Теория по математике (огэ) Числа и выражения
 Скачать 1.2 Mb.
|
|
Рациональные числа – это целые и дробные числа. Множество рациональных чисел обозначается Q. Всякое рациональное число может быть представлено в виде дроби ?????? ?????? , где m N , n N ( – знак принадлежности некоторому множеству). Всякое рациональное число может быть представлено в виде бесконечной десятичной периодической дроби, и обратно: всякая бесконечная десятичная периодическая дробь есть некоторое рациональное число. Однако рациональные числа – не все числа. Например, число, квадрат которого равен 2 (длина диагонали квадрата со стороной 1 ), не является рациональным. Бесконечные десятичные непериодические дроби называют иррациональными числами. Действительные числа – это рациональные и иррациональные числа. Множество действительных чисел обозначают R. Квадратный корень из числа a – это число, квадрат которого равен a . Например, 4 и -4 – квадратные корни из 16 , так как 4 2 =(-4) 2 =16 Арифметический квадратный корень из числа a – это неотрицательное число, квадрат которого равен a Арифметический квадратный корень из числа а обозначают √?????? Например, √???????????? = ?????? , так как 5≥0 и 5 2 =25 ; √?????? = ?????? 0, так как 0≥0 и 0 2 =0 То есть, √?????? = ?????? , если b≥0 и b 2 =a Так как квадрат любого числа – неотрицательное число, то при а<0 выражение 4а не имеет смысла. В зависимости от a уравнение x 2 =a : 1) не имеет корней при a<0 ; 2) имеет единственный корень, равный нулю, при a=0 ; 3) имеет два корня ?????? ?????? = √?????? и ?????? ?????? = −√?????? при a >0 Свойства арифметического квадратного корня: 1) Если a≥0 и b≥0 , то √???????????? = √?????? • √?????? ; 2) Если a≥0 и b>0 , то √ ?????? ?????? = √?????? √?????? ; 3) При любых значениях a верно равенство √?????? ?????? = |??????| Пример 1. Найдите значение выражения (√???????????? • √??????, ???????????? − √??????, ???????????? • √????????????) ?????? Решение. (√???????????? • √??????, ???????????? − √??????, ???????????? • √????????????) ?????? = (?????? • ??????, ?????? − ??????, ?????? • ??????) ?????? = (−??????, ??????) ?????? = ??????, ????????????. Ответ: 0,16 Пример 2. Решите уравнение ?????? ?????? = ?????? ?????? + √?????????????????? Решение. ?????? ?????? = ?????? + ???????????? = ???????????? ?????? = ±√???????????? = ±?????? Ответ: ±5 Пример 3. Найдите значение выражения √???????????? • ???????????? • ???????????? Решение. √???????????? • ???????????? • ???????????? = √???????????? • ?????? • ???????????? • ???????????? = √???????????? • √???????????? • √???????????? = ?????? • ?????? • ?????? = ?????????????????? Ответ: 216 Пример 4. Найдите значение выражения √ ?????? • ???????????? ???????????? Решение. √ ?????? • ???????????? ???????????? = √ ?????? • ?????? • ???????????? ?????? • ?????? = √ ?????? • ???????????? ?????? = √?????? • √???????????? ?????? = ?????? • ?????? ?????? = ?????? Ответ: 4 Пример 5. Упростите выражение ( √???????????? − ?????? ?????? ?????? − ???????????? + ?????? + ??????√??????) : (?????? ?????? + ????????????√???????????? + ????????????) Решение. ??????) √???????????? − ?????? ?????? ?????? − ???????????? + ?????? + ??????√?????? = − ?????? − √???????????? (?????? − √????????????)(?????? + √????????????) + ?????? + ??????√?????? = ?????? + ??????√?????? − ?????? ?????? + ??????√?????? = (?????? + ??????√??????) ?????? − ?????? ?????? + ??????√?????? = ?????? ?????? + ????????????√???????????? + ???????????? ?????? + ??????√?????? ??????) ?????? ?????? + ????????????√???????????? + ???????????? ?????? + ??????√?????? : (?????? ?????? + ????????????√???????????? + ????????????) = ?????? ?????? + ??????√?????? Ответ: ?????? ??????+??????√?????? . Если a≠0 и n – целое отрицательное число, то ?????? ?????? = ?????? ?????? −?????? Выражение 0n при n Z , n≤0 не имеет смысла. Примеры: ?????? −?????? = ?????? ?????? ?????? = ?????? ?????? ; (− ?????? ?????? ) ?????? = ?????? (− ?????? ??????) ?????? = ?????? ?????? ?????? = ??????. Свойства степени с целым показателем: Для всех a≠0 и любых m,n Z верны равенства: 1) a m •a n =a m+n ; 2) a m :a n =a m-n ; 3) (a m ) n =a mn Для всех a≠0 , b≠0 и любого n Z верны равенства 4) (ab) n =a n b n ; 5) ( ?????? ?????? ) ?????? = ?????? ?????? ?????? ?????? |