Механики
 Скачать 4.29 Mb.
|
|
2.5.4. Экспоненциальный закон распределения Непрерывная случайная величина Х, принимающая положительные значения в бесконечном интервале ) ; 0 ( ∞ + , распределена по экспоненциальному (показательному) закону, если функция ) ( x F и плотность ) (x f распределения соответственно имеют вид: , ) ( , 1 ) ( x e x f e x F x α α α − = − = − (2.12) где 0 > α – параметр распределения; 0 ≥ x – непрерывная случайная величина. Замечательной особенностью экспоненциального распределения является то, что его коэффициент вариации не зависит от параметра α и всегда равен единице: 1 ] [ = X эксп ν . На рис.2.7 показаны функция и плотность экспоненциального распределения для трех значений параметра: 5 , 0 = α ; 1 = α ; 2 = α Преобразование Лапласа экспоненциального распределения s s F + = α α ) ( * (2.13) Экспоненциальное распределение широко применяется в теории массового обслуживания при описании случайных процессов, протекающих в моделях массового обслуживания. Это объясняется тем, что экспоненциальное распределение обладает замечательным свойством, присущим только этому распределению, благодаря которому для многих моделей массового обслуживания удается получить достаточно простые аналитические результаты в явном виде. С этим же распределением тесно связан особый класс дискретных случайных процессов, называемых марковскими процессами, в которых переходы между состояниями не зависят от предыстории процесса и определяются только состоянием процесса в данное конкретное время. Это свойство иногда называют 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2 0 1 2 3 4 5 0 0,5 1 1,5 2 0 1 2 3 4 5 Рис.2.7. Функция и плотность экспоненциального распределения F(x) f(x) x x 5 , 0 = α 1 = α 2 = α 5 , 0 = α 1 = α 2 = α Раздел 2. Элементы теории вероятностей 49 свойством отсутствия памяти у экспоненциального распределения (точнее, у экспоненциально распределенных случайных величин), а в теории массового обслуживания используется термин «отсутствие последействия» (см. п.2.6). Возможность получения сравнительно простых аналитических результатов при использовании предположения об экспоненциальном характере случайных процессов обусловила появление рассматриваемых ниже специфических законов распределений, представляющих собой композиции экспоненциальных распределений и позволяющих упростить решение многих задач, связанных с исследованием моделей массового обслуживания. К ним, в частности, относятся следующие распределения: Эрланга, гиперэкспоненциальное, гиперэрланговское. Задание на самостоятельную работу: 1. Определить математическое ожидание, второй начальный момент, дисперсию и построить график функции и плотности экспоненциального распределения. 2. Доказать, что коэффициент вариации экспоненциального распределения равен единице. 3. Вывести формулу (2.13). 2.5.5. Распределение Эрланга Распределением Эрланга k-го порядка называется распределение, описывающее непрерывную случайную величину X, принимающую положительные значения в интервале ) ; 0 ( ∞ + и представляющую собой сумму k независимых случайных величин, распределенных по одному и тому же экспоненциальному закону с параметром α . Функция и плотность распределения Эрланга k-го порядка имеют вид: , )! 1 ( ) ( ) ( ; ! ) ( 1 ) ( 1 1 0 x k k k i i x k e k x x f i x e x F α α α α α − − − = − − = − = ∑ (2.14) где α и k – положительные параметры распределения ) , 2 , 1 ; 0 ( K = ≥ k α ; − ≥ 0 x непрерывная случайная величина. На рис.2.8 показаны плотности распределения Эрланга при 1 = α для трех значений параметра: 1 = k ; 2 = k ; 4 = k При 1 = k распределение Эрланга вырождается в экспоненциальное, а при ∞ → k – приближается к нормальному распределению. Преобразование Лапласа распределения Эрланга k-го порядка k s s F + = α α ) ( * . (2.15) Поскольку распределение Эрланга является двухпараметрическим, то оно может использоваться для аппроксимации реальных распределений по двум первым моментам. 50 Раздел 2. Элементы теории вероятностей 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2 0 0,8 1,6 2,4 3,2 4 4,8 Значения случайной величины Коэффициент вариации распределения Эрланга зависит от параметра k и принимает значения меньшие или равное единице: ...) , 2 , 1 ( 1 1 ] [ = ≤ = k k X Эk ν . Отметим , что математическое ожидание распределения Эрланга зависит от значения параметра k, что создаёт определенные проблемы при аппроксимации реальных распределений законом Эрланга Эти проблемы отсутствуют при аппроксимации нормированным распределением Эрланга Задание на самостоятельную работу: 1. Определить математическое ожидание , дисперсию , коэффициент вариации распределения Эрланга k- го порядка . 2. Доказать , что коэффициент вариации распределения Эрланга не превышает 1. 3. Построить графики функции и плотности распределений Эрланга 5- го и 8- го порядка . 2.5.6. Нормированное распределение Эрланга Нормированное распределение Эрланга представляет собой распре - деление суммы k независимых случайных величин , каждая из которых распределена по экспоненциальному закону с параметром α k , зависящим от k. Другими словами , суммируются k экспоненциально распределенных случайных величин , каждая из которых имеет математическое ожидание в k = 1 k = 2 k = 4 Рис .2.8. Плотность распределения Эрланга f(x) x 1 = α Раздел 2. Элементы теории вероятностей 51 k раз меньшее , чем исходное математическое ожидание реального распре - деления , что приводит к независимости математического ожидания нормированного распределения Эрланга от параметра k. Математические выражения для функции и плотности нормирован - ного распределения Эрланга можно получить из (2.14), заменив параметр α на α k : , )! 1 ( ) ( ) ( ; ! ) ( 1 ) ( 1 1 0 x k k k k i i x k k e k x k k x f i x k e x F α α α α α − − − = − − = − = ∑ Коэффициент вариации нормированного распределения Эрланга так же , как и ненормированного , зависит от параметра k и принимает значения меньшие или равное единице : ...) , 2 , 1 ( 1 1 ] [ = ≤ = k k X нЭk ν . На рис .2.9 показаны плотности распределения Эрланга при 1 = α для трех значений параметра : 1 = k ; 2 = k ; 16 = k 0 0,4 0,8 1,2 1,6 2 0 0,8 1,6 2,4 3,2 4 4,8 Нормированное распределение Эрланга при ∞ → k , в отличие от простого распределения Эрланга , приводит к детерминированной величине α / 1 Преобразование Лапласа нормированного распределения Эрланга k s k k s F + = α α ) ( * . (2.16) Задание на самостоятельную работу: 1. Построить графики функции и плотности нормированного распределения Эрланга 5- го порядка и сравнить с простым распределением Эрланга . Рис .2.9. Плотность нормированного распределения Эрланга f(x) x k = 16 k = 2 k = 1 – экспоненциальное распределение 1 = α 52 Раздел 2. Элементы теории вероятностей 2. Определить математическое ожидание , второй начальный момент , дисперсию , коэффициент вариации нормированного распределения Эрланга . Доказать , что коэффициент вариации нормированного распределения Эрланга не превышает 1. 2.5.7. Гиперэкспоненциальное распределение В тех случаях , когда некоторое реальное распределение непрерывной случайной величины , принимающей неотрицательные значения , имеет коэффициент вариации больше единицы , для его аппроксимации может использоваться гиперэкспоненциальное распределение Как следует из названия , гиперэкспоненциальное распределение некоторым образом связано с экспоненциальным и представляет собой аддитивную смесь разных экспоненциальных распределений Процесс формирования случайных величин с гиперэкспоненциальным распределе - нием из экспоненциально распределенных случайных величин может быть представлен следующим образом Положим , что имеется n разных генераторов экспоненциально распределённых случайных величин с параметрами n α α , , 1 K соответст - венно ( математическими ожиданиями n n М М α α 1 , , 1 1 1 = = K ), причем j i α α ≠ для всех ) , 1 , ( n j i j i = ≠ Пусть в результате одного опыта с вероятностью i q вырабатывается только одна случайная величина i- м гене - ратором с параметром i α ) , 1 ( n i = , причем 1 1 = + + n q q K Совокупность случайных величин , полученных в результате проведения множества таких опытов , будет распределена по гиперэкспоненциальному закону : = − = − = ∑ ∑ ∑ = − = = − − n i x i i n i n i x i x i i i i e q x f e q e q x F 1 1 1 ) ( ; 1 ) 1 ( ) ( α α α α (2.17) Гиперэкспоненциальное распределение (2.17) содержит ) 1 2 ( − n параметров : 1 1 1 ,..., , ,..., − n n q q α α , поскольку ∑ − = − = 1 1 1 n i i n q q Преобразование Лапласа гиперэкспоненциального распределения ∑ = + = n i i i i s q s F 1 * ) ( α α В простейшем варианте случайные величины с гиперэкспоненциаль - ным распределением могут быть получены с использованием только двух экспоненциальных распределений : n=2. Тогда функция и плотность гиперэкспоненциального распределения будут иметь вид : − + = − − + − = − − − − ) 1 ( ) ( ); 1 ( ) 1 ( ) 1 ( ) ( 2 1 2 1 2 1 x x x x e q e q x f e q e qp x F α α α α α α (2.18) Раздел 2. Элементы теории вероятностей 53 Заметим, что гиперэкспоненциальное распределение (2.18) является трехпараметрическим, то есть содержит три независимых параметра: ) 0 ; 0 ; 1 0 ( , , 2 1 2 1 ≥ ≥ < < α α α α q q . Следовательно, аппроксимация реаль- ных распределений гиперэкспоненциальным может осуществляться по трем моментам распределения, а не по двум, как в распределении Эрланга. На рис.2.10 показаны плотности гиперэкспоненциального распреде- ления случайной величины X с математическим ожиданием, равным 1, для двух значений коэффициента вариации: 2 ] [ = X ν и 4 ] [ = X ν . Параметры распределения (2.18) имеют следующие значения: • 506 , 1 ; 183 , 0 2 1 = = α α для распределения с 2 ] [ = X ν ; • 022 , 4 ; 091 , 0 2 1 = = α α для распределения с 4 ] [ = X ν , причем параметр q одинаков для обоих распределений и равен 0,07. Здесь же для сравнения показана плотность экспоненциального распределения с тем же математическим ожиданием М=1. Как видно из представленных графических зависимостей, плотность гиперэкспоненциального распределения по сравнению с экспоненциаль- ным распределением характеризуется более резким спадом в области малых значений случайной величины, причем чем больше коэффициент вариации случайной величины, тем круче эта зависимость. 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2 1,4 1,6 1,8 2 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2 1,4 1,6 1,8 Можно показать, что вероятность появления маленьких значений случайной величины для гиперэкспоненциального распределения намного больше вероятности появления больших значений. Определим вероятность того, что случайная величина примет значение меньше математического ожидания M. Для этого рассчитаем значение функции распределения в 1 ] [ = X ν 4 ] [ = X ν 2 ] [ = X ν ) (x f x Рис .2.10. Плотность гиперэкспоненциального распределения 54 Раздел 2. Элементы теории вероятностей точке M = x : ) M ( ) M ( ) M Pr( F x F X = = = < .Тогда для рассмотренных выше гиперэкспоненциальных распределений получим: = = = = < 4. [X] с ния распределе для 919 0 2; [X] с ния распределе для 735 , 0 ) M ( ) M Pr( ν ν F X Таким образом, более 73% значений случайной величины, распреде- ленной по гиперэкспоненциальному закону с коэффициентом вариации, равным 2, попадает в интервал (0; М) и только 27% значений окажутся больше математического ожидания. Для случайной величины, с коэффици- ентом вариации, равным 4, вероятность попадания в интервал (0; М) еще выше и составляет почти 92%. Очевидно, что чем больше коэффициент вариации, тем больше вероятность появления маленьких значений случайной величины. Для сравнения вычислим эту же вероятность для экспоненциального распределения: 632 , 0 ) M ( ) M Pr( = = < F X . Таким образом, вероятность появления маленьких значений экспоненциально распределенной случайной величины больше вероятности появления больших значений и составляет 63%, но при этом она значительно меньше, чем при гиперэкспоненциальном распределении. Представление о гиперэкспоненциальном распределении будет не полным, если не обратить внимания на «хвост» этого распределения. На рис.2.11 представлен график плотности гиперэкспоненциального распреде- ления для значений случайной величины больше 4. Напомним, что математическое ожидание случайной величины равно 1. 0 0,002 0,004 0,006 0,008 0,01 0,012 0,014 0,016 0,018 0,02 4 4,4 4,8 5,2 5,6 6 6,4 6,8 7,2 7,6 8 8,4 8,8 9,2 9,6 Из графика видно, что кривая плотности гиперэкспоненциального распределения с коэффициентом вариации, равным 4, имеет длинный так 1 ] [ = X ν 4 ] [ = X ν 2 ] [ = X ν ) (x f x Рис .2.11. « Хвост » гиперэкспоненциального распределения Раздел 2. Элементы теории вероятностей 55 называемый «тяжелый хвост», характеризующийся малым изменением. Это означает, что при гиперэкспоненциальном распределении вероятность появления больших значений случайной величины значительно выше, чем, например, для экспоненциального распределения. Таким образом, основ- ное отличие гиперэкспоненциального распределения от экспоненциаль- ного состоит в том, что гиперэкспоненциальное распределение характери- зуется б о льшей вероятностью появления маленьких значений случайной величины и, в то же время, б о льшей вероятностью появления больших значений случайной величины |