Механики
 Скачать 4.29 Mb.
|
|
Задание на самостоятельную работу: 1. Построить графики функции гиперэкспоненциального распределения и сравнить с экспоненциальным распределением . 2. Определить математическое ожидание , второй начальный момент , дисперсию , коэффициент вариации гиперэкспоненциального распределения . 3. Доказать , что коэффициент вариации гиперэкспоненциального распределения превышает 1. 2.5.8. Гиперэрланговское распределение Гиперэрланговское распределение представляет собой аддитивную смесь нормированных распределений Эрланга и является наиболее общим распределением неотрицательных непрерывных случайных величин, по- скольку имеет коэффициент вариации в интервале от 0 до ∞ ∞ ∞ ∞ . Составляющими гиперэрланговского распределения, в отличие от гипер- экспоненциального, являются нормированные распределения Эрланга. Плотность гиперэкспоненциального распределения ∑ = − − ≥ − = n i x k i k i i i i i x e k x k k q x f i i i 1 1 ) 0 ( )! 1 ( ) ( ) ( α α α . (2.19) Преобразование Лапласа гиперэрланговского распределения i k n i i i i i i s k k q s F ∑ = + = 1 * ) ( α α Задание на самостоятельную работу: 1. Построить график плотности гиперэрланговского распределения и сравнить с гиперэкспоненциальным. 2. Определить математическое ожидание, второй начальный момент, дисперсию, коэффициент вариации гиперэрланговского распределения. 3. Доказать, что коэффициент вариации гиперэрланговского распределения может принимать любое значение. Ниже в таблице представлены основные числовые характеристики 56 Раздел 2. Элементы теории вероятностей рассмотренных распределений дискретных и непрерывных случайных величин : • математическое ожидание ] M[ X ; • второй начальный момент ] [ α 2 X ; • дисперсия ] D[ X ; • среднеквадратическое отклонение ] [ X σ ; • коэффициент вариации ] [ X ν В графе « Примечания » указаны значения или диапазон изменения параметров соответствующих распределений Числовые характеристики распределений Распреде - ление M[ X ] ] [ α 2 X D[ X ] ] [ X σ ] [ X ν Приме - чания Пуассона a ) 1 ( + a a a a a 1 0 > a Геометри - ческое γ γ − 1 2 2 ) 1 ( 2 γ γ − 2 2 ) 1 ( γ γ − γ γ − 1 1 1 0 < < γ Равномер - ное 2 b a + 3 2 2 b ab a + + 12 ) ( 2 a b − 3 2 a b − ) ( 3 b a a b + − a b > Экспонен - циальное α 1 2 2 α 2 1 α α 1 1 0 > α Эрланга α k 2 ) 1 ( α + k k 2 α k α k k 1 K , 2 , 1 = k Эрланга нормиро - ванное α 1 2 1 α k k + 2 1 α k k α 1 k 1 K , 2 , 1 = k Гиперэкс - поненци - альное ∑ = n i i i q 1 α ∑ = n i i i q 1 2 2 α 2 2 ]) [ ( ] [ X M X − − α ] [ D X 1 ] [ ≥ X ν 0 1 1 > = ∑ = i n i i q α Гиперэр - лангов - ское ∑ = n i i i q 1 α ∑ = + n i i i i i k k q 1 2 1 α 2 2 ]) [ ( ] [ X M X − − α ] [ D X 0 ] [ ≥ X ν 0 1 1 > = ∑ = i n i i q α K , 2 , 1 = i k Напомним , что представленные числовые характеристики связаны между собой достаточно простыми соотношениями : 2 ]) (M[ ] D[ X X X − = ] [ α 2 ; ] D[ X X = ] [ σ ; ] M[ ] [ X X X σ ν = ] [ Раздел 2. Элементы теории вероятностей 57 2.6. Аппроксимация неэкспоненциальных распределений Работая над решением задачи, всегда полезно знать ответ. (Закон Мэрфи) Как было отмечено в п .2.5.4, экспоненциальное распределение обладает замечательным свойством – свойством отсутствия последействия , благодаря которому оно широко используется при описании случайных процессов , протекающих в моделях массового обслуживания Свойство отсутствия последействия заключается в следующем ( рис .2.12). Если некоторый временной интервал 0 1 t t − = τ представляет собой случайную величину , распределенную по экспоненциальному закону , то интервал * 1 t t − = ξ , начинающийся от случайного момента времени 1 t до завершения данного временн о го интервала , распределен по тому же экспоненциальному закону с тем же параметром α ( средним значением α τ / 1 = ). Другими словами , продолжительность интервала ξ не зависит от предыстории , то есть от того , сколько времени уже прошло до момента * t . Это замечательное свойство экспоненциального распределения используется при построении моделей марковских процессов , представляющих собой особый класс случайных процессов , развитие которых не зависит от предыстории процесса ( см п .5.1.2). Благодаря этому для многих моделей массового обслуживания удается достаточно просто получить конечные результаты , в том числе , в виде аналитических зависимостей в явном виде для расчета характеристик исследуемой системы Поэтому часто при исследовании систем , в которых временн ы е процессы отличаются от экспоненциальных , стремятся свести эти процессы к экспоненциальному представлению Напомним , что для экспоненциального закона распределения случайных величин , определённых в области положительных значений 0 ≥ τ , коэффициент вариации , описывающий разброс значений случайной величины , равен единице Если реальные временн ы е интервалы имеют значения коэффициента вариации значительно отличающиеся от единицы , использование экспоненциального распределения может привести к большим погрешностям конечных результатов В этих случаях в качестве аппроксимирующих функций законов распределений могут использовать - 0 αξ ξ − − = e F 1 ) ( * t 0 t ατ τ − − = e F 1 ) ( τ ξ Рис.2.12. Свойство отсутствия последействия 1 t t 58 Раздел 2. Элементы теории вероятностей ся вероятностные законы , представляющие собой композицию экспонен - циальных распределений , а именно : • распределение Эрланга и гипоэкспоненциальное распределение , когда коэффициент вариации временного интервала меньше единицы : 1 0 < < ν ; • гипреэкспоненциальное распределение , когда коэффициент вариации временного интервала больше единицы : 1 > ν При этом аппроксимация реального распределения , в простейшем случае , может выполняться по двум первым моментам распределения : • математическому ожиданию ; • коэффициенту вариации 2.6.1. Аппроксимация распределения с коэффициентом вариации 1 0 < < ν Положим , что математическое ожидание и коэффициент вариации некоторой случайной величины τ , определенной в положительной области действительных чисел , соответственно равны ν и t , причем 1 0 < < ν Для аппроксимации закона распределения такой случайной величии- ны в теории массового обслуживания часто используют распределение Эрланга k-го порядка k E , которое может быть представлено в виде после- довательности k экспоненциально распределенных фаз с одинаковым пара- метром ) , 1 ( ] [ M / 1 k i i = = = τ α α , где ] [ M τ – математическое ожидание экспоненциально распределенной случайной величины в одной фазе (рис.2.13). Такое представление позволяет трактовать формирование случайных величин, распределенных по закону Эрланга, как сумму k случайных величин, распределенных по одному и тому же экспоненциальному закону. Математическое ожидание и коэффициент вариации случайной величины, распределенной по закону Эрланга k-го порядка: k k k k E E 1 ]; [ M M = = ν τ , 1 2 k … Рис.2.13. Многофазное представление распределения Эрланга ατ τ − − = e F 1 ) ( k E Раздел 2. Элементы теории вероятностей 59 где , 2 , 1 = k – параметр распределения Эрланга, принимающий только целочисленные значения. Тогда для заданных реальных (измеренных) значений математичес- кого ожидания t и коэффициента вариации ) 1 0 ( < < ν ν некоторой случай- ной величины τ , определенной в положительной области действительных чисел, параметры аппроксимирующего распределения Эрланга будут определяться следующим образом: k t k = = ] [ M ; 1 2 τ ν , где ]x[ означает ближайшее целое, большее x, поскольку параметр k может принимать только целочисленные значения. Нетрудно убедиться, что распределение Эрланга позволяет аппроксимировать только те реальные распределения, коэффициенты вариации которых имеют следующие значения: 707 , 0 = ν при 2 = k ; 577 , 0 = ν при 3 = k ; 5 , 0 = ν при 4 = k и т.д. Для аппроксимации распределений с любым значением коэффициен- та вариации, находящимся в интервале (0; 1), рассмотрим многофазное распределение с разными параметрами экспоненциальных распределений в фазах: ) , 1 ( / 1 k i t i i = = α , где i t – математическое ожидание экспонен- циально распределенной случайной величины в i-й фазе. Такое распреде- ление будем называть гипоэкспоненциальным распределением Проанализируем свойства гипоэкспоненциального распределения на примере двухфазного распределения. Известно, что преобразование Лапласа суммы независимых случай- ных величин равно произведению преобразований Лапласа слагаемых величин. Тогда преобразование Лапласа двухфазного гипоэкспоненциаль- ного распределения будет равно произведению преобразований Лапласа составляющих экспоненциальных распределений: 2 1 2 2 1 1 * 2 * 1 * 1 1 1 1 ) ( ) ( ) ( st st s s s F s F s F + × + = + × + = = α α α α Дифференцируя преобразование Лапласа по s в точке s=0, в соответствии с (2.7) найдем математическое ожидание и второй начальный момент для гипоэкспоненциального распределения: ) ( 2 ; M 2 2 2 1 2 1 ) 2 ( 2 1 2 2 t t t t t t нсЭ нсЭ + + = + = α Отсюда дисперсия, среднеквадратическое отклонение и коэффици- ент вариации будут равны: 2 1 2 2 2 1 2 2 2 1 2 2 2 1 2 2 2 ; ; t t t t t t t t D нсЭ нсЭ нсЭ + + = + = + = ν σ На рис.2.14 показана зависимость коэффициента вариации двухфазного гипоэкспоненциального распределения от отношения 2 1 / t t параметров экспоненциальных составляющих. 60 Раздел 2. Элементы теории вероятностей Как видно из графика, коэффициент вариации гипоэкспоненциаль- ного распределения изменяется в пределах от 1 до 0,7, а точнее до значения коэффициента вариации распределения Эрланга 2-го порядка: 707 , 0 = ν , когда параметры экспоненциальных составляющих равны между собой: 2 1 t t = Очевидно, что для того, чтобы увеличить интервал изменения коэффициента вариации гипоэкспоненциального распределения, необходимо вместо двухфазного использовать многофазное представление. Можно показать, что для гипоэкспоненциального распределения k-го порядка математическое ожидание, дисперсия и коэффициент вариации будут равны: ∑ ∑ ∑ ∑ = = = = = = = k i i k i i нсЭ k i i нсЭ k i i нсЭ t t t D t k k k 1 1 2 1 2 1 ; ; M ν . (2.20) 0,5 0,55 0,6 0,65 0,7 0,75 0,8 0,85 0,9 0,95 1 0,05 0,15 0,25 0,35 0,45 0,55 0,65 0,75 0,85 0,95 Отношение t1/t2 К о эф ф и ц и ен т в ар и ац и и Легко убедиться, что коэффициент вариации гипоэкспоненциального распределения лежит в интервале ( k / 1 ; 1), причем с увеличением k левая Рис.2.14. Зависимость коэффициента вариации от отношения t 1 /t 2 Раздел 2. Элементы теории вероятностей 61 граница этого интервала приближается к нулю Рассмотрим задачу аппроксимации реального распределения с коэф - фициентом вариации 1 0 < < ν гипоэкспоненциальным распределением Положим , что известны математическое ожидание t и коэффициент вариации ν ( причем 1 0 < < ν ) некоторой случайной величины τ , определенной в положительной области действительных чисел Для простоты , без потери общности , положим , что аппроксимирую - щее гипоэкспоненциальное распределение содержит только два типа экспоненциальных фаз : 1 k фаз с параметром 1 1 / 1 t = α и 1 2 k k k − = фаз с параметром 2 2 / 1 t = α , где 1 t и 2 t – математические ожидания экспоненциально распределенных случайных величин в фазах первого и второго типов соответственно Тогда из (2.20) следует , что математическое ожидание , дисперсия и коэффициент вариации будут равны : 2 2 1 1 2 2 2 2 1 1 2 2 2 2 1 1 2 2 1 1 ; ; M t k t k t k t k t k t k D t k t k k k k нсЭ нсЭ нсЭ + + = + = + = ν , (2.21) причем k k k = + 2 1 Таким образом , для аппроксимации по двум моментам необходимо , чтобы выполнялись следующие два условия : = + + = + ν 2 2 1 1 2 2 2 2 1 1 2 2 1 1 ; t k t k t k t k t t k t k , где t и ν соответственно математическое ожидание и коэффициент вариации аппроксимируемого распределения После некоторых простых преобразований получим систему из двух линейных алгебраических уравнений : = + = + 2 2 2 2 2 2 1 1 2 2 1 1 ; t t k t k t t k t k ν Полагая , что значения 1 k и 2 k заданы , решим полученную систему уравнений относительно неизвестных 1 t и 2 t Из первого уравнения следует , что 2 1 1 2 k t k t t − = . (2.22) Подставляя это выражение во второе уравнение , после некоторых алгебраических преобразований получим квадратное уравнение с одним неизвестным 1 t : 0 ) ( 2 ) ( 2 2 2 2 1 1 2 1 2 1 1 = − + − + t k t t t k t k k k ν Решая это квадратное уравнение , получим : 62 Раздел 2. Элементы теории вероятностей ( ) − ± = 1 1 2 1 2 1 ν k k k k t t , (2.23) где 2 1 k k k + = В качестве приемлемого решения могут быть использованы оба корня квадратного уравнения Для того чтобы в (2.23) под знаком квадратного корня иметь неотрицательную величину , необходимо выполнение следующего условия : 2 1 ν ≥ k . (2.24) Полученное условие определяет минимальное количество фаз в аппроксимирующем гипоэкспоненциальном распределении Для того чтобы второе решение со знаком минус перед квадратным корнем давало 0 1 ≥ t , дополнительно необходимо выполнение условия : 2 2 1 ν ≤ k . (2.25) Объединив условия (2.24) и (2.25), окончательно получим вполне очевидное условие : k k ≤ ≤ 2 2 1 ν . (2.26) Подставим теперь (2.23) в (2.22) и найдем 2 t : ( ) − = 1 1 2 2 1 2 ν k k k k t t m , (2.27) для которого получим условие , аналогичное (2.26): k k ≤ ≤ 2 1 1 ν . (2.28) Таким образом , окончательно имеем следующие выражения для аппроксимации гипоэкспоненциальным распределением k - го порядка законов распределений случайных величин с коэффициентом вариации 1 0 < < ν : ( ) ( ) − − = − + = ≥ 1 1 ; 1 1 ; 1 2 2 1 2 2 1 2 1 2 ν ν ν k k k k t t k k k k t t k (2.29) или ( ) ( ) − + = − − = ≥ 1 1 ; 1 1 ; 1 2 2 1 2 2 1 2 1 2 ν ν ν k k k k t t k k k k t t k (2.30) Окончательно алгоритм аппроксимации реального распределения с коэффициентом вариации 1 0 < < ν гипоэкспоненциальным распределением при заданных значениях математического ожидания t и коэффициента вариации ν ( причем 1 0 < < ν ) некоторой случайной величины τ , определенной в положительной области действительных чисел , выглядит следующим образом : Раздел 2. Элементы теории вероятностей 63 1) на основе первого выражения в (2.29) и (2.30) по заданному значению коэффициента вариации ν определяется минимально необходимое число экспоненциальных фаз k в аппроксимирующем распределении как ближайшее большее целое по отношению к 2 / 1 ν ; 2) выбирается значение k k ≤ 1 и рассчитывается 1 2 k k k − = ; 3) на основе (2.29) или (2.30) рассчитываются значения 1 t и 2 t Результаты аппроксимации на основе выражений (2.29) и (2.30), а также при различных значениях 1 k и 1 2 k k k − = , различаются значениями третьего и более высоких моментов распределения , но имеют одинаковые первые и вторые моменты Учет более высоких моментов при аппроксимации реальных распределений не вызывает принципиальных трудностей , но сопровождается более громоздкими математическими выкладками К тому же , во многих случаях , влияние этих моментов на конечные результаты исследований оказывается незначительным |