Теория по математике (огэ) Числа и выражения

• Название: Теория по математике (огэ) Числа и выражения
• Дата: 11.06.2018
• Размер: 1.2 Mb.
• Имя файла: math.pdf
• Тип: Документы; #46657
• страница: 1 из 8

ТЕОРИЯ ПО МАТЕМАТИКЕ (ОГЭ)
Числа и выражения
1. Выражения, преобразование выражений
2. Степень с натуральным показателем, её свойства
3. Одночлены, многочлены
4. Рациональные дроби и их свойства
5. Квадратные корни
6. Степень с целым показателем и её свойства
7. Корень n-й степени, степень с рациональным показателем и их свойства
Уравнения и неравенства
1. Уравнения с одной переменной
2. Системы линейных уравнений
3. Квадратные уравнения
4. Неравенства с одной переменной и их системы
Функции
1. Функции, их свойства.
2. Квадратичная функция
3. Степенная функция
Прогрессии и текстовые задачи
1. Арифметическая прогрессия
2. Геометрическая прогрессия
3. Решение текстовых задач

ЧИСЛА И ВЫРАЖЕНИЯ
Числовые выражения составляются из чисел с использованием знаков действий («
+
», «
-
»,
«
•
», «
:
») и скобок. Например,
32:4
;
21•3+5; 3•(2:0,2–4)
– числовые выражения.
Значением числового выражения называется число, получающееся в результате выполнения всех действий в этом числовом выражении. Например, значения числовых выражений, приведённых выше, равны соответственно
8
;
68
и
18
Выражение, в котором встречается деление на нуль, не имеет числового значения, так как
на нуль делить нельзя. Говорят, что такие выражения не имеют смысла.
Выражение, содержащее некоторые переменные величины, называется выражением с
переменными (например,
10t
;
20a+10b
;
3c:d
и т.д.).
Значение выражения с переменными при данных значениях переменных – это значение числового выражения, которое получится, если в выражение с переменными вместо каждой переменной подставить данное её значение.
Например, значение выражения
20t+10b
при
t=0,1
,
b=0,2
равно
20•0,1+10•0,2=2+2=4
; значение выражения
3с:d
при
с=1
;
d=3
равно
(3•1):3=1
Для преобразования выражений применяются основные свойства сложения и умножения чисел:
1) для любых чисел
a
и
b
верны равенства
a+b=b+a
,
ab=ba
(переместительное свойство);
2) для любых чисел
a
,
b
и
c
верны равенства
(a+b)+с=a+(b+c)
,
(ab)c–a(bc)
(сочетательное
свойство);
3) для любых чисел
a
,
b
и
с
верно равенство
a(b+с)=ab+ac
(распределительное свойство).
Два выражения называются тождественно равными, если их значения равны при любых допустимых значениях переменных.
Тождество – это равенство, верное при любых допустимых значениях переменных.
Тождественное преобразование выражения – это замена выражения другим, тождественно равным ему, выражением.
Пример 1. Найдите значение выражения
(3:(0,2–0,1)+4)•5
Решение.
1)
0,2–0,1=0,1
;
2)
3:0,1=30
;
3)
30+4=34
;
4)
34–5=170
Ответ:
170
Пример 2. Найдите значение выражения
(2mx+3n)•y
при
x=1
;
y=2
;
m=0,5
;
n=0,3
Решение.
Подставим значения переменных в выражение:
(2mx+3n)•y=(2•0,5•1+3•0,3)•2=(1+0,9)•2=1,9•2=3,8
Ответ:
3,8
Пример 3. Вычислите значение выражения
11,2•3,1–11,2•1,1+22,4•(-0,5)
Решение.
11,2•3,1–11,2•1,1+22,4•(-0,5)=11,2•(3,1–1,1)–11,2 =11,2–2–11,2 =11,2•(2–1)=11,2
Ответ:
11,2
Пример 4. Упростите выражение
(Зx–2y–2)–(x–y)–4+2x+y+1
Решение.
(Зx–2y–2)–(x–y)–4+2x+y+1= Зx–2y–2–x+y–4+2x+y+1=(Зx–x+2x)–(2y–y–y)–(2+4–1)=4x–5.
Ответ:
4x–5

Степенью некоторого числа
a
с натуральным показателем
n (n>1)
называется выражение
a
1
=a
. При
a≠0
считают
a
0
=1
Например,
5
3
=5•5•5=125; (-2)
4
=(-2)•(-2)•(-2)•(-2)=16
и т.д.
Свойства степени с натуральным показателем:
1) для любого положительного числа
a: a
n
>0; 0
n
=0
2) для отрицательного числа
a
:
a
n
>0
, если
n
– чётное число и
a
n
<0
, если
n
– нечётное число;
3)
a
2
≥0
для любого числа
a
;
4) для любого числа
a
и любых натуральных чисел
m
и
n
:
a
m
a
n
=a
m+n
;
5) для любого числа
a≠0
и любых натуральных чисел
m
и
n
таких, что
m>n
:
a
m
:a
n
=a
m-n
;
6) для любых чисел
a
и
b
и любого натурального числа
n
:
(ab)
n
=a
n
b
n
;
7) для любого числа
a
и любых натуральных чисел
m
и
n
:
(a
m
)
n
=a
mn
Пример 1. Найдите значение выражения:
(-2)
3
•З
2
+16
2
Решение.
Вначале выполним возведения в степень:
(-2)
3
=(-2)•(-2)•(-2)=-8
;
3
2
=3•3=9
;
16
2
=16•16 =256
Теперь найдём значение выражения:
(-2)
3
•З
2
+16
2
=(-8)•9+256=256–12=184
Ответ:
184
Пример 2. Упростите выражение
2x
2
•x
3
–x
7
:x
2
Решение.
Пользуясь свойствами 4) и 5), имеем:
2x
2
•x
3
–x
7
:x
2
=2x
2+3
–x
7–2
=2x
5
–x
5
=x
5
.
Ответ:
x
5
Пример 3. Упростите выражение
((x
2
y)
3
)
4
Решение.
Пользуясь свойствами 6) и 7), имеем:
((x
2
y)
3
)
4
=(x
2
y)
3•4
=(x
2
y)
12
=(x
2
)
12
•y
12
=x
2•12
•y
12
=x
24
y
12
Ответ:
x
24
y
12
Одночленом называется выражение, являющееся произведением чисел, переменных и их степеней.
Например, выражения
2a
2
b
;
2x
2
•(-4)
3
yz
2
;
-5x
4
– одночлены.
Стандартный вид одночлена – это произведение числового множителя, который стоит на первом месте, и степеней различных переменных.
Например, стандартным видом одночлена
(-2)
3
x
4
y•(-3)
является
24x
2
y
Коэффициент одночлена – это числовой множитель этого одночлена, записанного в стандартном виде.
Степень одночлена – это сумма показателей степеней всех его переменных. Если одночлен является числом (не содержит переменных), то его степень считают равной нулю.
Многочлен – это выражение, являющееся суммой одночленов (если многочлен состоит из двух членов, его называют двучленом; если из трёх – трёхчленом).