Механики
 Скачать 4.29 Mb.
|
|
2.3.1. Начальные моменты Положим, что случайная величина Х описывается вероятностями p 1 , р 2 , ..., р n появления значений х 1 , х 2 , ..., х n , если Х – дискретная величина, и плотностью распределения f(х) ) , ( ∞ + −∞ ∈ x , если Х – непрерывная величина. Начальный момент s-го порядка ] [ X s α случайной величины Х определяется следующим образом ...) , 2 , 1 ( = s : − − = ∫ ∑ ∞ + ∞ − = величины. случайной й непрерывно для ) ( величины; случайной дискретной для ] [ 1 dx x f x p x X s n i i s i s α Первый начальный момент ] [ 1 X α случайной величины Х: − − = ∫ ∑ ∞ + ∞ − = величины случайной й непрерывно для ) ( величины ; случайной дискретной для ] [ 1 1 dx x f x p x X n i i i α называется математическим ожиданием или средним значением случайной величины и обозначается М[X]: ] [ ] [ 1 X X M α = Математическое ожидание характеризует положение случайной величины на числовой оси , то есть показывает некоторое среднее вероятностное ( не путать со средним арифметическим ) значение , около которого группируются все возможные значения случайной величины Второй начальный момент ] [ 2 X α случайной величины X характеризует рассеивание, то есть разброс (удаленность) значений случайной величины относительно начала координат, и имеет размерность квадрата случайной величины 2.3.2. Центральные моменты Центральный момент s-го порядка ] [ X s β случайной величины Х определяется следующим образом ...) , 2 , 1 ( = s : − − − − = ∫ ∑ ∞ + ∞ − = величины. случайной й непрерывно для ) ( ]) [ M ( величины; случайной дискретной для ]) [ M ( ] [ 1 dx x f X x p X x X s n i i s i s β 42 Раздел 2. Элементы теории вероятностей Разность между значениями случайной величины и ее математическим ожиданием (X – М[X]) представляет собой отклонение случайной величины Х от ее математического ожидания и называется центрированной случайной величиной. Тогда центральный момент s-го порядка случайной величины Х можно определить как математическое ожидание s-ой степени соответствующей центрированной случайной величины: ] ]) [ M [( M ] [ s s X X X − = β Для любой случайной величины центральный момент первого порядка равен нулю, так как математическое ожидание центрированной случайной величины всегда равно нулю. Второй центральный момент называется дисперсией случайной величины и обозначается D[X]: ] [ ] [ D 2 X X β = Дисперсия вычисляется по формулам: − − − − = ∫ ∑ ∞ + ∞ − = величины. случайной й непрерывно для ) ( ]) [ M ( величины; случайной дискретной для ]) [ M ( ] [ D 2 1 2 dx x f X x p X x X n i i i Можно показать, что дисперсия и второй начальный момент связаны следующей зависимостью: 2 2 ]) [ M ( ] [ ] [ D X X X − = α . (2.3) Дисперсия случайной величины, как и второй начальный момент, характеризует разброс значений случайной величины, но, в отличие от второго начального момента, относительно математического ожидания, и имеет размерность квадрата случайной величины. При решении различных задач удобно пользоваться характеристикой разброса, размерность которой совпадает с размерностью случайной величины. Такой характеристикой является среднеквадратическое отклонение ] [ X σ , которое определяется как корень квадратный из дисперсии: ] [ D ] [ X X = σ В качестве безразмерной характеристики разброса случайных величин , определенных в области положительных значений , часто используют коэффициент вариации ] [ X ν , который определяется как отношение среднеквадратического отклонения к математическому ожиданию : ] M[ ] [ ] [ X X X σ ν = при условии, что 0 ] [ M > X Применение числовых характеристик существенно облегчает решение многих вероятностных задач, в частности, при решении сложных Раздел 2. Элементы теории вероятностей 43 задач, когда использование законов распределений приводит к громоздким выкладкам и не позволяет получить результаты в явном виде. Очень часто удается решить задачу до конца, оставляя в стороне законы распределения и оперируя одними числовыми характеристиками. Если в задаче фигурирует большое количество случайных величин, то для исчерпывающего суждения о результирующем законе распределения не требуется знать законы распределения отдельных случайных величин, фигурирующих в задаче, а достаточно знать лишь некоторые числовые характеристики этих величин. Кроме того, на практике (и в повседневной жизни) редко оперируют законом распределения для описания конкретных физических величин, предпочитая использовать такие понятия как среднее значение и, в некото- рых случаях, разброс значений случайной величины или минимальное и максимальное значение. Действительно, вряд ли для пассажиров, ожидаю- щих на остановке автобус, представляет интерес закон распределения интервалов между автобусами. Более важным и понятным является указа- ние среднего или максимального интервала. В то же время при моделиро- вании транспортных потоков для получения корректных и достоверных результатов может потребоваться знание закона распределения или, по крайней мере, нескольких моментов распределения искомых интервалов. Альтернативой случайной величине является неслучайная величина, называемая детерминированной. В некоторых задачах детерминирован- ную величину x X = рассматривают как случайную, которая с вероят- ностью 1 = p принимает одно и то же значение x . 2.4. Производящая функция и преобразование Лапласа Аналитическое исследование сложных систем со случайным характером функционирования во многих случаях можно существенно упростить, если действия над функциями распределений заменить действиями над соответствующими производящими функциями и преобразованиями Лапласа. Производящие функции используются для дискретных, а преобразования Лапласа – для непрерывных случайных величин. 2.4.1. Производящая функция Производящей функцией распределения ) ( P k X p k = = дискретной случайной величины X, принимающей неотрицательные целочисленные значения K , 2 , 1 , 0 = k , называется ряд ∑ ∞ = ≤ = 0 * 1 ) ( k k k z p z z X (2.4) Распределение вероятностей однозначно определяется своей производящей функцией: 44 Раздел 2. Элементы теории вероятностей ...). , 2 , 1 , 0 ( ) ( ) 0 ( ), 0 ( ! 1 0 * ) ( * ) ( * = = = = k z X dz d X X k p z k k k k k На основе производящей функции (2.4) могут быть вычислены начальные и центральные моменты случайной величины , в частности математическое ожидание и дисперсия определяются как )] 1 ( [ ) 1 ( ) 1 ( ] [ D ); 1 ( ] [ M 2 ) 1 ( * ) 1 ( * ) 2 ( * ) 1 ( * X X X X X X − + = = (2.5) Производящая функция ) ( * z X суммы n X X X X K + + = 2 1 независимых случайных величин равна произведению производящих функций слагаемых : ) ( ) ( ) ( ) ( * * 2 * 1 * z X z X z X z X n K = 2.4.2. Преобразование Лапласа Преобразованием Лапласа плотности распределения ) ( x f неотри - цательной непрерывной случайной величины X называется функция ∫ ∞ − ≥ = 0 * ). 0 ( ) ( ) ( s dx x f e s F sx (2.6) Плотность распределения однозначно определяется своим преобразованием Лапласа Дифференцируя преобразование Лапласа по s в точке s=0, можно определить начальные моменты случайной величины : ...). , 2 , 1 ( | ) ( ! ) 1 ( ] [ 0 * = − = = k ds s F d k X s k k k k α (2.7) Преобразование Лапласа ) ( * s F суммы n X X X X K + + = 2 1 независимых случайных величин равно произведению преобразований Лапласа слагаемых : ) ( ) ( ) ( ) ( * * 2 * 1 * s F s F s F s F n K = 2.5. Типовые распределения случайных величин «Все законы – имитация реальности» (Метазакон Лилли. ) Моделирование технических систем с дискретным характером функционирования предполагает применение разных законов распределе - ний , как дискретных , так и непрерывных случайных величин Ниже рассматриваются типовые законы распределений случайных величин , широко используемые в моделях массового обслуживания В качестве законов распределений дискретных случайных величин наиболее широко используются : • распределение Пуассона ; • геометрическое распределение Поскольку в математических моделях массового обслуживания непрерывной случайной величиной обычно является время , наибольший Раздел 2. Элементы теории вероятностей 45 интерес представляют законы распределений непрерывных случайных величин , определенных в области положительных значений : • равномерный ; • экспоненциальный ; • Эрланга ; • Эрланга нормированный ; • гиперэкспоненциальный ; • гиперэрланговский 2.5.1. Распределение Пуассона Дискретная случайная величина X распределена по закону Пуассона , если вероятность P(X=k) того , что она примет определенное значение x k = k выражается формулой : ) , 2 , 1 , 0 ( ! ) ( K = = = = − k e k a k X P p a k k , (2.8) где a – некоторая положительная величина , называемая параметром распределения Пуассона На рис .2.4 показаны многоугольники распределения Пуассона для трех значений параметра распределения : a=0,5; a=1; a=2. Производящая функция распределения Пуассона : ) 1 ( * ) ( z a e z X − − = ) 1 0 ( ≤ ≤ z 2.5.2. Геометрическое распределение Распределение дискретной случайной величины X=k вида ( ) K , 2 , 1 , 0 ) 1 ( ) ( = − = = = k k X P p k k ρ ρ , (2.9) где ρ - параметр распределения (0 < ρ < 1), называется геометрическим Распределение (2.9) может быть записано в несколько ином виде , если параметр ρ заменить параметром γ =1- ρ : ( ) K , 2 , 1 , 0 ; 1 0 ) 1 ( = < < − = k p k k γ γ γ На рис .2.5 показаны многоугольники геометрического распределе - ния для трех значений параметра распределения : 2 , 0 = γ ; 5 , 0 = γ ; 8 , 0 = γ Производящая функция геометрического распределения : z z X ρ ρ − − = 1 1 ) ( * или z z X ) 1 ( 1 ) ( * γ γ − − = ) 1 0 ( ≤ ≤ z Задание на самостоятельную работу: 1. Определить математическое ожидание , второй начальный момент , дисперсию , коэффициент вариации для пуассоновского и геометрического распределений . 2. Построить многоугольники распределений для пуассоновского и геометрического законов при других значениях параметров распределений . 46 Раздел 2. Элементы теории вероятностей 0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0 1 2 3 4 5 Значения случайной величины В ер о я тн о ст ь 0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 0 1 2 3 4 5 Значения случайной величины В ер о ят н о ст ь 2.5.3. Равномерный закон распределения Непрерывная случайная величина Х распределена равномерно в интервале (a; b), где a<b, если функция F(x) и плотность f(x) распределения соответственно имеют вид : Рис .2.5. Многоугольники геометрического распределения 2 , 0 = γ 5 , 0 = γ 8 , 0 = γ Рис .2.4. Многоугольники распределения Пуассона a = 0,5 а = 1 а = 2 Раздел 2. Элементы теории вероятностей 47 ; ; при 1 при ; при 0 ) ( > < < − − < = b x b x a a b a x a x x F (2.10) > < < − = при 0 ; при 1 ) ( b x b x a a b x f (2.11) На рис.2.6 показаны функция и плотность равномерного распределения. Задание на самостоятельную работу: 1. Определить математическое ожидание, второй начальный момент, дисперсию, коэффициент вариации и построить график функции и плотности равномерного распределения. 2. Записать выражения для функции и плотности равномерного распределения для следующих частных случаев, когда случайная величина принимает значения: 1) в интервале (0; b) при условии, что b>0; 2) в интервале (а; 0) при условии, что a<0; 3) в интервалах (а; b) и (c; d) при условии, что а математическое ожидание, второй начальный момент, дисперсию, коэффициент вариации. 3. Построить графики функции и плотности распределений для указанных случаев. а b a b x x 1 F(x) f(x) Рис.2.6. Функция и плотность равномерного распределения 0 0 a b − 1 |