Механики
 Скачать 4.29 Mb.
|
|
Вопрос 3. Когда оправдано использование предположения о простейшем характере потока заявок? Обсуждение . Предположение о простейшем потоке широко используется не только из-за простоты получения математических зависимостей, но и по той причине, что многие реальные потоки близки к простейшим. Эта близость во многих случаях обусловлена следующим. Во-первых, как сказано выше, суммирование (объединение) независимых стационарных ординарных потоков образует простейший поток при условии, что складываемые потоки оказывают более или менее одинаковое влияние на суммарный поток, причем на практике суммарный поток становится близким к простейшему уже при суммировании 5 потоков. Отметим, что к суммируемым потокам не предъявляется требование отсутствия последействия. Во-вторых, можно показать, что стационарный ординарный поток заявок стремится к простейшему, если на него оказывает влияние множество случайных факторов. Именно этим можно объяснить близость потока автобусов, прибывающих на остановку, к простейшему. Действительно, если даже все автобусы отправляются с конечной остановки через одинаковые интервалы времени, то есть образуют детерминированный поток, то в процессе движения по улицам города интервалы между ними изменяются под влиянием многих, в основном случайных, факторов, таких как задержки перед светофорами, заторы и «транспортные пробки» на улицах, случайное время нахождения на остановках (зависящее от числа входящих и выходящих из автобуса пассажиров) и т.д. Всё это приводит к тому, что моменты прибытия к остановкам образуют случайный процесс, причем, чем ближе к конечной остановке, тем больше поток автобусов похож на простейший. Предположение о простейшем характере входного потока заявок оправдано также в тех случаях, когда известно, что коэффициент вариации интервалов между последовательными заявками реального потока меньше единицы. В этом случае использование простейшего потока в модели 112 Раздел 3. Математические модели дискретных систем позволяет получить так называемые верхние оценки характеристик обслуживания заявок, гарантирующие, что в реальной системе значения характеристик будут не хуже, чем полученные на модели. Вопрос 4. Почему в СМО с накопителем неограниченной емкости, работающей без перегрузок, возникают очереди? В каких случаях они не возникают? Обсуждение . В СМО с накопителем неограниченной емкости перегрузки отсутствуют, если интенсивность поступления заявок меньше интенсивности обслуживания. Рассмотрим случай, когда интенсивность поступления заявок равна 10 заявок в секунду, а интенсивность обслуживания – 1 заявка в секунду. За первую секунду в систему поступит 10 заявок, из которых будет обслужена одна заявка, а 9 – останутся в очереди. За вторую секунду в систему поступит ещё 10 заявок и одна заявка будет обслужена, в очереди окажется 18 заявок и т.д. Очевидно, что число заявок в очереди со временем будет возрастать до бесконечности, что свидетельствует о перегрузке системы, то есть система не справляется с нагрузкой. Рассмотрим другой случай, когда интенсивность поступления заявок – 1 заявка в секунду, а интенсивность обслуживания – 10 заявок в секунду, или, что то же самое, средний интервал между последовательными заявками в потоке – 1 секунда, а средняя длительность обслуживания – 0,1 секунды. Таким образом, если заявки поступают с интервалом 1 секунда, а обслуживаются за 0,1 секунды, то возникает вопрос: откуда появляется очередь заявок? Здесь следует обратить внимание на то, что речь идёт о среднем значении интервала между заявками и среднем значении длительности обслуживания. Если процессы поступления и обслуживания заявок детерминированные , то очередь перед прибором не образуется. Такие системы, естественно, не представляют интереса и не рассматриваются в теории массового обслуживания. Очередь появится только в том случае, если процесс поступления заявок в систему или процесс обслуживания их в приборе, или оба процесса – случайные. Тогда конкретное значение какого-то интервала между заявками может оказаться намного меньше среднего значения, например менее 0,1 секунды, а длительность обслуживания некоторой заявки – много больше среднего значения, например 2 секунды. Именно такие ситуации и приводят к появлению очереди перед прибором. Попутно отметим, что длина очереди – величина случайная, изменяющаяся случайным образом между нулём и некоторым максимальным значением. Вопрос 5. Что в реальной системе может служить основанием для того, чтобы в соответствующей математической модели заявки были разделены на разные классы? Раздел 3. Математические модели дискретных систем 113 Обсуждение . Рассмотрим две модели обслуживания клиентов: 1) модель небольшого магазина, в котором только один продавец обслуживает покупателей, которыми являются и мужчины и женщины; 2) модель парикмахерской, в которой работает один мастер, делающий причёски мужчинам и женщинам. Следует ли мужчин и женщин отнести к разным классам или же объединить их в модели в один класс? Обе рассматриваемые модели представляют собой одноканальные СМО, в которых заявки соответствуют клиентам, а обслуживание заклю- чается в затратах времени продавца или парикмахера на одного клиента. В модели магазина мужчин и женщин при отсутствии у кого-нибудь из них преимущественного права (приоритета) на внеочередное обслужи- вание, скорее всего, можно объединить в один класс, поскольку время, затрачиваемее продавцом на одного покупателя примерно одинаково и не зависит от пола покупателя. В парикмахерской, как известно, время, затрачиваемое на создание женской причёски много больше, чем на создание мужской причёски. В этом случае в модели парикмахерской заявки должны быть разбиты на два класса. Очевидно, что времена пребывания заявок разных классов в общем случае будут различаться, даже если их времена ожидания окажутся одинаковыми. Вопрос 6. Когда в качестве модели реальной системы следует использовать разомкнутую, а когда замкнутую СеМО? Каким образом в замкнутой СеМО выбирается дуга, на которой отмечается точка «0»? Обсуждение . Положим, что СеМО используется в качестве модели обслуживания покупателей в большом магазине с несколькими разными отделами, каждый из которых представляется в модели как узел сети. Покупатели в модели отображаются в виде заявок, перемещающихся между узлами СеМО. Если количество покупателей, одновременно находящихся в магазине, может любым и принимать значения от 0 и, теоретически, до бесконечности, то в качестве модели такого магазина следует использовать разомкнутую СеМО. Представим теперь, что мы хотим промоделировать работу этого магазина в час пик, когда в магазин стремится попасть большое число покупателей. Положим, что количество покупателей, которые могут одновременно находиться в магазине, определяется количеством корзинок или тележек, без которых вход в магазин запрещён. При отсутствии корзинок покупатели образуют очередь на входе и ожидают освобождения корзинок. Покупатель, покидающий магазин при выходе передает освободившуюся корзинку ожидающему на входе покупателю, который затем заходит в магазин. Таким образом, в магазине находится постоянное число покупателей, равное числу корзинок в магазине. Очевидно, что в 114 Раздел 3. Математические модели дискретных систем П 1 П 2 1, 3, 5, 7, 9, … 2, 4, 6, 8, 10, … с 10 = a 2 λ 0 λ этом случае в качестве модели магазина должна использоваться замкнутая СеМО, а нулевая точка в модели должна быть выбрана на дуге, отображающей выход покупателя из магазина и вход нового покупателя. Задача 1. В двухканальную СМО поступает простейший поток заявок со средним интервалом между соседними заявками 10 с, причем каждая вторая заявка направляется ко второму прибору. Чему равна интен- сивность потока заявок ко второму прибору? Чему равен коэффициент вариации интервалов между заявками потока ко второму прибору? Дано : СМО: 2 = K ; поток – простейший; с 10 = a Требуется : • определить 2 λ ; • определить 2 ν Решение . 1) Интенсивность потока заявок в СМО : -1 0 c 1 , 0 / 1 = = a λ 2) Поскольку каждая вторая заявка направляется ко второму прибору , то очевидно , что интенсивность поступления заявок ко второму прибору будет в два раза меньше , чем исходная интенсивность 0 λ , то есть 1 0 2 с 05 , 0 5 , 0 − = = λ λ 2) Для определения коэффициента вариации 2 ν найдём вид закона распределения интервалов между заявками ко второму прибору , для чего построим временн у ю диаграмму , отражающую процесс поступления заявок в систему ( а ) и ко второму прибору ( б ). Как видно из диаграммы , интервалы между заявками ко второму прибору представляют собой сумму двух временн ы х интервалов исходно - го простейшего потока заявок , поступающих в систему Каждый такой вре - менной интервал в случае простейшего потока представляет собой случай - ную величину , распределённую по экспоненциальному закону Таким образом , интервалы между заявками ко второму прибору представляют собой случайную величину , равную сумме двух экспоненциально 1 2 3 4 5 6 7 8 t 2 4 6 8 t Поток заявок : а ) в систему б ) ко второму прибору Раздел 3. Математические модели дискретных систем 115 распределённых величин , что соответствует распределению Эрланга 2- го порядка ( 2 = k ). Коэффициент вариации случайной величины , распределённой по за - кону Эрланга ( см п .2.5.5), зависит от порядка k и определяется по формуле : 71 , 0 2 1 1 2 Э 2 ≈ = = = k ν ν Следует различать рассмотренное выше детерминированное разре - жение потока от вероятностного разрежения В случае вероятностного разрежения , когда заявки направляются ко второму прибору с вероятно - стью 5 , 0 2 = p , интенсивность поступления заявок ко второму прибору будет такой же , как и при детерминированном разрежении , то есть 1 0 0 2 2 с 05 , 0 5 , 0 − = = = λ λ λ p Однако коэффициент вариации в этом случае равен единице : 1 2 = ν , поскольку , в соответствии с одним из сформулиро - ванных в п .3.1.3 замечательных особенностей простейшего потока , при вероятностном разрежении образуются простейшие потоки , в которых интервалы между последовательными заявками распределены по экспоненциальному закону , а не по закону Эрланга Задача 2. Проиллюстрировать на примере различие между дисциплинами группового и одиночного режима Решение . Рассмотрим следующие дисциплины обслуживания заявок : 1) одиночного режима : • обслуживание в порядке поступления ( ОПП или FIFO); • обслуживание в обратном порядке ( ООП или LIFO); • циклическое обслуживание в одиночном режиме ( ЦО ОР ), озна - чающее , что всякий раз на обслуживание из очереди выбирается только одна заявка , после чего обслуживающий прибор переходит к следующей по порядку очереди , даже если в предыдущей очереди остались заявки ; • с относительными приоритетами ( ОП ), распределёнными по пра - вилу : класс заявок с меньшим номером имеет более высокий приоритет ; 2) группового режима : • циклическое обслуживание в групповом режиме ( ЦО ГР ), отличающееся от одиночного режима тем , что обслуживание очереди заявок одного и того же класса осуществляется до тех пор , пока очередь не окажется пустой ; • чередующиеся приоритеты с размером группы , равным 2 ( ЧП 2), означающим , что из каждой очереди заявок последовательно выбирается на обслуживание не более двух заявок , после чего обслуживающий прибор переходит к непустой очереди с самым высоким приоритетом , даже если в предыдущей очереди остались заявки ; 116 Раздел 3. Математические модели дискретных систем • чередующиеся приоритеты с неограниченным размером группы ( ЧП ), означающим , что обслуживание очереди заявок одного и того же класса осуществляется до тех пор , пока очередь не окажется пустой Положим , что в некоторый фиксированный момент времени в системе с тремя классами ( очередями ) заявок сложилась следующая ситуация ( см рисунок ). В системе находится 9 заявок Номер заявки соответствует моменту поступления её в систему – чем меньше номер , тем раньше потупила заявка в систему , то есть заявка с номером 1 поступила раньше всех , а последней поступила заявка с номером 9. Все поступившие на рассматри - ваемый момент времени заявки распределены по классам ( очередям ) следующим образом : заявки самого высокоприоритетного первого класса поступили в систему в моменты 4, 7 и 9, заявки второго класса – в моменты 1, 3 и 5, заявки третьего низкоприоритетного класса – в моменты 2, 6 и 8. Положим , что в рассматриваемый момент времени на обслуживании в приборе находится заявка второго класса с номером 1. Полагая , что в систему более не поступят другие заявки , запишем последовательность обслуживания заявок при использовании перечислен - ных выше дисциплин обслуживания : ОПП : 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 ООП : 1, 9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2 ЦО ОР : 1, 2, 4, 7, 3, 6, 9, 5, 8 ЦО ГР : 1, 3, 5, 2, 6, 8, 4, 7, 9 ОП : 1, 4, 7, 9, 3, 5, 2, 6, 8 ЧП 2: 1, 3, 4, 7, 9, 5, 2, 6, 8 ЧП : 1, 3, 5, 4, 7, 9, 2, 6, 8 Таким образом , изменение дисциплины обслуживания приводит к изменению последовательности выбора заявок на обслуживание из очередей и , следовательно , к изменению их времени ожидания В частности , заявка с номером 9 будет иметь максимальное время ожидания при дисциплинах ОПП и ЦО ГР , а минимальное – при ООП Следует обратить внимание на то , что при групповом режиме заявки выбираются из очереди и обслуживаются в приборе так же по одной , как и при одиночном режиме , то есть последовательно друг за другом , а не группой Понятие « групповой режим » лишь означает , что на обслуживание назначается ( а не обслуживается ) группа заявок ( обычно одного класса ), и прибор переходит к обслуживанию другой группы только после завершения обслуживания всех заявок назначенной группы 4 7 9 1 3 5 2 6 8 1 1 λ 3 λ Раздел 3. Математические модели дискретных систем 117 3.7. Самоконтроль : перечень вопросов и задач 1. Выполнить классификацию СМО : • по числу обслуживающих приборов ; • по емкости накопителя ; • по числу потоков заявок 2. Какой поток заявок называется однородным ? В каких случаях поток заявок в СМО является неоднородным ? 3. В каких случаях заявки в СМО относятся к разным классам ? 4. Нарисовать одноканальную СМО с неоднородным потоком заявок Какие параметры необходимо задать для её описания ? Какие характеристики функционирования СМО могут быть рассчитаны по этим параметрам ? 5. Нарисовать многоканальную СМО с неоднородным потоком заявок Какие параметры необходимо задать для её описания ? Какие характеристики функционирования СМО могут быть рассчитаны по этим параметрам ? 6. В чём различие между детерминированным и регулярным потоком заявок ? Какой поток заявок является альтернативой детерминиро - ванного потока ? 7. Как называется стационарный ординарный поток без последействия ? 8. Когда поток заявок является стационарным ? Привести примеры нестационарного потока заявок 9. Какой поток заявок называется ординарным ? Привести примеры неординарного потока заявок 10. Каким является поток , в котором момент поступления очередной заявки не зависит от того , когда и сколько заявок поступило до этого момента ? 11. В чём проявляется наличие последействия в потоке заявок ? Привести примеры потоков заявок с последействием 12. Понятие интенсивности потока и ее размерность Что характеризует величина обратная интенсивности ? 13. По какому закону распределены интервалы времени между заявками в простейшем потоке ? 14. Какими замечательными особенностями обладает простейший поток заявок ? 15. Чему равны математическое ожидание , коэффициент вариации и дисперсия интервалов времени между соседними заявками в простейшем потоке , интенсивность которого равна 2 заявки в секунду ? 16. В систему поступают заявки с интервалом 80 секунд Чему равно среднее число заявок , которые поступят в систему в течение 50- ти минут , в случае : а ) детерминированного потока ; б ) простейшего потока ; в ) случайного потока ? 118 Раздел 3. Математические модели дискретных систем 17. В систему поступают заявки двух классов со средним интерва - лом между соседними заявками 0,2 с и 2 с соответственно Определить суммарную интенсивность поступления заявок в систему По какому закону распределены интервалы между заявками суммарного потока ? 18. В систему поступают заявки трех классов со средним интервалом между соседними заявками 0,1 с ; 0,2 с и 2 с соответственно Определить суммарную интенсивность поступления заявок в систему Чему равен коэффициент вариации интервалов между заявками суммарного потока ? 19. В двухканальную СМО поступает простейший поток заявок со средним интервалом между соседними заявками 0,2 с , причем каждая третья заявка направляется ко второму прибору Чему равна интенсивность потока заявок ко второму прибору ? По какому закону распределены интервалы между заявками потока ко второму прибору ? 20. В двухканальную СМО поступает простейший поток заявок с интенсивностью 15 заявок в секунду , причем с вероятностью 1/3 заявка направляется ко второму прибору Чему равна интенсивность потока заявок к первому прибору ? Чему равен коэффициент вариации интервалов между заявками потока к первому прибору ? 21. Что понимается под обслуживанием заявок в СМО ? Что такое интенсивность обслуживания заявок в СМО , и какова её размерность ? 22. Чему равны математическое ожидание , коэффициент вариации и дисперсия длительности обслуживания заявок в СМО , распределенной по экспоненциальному закону , если известно , что интенсивность обслуживания равна 2 заявки в секунду ? 23. В СМО поступают 2 класса заявок с интенсивностями 0,06 и 0,54 заявок в минуту , длительности обслуживания которых распределены по экспоненциальному закону со средними значениями 2 и 1 секунд соответственно а ) По какому закону распределена длительность обслуживания заявок суммарного ( объединенного ) потока ? б ) Чему равна средняя длительность обслуживания заявок суммарного потока ? 24. Перечислить возможные дисциплины буферизации В каких СМО не используются дисциплины буферизации ? 25. Какие дисциплины обслуживания заявок относятся к бесприоритетным ? 26. Краткая характеристика приоритетных дисциплин обслуживания заявок 27. Проиллюстрировать на примере отличие дисциплин группового режима от дисциплин одиночного режима 28. В чем отличие дисциплины с чередующимися приоритетами от дисциплины с относительными приоритетами Проиллюстрировать на примере 29. Что такое динамические приоритеты ? Раздел 3. Математические модели дискретных систем 119 30. Что характеризуют нагрузка и загрузка ? В чём отличие загрузки от нагрузки ? В каких случаях нагрузка совпадает с загрузкой ? 31. Перечислить факторы , обусловливающие нестационарный режим работы СМО 32. Что такое и чем характеризуется перегрузка системы ? При каких условиях возникают перегрузки системы ? В каких СМО не возникают перегрузки ? 33. При каком условии в одноканальной СМО отсутствуют пере - грузки ? 34. Раскрыть обозначение и дать краткое описание следующих СМО : а ) D/M/2/3; б ) M/H 2 /3; в ) E 3 /D/2/5. 35. Привести обозначение СМО в символике Кендалла , имеющей следующее описание : двухканальная СМО с однородным простейшим потоком заявок , длительность обслуживания которых распределена по произвольному закону общего вида , с ограниченной емкостью накопителя , равной 5. 36. Перечислить характеристики одноканальной и многоканальной СМО с однородным потоком заявок и записать соотношения , устанавливающие их взаимосвязь 37. Перечислить характеристики одноканальной СМО с неоднородным потоком заявок и записать соотношения , устанавливающие их взаимосвязь 38. Почему в СМО , работающей в стационарном режиме , могут возникать очереди ? В каких случаях они не возникают ? Перечислите причины , обусловливающие возникновение очередей в СМО , работающей в стационарном режиме 39. Какая СеМО называется линейной ? Перечислить факторы , обусловливающие нелинейность СеМО 40. Основные отличия замкнутых СеМО от разомкнутых 41. Какая СеМО называется экспоненциальной ? Перечислить факторы , обусловливающие неэкспоненциальность СеМО 42. Какая СеМО называется неоднородной ? Перечислить факторы , обусловливающие неоднородность СеМО 43. Перечислить параметры разомкнутой и замкнутой однородной неэкспоненциальной СеМО 44. Перечислить параметры разомкнутой и замкнутой неоднородной приоритетной СеМО 45. Каким условиям должны удовлетворять элементы матрицы вероятно - стей передач в СеМО ? 46. Узловые характеристики однородных СеМО и их взаимосвязь 47. Сетевые характеристики разомкнутых и замкнутых однородных СеМО и их взаимосвязь 48. Что такое " производительность замкнутой СеМО "? Какие соот - ношения используются для расчета производительности замкнутой СеМО ? |