Механики
 Скачать 4.29 Mb.
|
|
относительными , если они учитываются только в момент выбора заявки на обслуживание и не сказываются на работе системы в период обслуживания заявки любого класса ( приоритета ). Относительность приоритета связана со следующим После завершения обслуживания какой - либо заявки из очереди на обслуживание выбирается заявка класса с наиболее высоким приоритетом , поступившая ранее других заявок этого класса ( такого же приоритета ). Если в процессе её обслуживания в систему поступят заявки с более высоким приоритетом , то обслуживание рассматриваемой заявки не будет прекращено , то есть эта заявка , захватив прибор , оказывается как бы более приоритетной Таким образом , приоритет относителен в том смысле , что он имеет место лишь в момент выбора заявок на обслуживание и отсутствует , если прибор занят обслуживанием какой - либо заявки Введение относительных приоритетов ( ОП ) позволяет уменьшить по сравнению с ДО БП время ожидания высокоприоритетных заявок При описании свойств для определённости будем полагать , что относительные приоритеты назначены по правилу : « более высокий приоритет – классу заявок с меньшим номером ». Для ДО ОП среднее время ожидания заявок класса k определяется по следующей формуле : ) , , 1 ( ) 1 ( ) 1 ( 2 ) 1 ( 1 1 2 2 ОП H k R R b w k k H i b i i k i K = − − + = − = ∑ ν λ , (4.10) где 1 − k R и k R – суммарные загрузки , создаваемые заявками , которые имеют приоритет не ниже ) 1 ( − k и k соответственно : k w 1 5 ДО БП ДО ЦП 2 4 3 Рис .4.7. Зависимость времени ожидания от номера класса заявок Раздел 3. Аналитическое моделирование 133 ∑ ∑ = − = − = = k i i k k i i k R R 1 1 1 1 ; ρ ρ . (4.11) Анализ представленной зависимости (4.10) позволяет выявить свойства ДО ОП и сформулировать следующие выводы 1. Введение относительных приоритетов по сравнению с ДО БП приводит к уменьшению времени ожидания высокоприоритетных заявок первого класса и к увеличению времени ожидания низкоприоритетных заявок класса H: БП 1 ОП 1 w w < и БП ОП H H w w > 2. При использовании ДО ОП средние времена ожидания заявок монотонно увеличиваются с уменьшением приоритета при любых интенсивностях поступления H λ λ , , 1 K и законах распределения ) ( , ), ( 1 τ τ H B B K длительностей обслуживания : ОП ОП 2 ОП 1 H w w w < < < K Отметим , что для средних времён пребывания заявок разных классов последнее соотношение , в общем случае , может и не выполняться Свойства , сформулированные выше , иллюстрируются рис .4.8, а , показывающим характер зависимости среднего времени ожидания заявок k w от номера класса k при использовании ДО БП и ДО ОП 3. На рис .4.8, б показаны зависимости среднего времени ожидания заявок разных классов от суммарной нагрузки Y системы при использовании ДО ОП Здесь же для сравнения приведена аналогичная зависимость для ДО БП ( штриховая линия ). Характер зависимостей свидетельствует о том , что для ДО ОП при 1 → Y резко увеличивается время ожидания заявок низкоприоритетных классов , в то время как для высокоприоритетных заявок это увеличение незначительно Более того , для высокоприоритетных заявок обеспечивается достаточно хорошее качество обслуживания , то есть небольшое время ожидания даже при возникновении перегрузок , когда суммарная нагрузка становится больше единицы : 1 ≥ Y Это свойство , называемое защитой от перегрузок , обеспечивается за счет отказа в обслуживании низкоприоритетным заявкам , время ожидания которых при этом резко возрастает При ДО БП защита от перегрузок отсутствует для всех классов заявок k k w w 1 5 ДО ОП 2 4 3 Рис .4.8. Зависимости среднего времени ожидания от номера класса ( а ) и от нагрузки ( б ) для ДО ОП и ДО БП Y (R) w 0 1 БП w ОП 1 w ОП 2 w ОП 3 w а ) б ) 134 Раздел 3. Аналитическое моделирование 4. Рассмотрим более детально свойство защиты от перегрузок при ДО ОП , для чего построим зависимости среднего времени ожидания заявок трех классов при значительном росте нагрузки Y ( рис .4.9). При достижении суммарной нагрузки , создаваемой заявками всех трех классов , значения 1 ( 1 3 2 1 = + + y y y ) время ожидания заявок 3- го класса устремляется в бесконечность , что означает отказ в обслуживании , при этом заявки классов 1 и 2 продолжают обслуживаться и имеют конечное время ожидания Дальнейшее увеличение нагрузки приводит к отказу в обслуживании заявок второго класса при 1 2 1 = + y y , то есть когда создаваемая заявками 1- го и 2- го классов нагрузка достигнет значения 1. Заявки первого класса получат отказ в обслуживании при 1 1 = y Таким образом , в отличие от ДО БП при ДО ОП система полностью перестаёт обслуживать заявки , то есть функционировать , только в том случае , если нагрузка , создаваемая заявками самого высокоприоритетного ( первого ) класса , достигнет значения 1. 4.3.3. Характеристики и свойства ДО АП Иногда время ожидания заявок некоторых классов необходимо уменьшить в такой степени , которая недостижима при использовании ДО ОП Можно предположить , что время ожидания уменьшится , если при поступлении высокоприоритетной заявки обслуживание ранее поступившей заявки с низким приоритетом прерывается , и прибор переходит к обслуживанию высокоприоритетной заявки Приоритет , прерывающий обслуживание низкоприоритетной заявки , называется абсолютным , а соответствующая дисциплина – дисциплиной обслуживания с абсолютными приоритетами ( ДО АП ). Прерванная заявка может быть потеряна или возвращена в накопитель , где она будет ожидать дальнейшего обслуживания В последнем случае возможны два варианта продолжения обслуживания прерванной заявки : Y ( R ) w 0 1 3 2 1 = + + y y y Рис .4.9. Зависимости среднего времени ожидания заявок разных классов от нагрузки ОП 1 w ОП 2 w ОП 3 w 1 2 1 = + y y 1 1 = y Раздел 3. Аналитическое моделирование 135 • обслуживание с начала , то есть прерванная заявка будет обслуживаться заново с самого начала ; • дообслуживание , когда обслуживание прерванной заявки в приборе будет выполняться с прерванного места В дальнейшем , если не оговорено иное , будем предполагать дообслуживание прерванной заявки Для ДО АП среднее время ожидания заявок класса k определяется по следующей формуле : ) ..., , 1 ( 1 ) 1 )( 1 ( 2 ) 1 ( 1 1 1 2 1 H k R b R R R b w k k k k k b k i i i АП k i = − + − − + = − − − = ∑ ν λ (4.12) где 1 − k R и k R – суммарные загрузки , создаваемые заявками , которые имеют приоритет не ниже ) 1 ( − k и k соответственно , и определяемые по формулам (4.11). Анализ выражения (4.12) для расчета среднего времени ожидания заявок при использовании ДО АП и его сопоставление с аналогичным выражением (4.10) для ДО ОП позволяет выявить свойства ДО АП и сформулировать следующие выводы 1. Выражение (4.12) содержит два слагаемых : k k k z s w + = АП , отображающих среднее время ожидания начала обслуживания k s и среднее время ожидания в прерванном состоянии k z соответственно : ) 1 )( 1 ( 2 ) 1 ( 1 2 1 k k b k i i i k R R b s i − − + = − = ∑ ν λ , ) ..., , 1 ( 1 1 1 H k R b R z k k k k = − = − − 2. Время ожидания заявок класса k зависит только от значений параметров классов k , , 1 K заявок , имеющих более высокий или такой же приоритет , и не зависит от параметров классов заявок H k , , 1 K + , имеющих более низкий приоритет 3. Для заявок класса 1, имеющих самый высокий абсолютный приоритет , обеспечивается минимально возможное время ожидания по сравнению со всеми другими ДО , то есть при любой другой ДО среднее время ожидания заявок первого класса не может быть меньше , чем при ДО АП Это объясняется тем , что в случае ДО АП заявки первого класса обслуживаются как бы в изоляции , независимо от заявок других классов 4. Времена ожидания начала обслуживания k s монотонно увеличиваются с уменьшением приоритета : H s s s < < < K 2 1 , однако время ожидания высокоприоритетной заявки в прерванном состоянии k z может оказаться больше времени ожидания 1 + k z заявки с более низким приоритетом , если длительности обслуживания связаны соотношением 1 + >> k k b b , так как количество прерываний заявками более высокого 136 Раздел 3. Аналитическое моделирование приоритета и , следовательно , время ожидания в прерванном состоянии прямо пропорционально зависит от длительности обслуживания заявок данного класса Вследствие этого , полное время ожидания заявок высокоприоритетного класса , складывающееся из времени ожидания начала обслуживания и времени ожидания в прерванном состоянии , может оказаться больше , чем у заявок класса с низким приоритетом : АП 1 АП + >> k k w w Очевидно , что АП АП 2 АП 1 H w w w < < < K , если длительности обслуживания заявок разных классов связаны соотношением H b b b ≤ ≤ ≤ K 2 1 5. Введение АП по сравнению с ОП приводит к уменьшению среднего времени ожидания самых высокоприоритетных заявок первого класса и к его увеличению для заявок класса H : ОП 1 АП 1 w w < и ОП АП H H w w > Два последних результата иллюстрируются рис .4.10, а Для ДО АП пунктиром показан случай , когда АП 4 АП 3 w w >> , из чего следует , что 4 3 b b >> Зависимость полного времени ожидания от суммарной нагрузки Y системы при использовании ДО АП аналогична зависимости для ДО ОП ( см рис .4.10, б ) с тем лишь отличием , что при ДО АП высокоприоритетные заявки лучше защищены от перегрузок 4.3.4. Законы сохранения «Число законов стремится заполнить все доступное для публикации пространство» (Закон Диджиованни) Изменение ДО позволяет уменьшить время ожидания высокоприо - ритетных заявок за счет увеличения времени ожидания низкоприори - тетных заявок Очевидно , что за счет изменения ДО нельзя добиться того , чтобы уменьшилось или увеличилось время ожидания заявок всех классов Этот факт сформулирован в виде закона сохранения времени ожидания 1 5 2 4 3 k k w w ДО БП ДО ОП ДО АП Y w 0 1 ОП 1 w ОП 2 w АП 3 w ОП 3 w АП 2 w АП 1 w а ) б ) Рис .4.10. Зависимости среднего времени ожидания от номера класса ( а ) и от нагрузки ( б ) для ДО АП и ДО ОП Раздел 3. Аналитическое моделирование 137 Формулировка закона сохранения времени ожидания Для любой дисциплины обслуживания ( ДО ) ДО 1 Const w H i i i ∑ = = ρ , (4.13) то есть сумма произведений загрузок i ρ на среднее время ожидания ) , 1 ( H i w i = заявок всех классов инвариантна относительно ДО Закон сохранения времени ожидания выполняется при следующих условиях : • система без потерь – все заявки на обслуживание удовлетво - ряются ; • система простаивает лишь в том случае , когда в ней нет заявок ; • при наличии прерываний длительность обслуживания прерванных заявок распределена по экспоненциальному закону ; • все поступающие потоки заявок – простейшие , и длительности обслуживания не зависят от интенсивностей потоков заявок Значение константы в законе сохранения можно определить следующим образом Поскольку закон сохранения справедлив для любых ДО , удовлетворяющих перечисленным условиям , то он справедлив и для ДО БП , для которой БП БП k w w = для всех (k = 1, …, H). Отсюда находим значение константы : ∑ = = = H i БП i БП w R w Const 1 ρ Подставив полученное значение константы и формулу (4.9) для расчёта БП w в закон сохранения , окончательно получим : ) 1 ( 2 ) 1 ( 1 2 2 1 R b R w H i bi i i i H i i − + = ∑ ∑ = = ν λ ρ . (4.14) Закон сохранения времени ожидания универсален и справедлив для всех ДО , удовлетворяющих указанным условиям Его можно использовать для оценки достоверности приближенных результатов , полученных при исследовании сложных ДО и проведении имитационного моделирования , а также при решении задач синтеза Модификация закона сохранения Закон сохранения может быть модифицирован применительно ко времени пребывания заявок в системе с учетом того , что i i i b u w − = Подставив это выражение в закон сохранения времени ожидания (4.14) после некоторых преобразований , получим закон сохранения времени пребывания : ∑ ∑ ∑ = = = + − + = H i i i H i bi i i i H i i b R b R u 1 1 2 2 1 ) 1 ( 2 ) 1 ( ρ ν λ ρ (4.15) 138 Раздел 3. Аналитическое моделирование Заметим , что изменение ДО приводит только к изменению времени ожидания и времени пребывания , а остальные величины , входящие в выражения (4.14) и (4.15), не изменяются Рассмотрим случай , когда средние длительности обслуживания заявок разных классов одинаковы : const = = b b i для всех H i , 1 = . Тогда выражение (4.14) может быть преобразовано следующим образом: ДО 1 1 1 Const L b l b w b w b H i H i i i i H i i i ∑ ∑ ∑ = = = = = = = λ λ , откуда получим новую формулировку закона сохранения в виде |