действительных чисел , соответственно равны ν и t , причем 1 > ν Для аппроксимации закона распределения такой случайной величины в теории массового обслуживания часто используют гиперэкспоненциальное распределение , представляющее собой компози - цию экспоненциальных распределений Гиперэкспоненциальное распределение r Н может быть представлено в виде множества параллельных фаз c экспоненциальными распределениями с параметрами i i t / 1 = α , где ) , 1 ( ] [ r i M t i i = = τ – математическое ожидание экспоненциально распределенной случайной 64 Раздел 2. Элементы теории вероятностей величины в i - ой фазе ( рис .2.15). В простейшем случае гиперэкспоненциальное распределение может быть представлено в виде двухфазного распределения ( рис .2.16). Параметрами такого распределения являются : t 1 и t 2 – математические ожидания первой и второй экспоненциальных фаз соответственно ; q – вероятность формирования значения случайной величины в первой фазе Полученное таким обра - зом распределение является трехпараметрическим Это озна - чает , что аппроксимация таким распределением может выпол - няться по трем числовым моментам Выбор значений параметров гиперэкспонен - циального распределения толь - ко по двум моментам ( математическому ожиданию и коэффициенту вариации ) предполагает наличие некоторого произвола Таким образом , задача аппроксимации гиперэкспоненциальным распределением сводится к определению значений параметров q t t и , 2 1 в зависимости от известных значений математического ожидания t и коэффициента вариации ν аппроксимируемого закона распределения случайной величины τ Математическое ожидание и второй начальный момент гиперэкспоненциального распределения соответственно равны : ; ) 1 ( 2 1 t q t q t − + = (2.31) ]. ) 1 ( [ 2 2 2 2 1 ) 2 ( t q t q t − + = Тогда коэффициент вариации гиперэкспоненциального распреде - ления : , 1 ] ) 1 ( [ 2 2 2 2 2 1 2 − − + = t t q t q ν 1 2 r … 1 q r q 2 q ∑ = = r i i q 1 1 Рис.2.15. Многофазное представление гиперэкспоненциального распределения H r q 1- q exp( t 1 ) exp( t 2 ) Рис.2.16. Двухфазное представление гиперэкспоненциального распределения Раздел 2. Элементы теории вероятностей 65 ) 1 ( 2 2 ν + = q t t 2 1 2 1 + = ν Рис.2.17. Однофазное распределение q − 1 откуда : ). 1 ( ] ) 1 ( [ 2 2 2 2 2 2 1 ν + = − + t t q t q й (2.32) Из (2.31) имеем : 1 1 2 q t q t t − − = й йй й (2.33) Подставив последнее выражение в (2.32), после некоторых преобразований получим квадратное уравнение : 0 ] ) 1 ( 1 [ 4 2 2 2 1 2 1 = − − + + − t q q t t q t q ν (2.34) Решая это квадратное уравнение относительно 1 t , получим : − − ± = ) 1 ( 2 1 1 2 1 ν q q t t Для того чтобы гарантировать 0 1 > t , в качестве решения выберем корень уравнения со знаком плюс перед знаком радикала : t q q t − − + = ) 1 ( 2 1 1 2 1 ν . (2.35) Подставим (2.35) в (2.33) и найдем 2 t : t q q t − − − = ) 1 ( ) 1 ( 2 1 2 2 ν . (2.36) Потребуем , чтобы 0 2 ≥ t , то есть 1 ) 1 ( ) 1 ( 2 2 ≤ − − ν q q Отсюда : 2 1 2 ν + ≤ q . (2.37) Выражения (2.35) – (2.37) можно использовать для аппроксимации любого закона распределения с коэффициентом вариации 1 > ν двухфаз - ным гиперэкспоненциальным распределением , для чего достаточно выбрать значение вероятности q из условия (2.37) и рассчитать значения 2 1 и t t в соответствии с (2.35) и (2.36). Рассмотрим частный случай , когда 2 1 2 ν + = q Подставляя это выражение в (2.35) и (2.36), получим : 0 ; 2 1 2 2 1 = + = t t t ν . (2.38) Последние выражения соот - ветствуют однофазному представ - лению гиперэкспоненциального распределения , показанному на рис .2.17. Заметим , что полученные для 2 1 и t t выражения (2.35) и (2.36) – симметричны Можно 66 Раздел 2. Элементы теории вероятностей показать , что если выбрать в качестве решения квадратного уравнения (2.34) второй корень со знаком минус перед знаком радикала и потребовать , чтобы выражение в квадратных скобках не было отрицательным , то получим : − − − = ) 1 ( 2 1 1 2 1 ν q q t t ; (2.39) − − + = ) 1 ( ) 1 ( 2 1 2 2 ν q q t t , (2.40) а условие (2.37) для выбора значения q примет вид : 1 1 2 2 + − ≥ ν ν q , (2.41) что равносильно перестановке двух экспоненциальных фаз ( см рис .2.16) гиперэкспоненциального распределения Пример. Пусть 3 = ν , тогда в соответствии с (2.37): 2 , 0 3 1 2 2 = + ≤ q Рассмотрим два варианта аппроксимации 1) Выберем 1 , 0 = q , тогда в соответствии с (2.35) и (2.36): t t 7 1 = ; t t 3 1 2 = Таким образом , в качестве аппроксимирующего распределения может быть выбрано двухфазное гиперэкспоненциальное распределение , в котором с вероятностью 1 , 0 = q случайная величина формируется в первой фазе с математическим ожиданием в 7 раз большим , чем математическое ожидание аппроксимируемой случайной величины , и с вероятностью 9 , 0 = q случайная величина формируется во второй фазе с математическим ожиданием в 3 раза меньшим , чем математическое ожидание аппроксимируемой случайной величины 2) Выберем 2 , 0 = q , тогда в соответствии с (2.38): t t t 5 2 1 3 2 1 = + = ; 0 2 = t В этом варианте в качестве аппроксимирующего распределения используется однофазное гиперэкспоненциальное распределение , в котором с вероятностью 2 , 0 = q случайная величина формируется в единственной фазе с математическим ожиданием в 5 раз большим , чем математическое ожидание аппроксимируемой случайной величины , и с вероятностью 8 , 0 = q случайная величина принимает значение 0. Таким образом , этот вариант аппроксимации предполагает , что 80% значений случайной величины будут нулевыми Рассмотренные два варианта аппроксимации обеспечивают Одина - ковые значения математических ожиданий и коэффициентов вариаций , но различаются третьими и более высокими моментами распределений Раздел 2. Элементы теории вероятностей 67 Очевидно , что второй вариант аппроксимации может оказаться более предпочтительным , например , при аппроксимации времени ожидания в системе массового обслуживания , если известно , что около 80% заявок прошли через систему с нулевым ожиданием , и коэффициент вариации времени ожидания больше единицы 2.7. Резюме 1. Базовые понятия теории вероятностей – « событие », « вероятность », « случайная величина ». Вероятность – численная мера степени объективной возможности некоторого события Вероятность может принимать только положитель - ные значения из интервала [0; 1]. Величина , принимающая значение , неизвестное заранее , называется случайной Различают дискретные ( прерывные ) и непрерывные ( аналоговые ) случайные величины. 2. Закон распределения случайной величины – соотношение , устанавливающее связь между возможными значениями случайной величины и соответствующими им вероятностями Закон распределения дискретной случайной величины может быть задан : • аналитически в виде математического выражения ; • таблично в виде ряда распределения ; • графическив виде многоугольника распределения Закон распределения непрерывной случайной величины может быть задан в виде : • функции распределения F ( x ) случайной величины X , представляю - щей собой вероятность того , что случайная величина X примет значение меньшее , чем некоторое заданное значение x : ); P( ) ( x X x F < = • плотности распределения f ( x ), определяемой как производная от функции распределения F ( x ) по x : ). ( ) ( x F x f ′ = Функция распределения однозначно определяется через плотность распределения как ∫ ∞ − = x dx x f x F ) ( ) ( Свойства функции распределения : • F ( x ) – неубывающая функция : если x j > x i , то ); ( ) ( i j x F x F ≥ • функция распределения принимает значения от 0 до 1 , причём : 0 ) ( = −∞ F и 1 ) ( = +∞ F Свойства плотности распределения : • плотность распределения принимает только неотрицательные значения : ; 0 ) ( ≥ x f 68 Раздел 2. Элементы теории вероятностей • площадь на графике , ограниченная плотностью распределения и осью абсцисс , всегда равна единице : 1 ) ( = ∫ +∞ ∞ − dx x f 3. Числовые характеристики – начальные ] [ X s α и центральные ] [ X s β моменты – позволяют выразить в сжатой форме наиболее существенные особенности распределения случайной величины Первый начальный момент случайной величины Х называется математическим ожиданием и характеризует среднее значение случайной величины : ] [ ] [ 1 X X M α = Второй начальный момент ] [ 2 X α случайной величины X характеризует разброс значений случайной величины относительно начала координат Второй центральный момент называется дисперсией случайной величины : ] [ ] [ D 2 X X β = и характеризует разброс значений случайной величины относительно математического ожидания Дисперсия и второй начальный момент связаны зависимостью 2 2 ]) [ M ( ] [ ] [ D X X X − = α Среднеквадратическое отклонение ] [ X σ – характеристика разбро- са , размерность которой совпадает с размерностью случайной величины : ] [ D ] [ X X = σ Коэффициент вариации ] [ X ν – безразмерная характеристика разброса случайных величин , определенных в области положительных значений : ] M[ / ] [ ] [ X X X σ ν = ( 0 ] [ M > X ). 4. Производящая функция распределения ) ( P k X p k = = дискретной случайной величины X : ∑ ∞ = ≤ = 0 * 1 ) ( k k k z p z z X Математическое ожидание и дисперсия : )] 1 ( ' [ ) 1 ( ' ) 1 ( " ] [ D ); 1 ( ' ] [ M 2 p p p X p X − + = = Производящая функция ) ( * z X суммы n X X X X K + + = 2 1 независимых случайных величин : ) ( ) ( ) ( ) ( * * 2 * 1 * z X z X z X z X n K = Преобразование Лапласа плотности распределения ) ( x f неотрицательной непрерывной случайной величины X : ∫ ∞ − ≥ = 0 * ). 0 ( ) ( ) ( s dx x f e s F sx Начальные моменты случайной величины : Раздел 2. Элементы теории вероятностей 69 ) ( ! ) 1 ( ] [ 0 * = − = s k k k k s F ds d k X α Преобразование Лапласа суммы Y X Z + = независимых случайных величин X и Y равно произведению преобразований Лапласа слагаемых : ) ( ) ( ) ( * * * s Y s X s Z = 5. В моделях дискретных систем наиболее широко применяются следующие законы распределений случайных величин : • распределение Пуассона ( дискретный закон ): ) , 2 , 1 , 0 ( ! ) ( a K = = = = − k e k a k X P p k k , где a – параметр распределения ( 0 > a ); • геометрическое распределение ( дискретный закон ): ( ) K , 2 , 1 , 0 ) 1 ( ) ( = − = = = k k X P p k k ρ ρ , где ρ – параметр распределения ( 1 0 < < ρ ); • равномерное распределение ( непрерывный закон ) с плотностью > < < − = ; при 0 ; при 1 ) ( b x b x a a b x f • экспоненциальное распределение ( непрерывный закон ) с функцией и плотностью , ) ( ; 1 ) ( x e x f e x F x α α α − = − = − где − > 0 α параметр распределения ; 0 ≥ x ; 1 ] [ = X эксп ν . • распределение Эрланга k-го порядка ( непрерывный закон ) с функцией и плотностью : , )! 1 ( ) ( ) ( ; ! ) ( 1 ) ( 1 1 0 x k k k i i x k e k x x f i x e x F α α α α α − − − = − − = − = ∑ где α и k – параметры распределения ) , 2 , 1 ; 0 ( K = ≥ k α ; 0 ≥ x ; 1 1 ] [ ≤ = k X k Э ν ; математическое ожидание распределения Эрланга зависит от значения параметра k ; • нормированное распределение Эрланга ( непрерывный закон ) с функцией и плотностью : , )! 1 ( ) ( ) ( ; ! ) ( 1 ) ( 1 1 0 x k k k k i i x k k e k x k k x f i x k e x F α α α α α − − − = − − = − = ∑ коэффициент вариации нормированного распределения Эрланга также меньше или равен единице : 1 1 ] [ ≤ = k X k нЭ ν , но математическое ожидание не зависит от значения параметра k ; 70 Раздел 2. Элементы теории вероятностей • гиперэкспоненциальное распределение ( непрерывный закон ): = − = − = ∑ ∑ ∑ = − = = − − n i x i i n i n i x i x i i i i e q x f e q e q x F 1 1 1 ) ( ; 1 ) 1 ( ) ( α α α α ; • гиперэрланговское распределение представляет собой аддитивную смесь нормированных распределений Эрланга и является наиболее общим распределением неотрицательных непрерывных случайных величин , поскольку имеет коэффициент вариации в интервале от 0 до ∞ ; плотность гиперэкспоненциального распределения : ∑ = − − ≥ − = n i x k i k i i i i i x e k x k k q x f i i i 1 1 ) 0 ( )! 1 ( ) ( ) ( α α α 6. Если реальные временные интервалы имеют значения коэффи - циента вариации , значительно отличающиеся от единицы , использование экспоненциального распределения может привести к большим погрешно - стям конечных результатов В этих случаях в качестве аппроксимирующих функций законов распределений могут использоваться вероятностные законы , представляющие собой композицию экспоненциальных распреде - лений , при этом аппроксимация реального распределения , в простейшем случае , выполняется по двум первым моментам : математическому ожиданию t и коэффициенту вариации ν В качестве таких аппроксимирующих распределений могут использоваться : • если коэффициент вариации временного интервала меньше единицы ( 1 0 < < ν ), гипоэкспоненциальное распределение , параметры которого рассчитываются по формулам : ( ) ( ) − − = − + = ≥ 1 1 ; 1 1 ; 1 2 2 1 2 2 1 2 1 2 ν ν ν k k k k t t k k k k t t k ; • если коэффициент вариации временного интервала больше единицы ( 1 > ν ), гипреэкспоненциальное распределение , параметры которого рассчитываются по формулам : 2 1 2 ν + ≤ q ; t q q t − − + = ) 1 ( 2 1 1 2 1 ν ; t q q t − − − = ) 1 ( ) 1 ( 2 1 2 2 ν |