Теория по математике (огэ) Числа и выражения
 Скачать 1.2 Mb.
|
|
Стандартный вид многочлена – это сумма одночленов стандартного вида без подобных слагаемых. Наибольшая из степеней одночленов, входящих в многочлен стандартного вида, называется степенью этого многочлена. Степенью произвольного многочлена называется степень многочлена стандартного вида, тождественно равного исходному многочлену. Для того чтобы умножить одночлен на многочлен, нужно умножить этот одночлен на каждый член многочлена и сложить полученные произведения. Для того чтобы умножить многочлен на многочлен, нужно каждый член первого многочлена умножить на каждый член второго многочлена и сложить полученные произведения. Разложить многочлен на множители означает представить этот многочлен в виде произведения двух или нескольких многочленов. Формулы сокращённого умножения: 1) (a±b) 2 =a 2 ±2ab+b 2 ; 2) (a±b) 3 = a 3 ±Зab+Зab 2 ±b 3 ; 3) a 2 –b 2 =(a-b)(a+b) ; 4) a 3 ±b 3 =(a±b)(a 2 ∓ab+b 2 ) Пример 1. Приведите одночлен 2a 2 •(-3) 2 b 3 •a(-2)b к стандартному виду, укажите его коэффициент и степень. Решение. 2a 2 •(-3) 2 b 3 •a(-2)b=2• 9•(-2)a 2 •а•b 3 •b=-36а 3 Ь 4 . Коэффициент данного одночлена равен (-36) , а его степень равна 7 Ответ: -36a 3 b 4 ; - 36; 7 Пример 2. Упростите выражение 2x(x – 3) 2 –(x – 1)(2x 2 +2) Решение. 2x(x – 3) 2 –(x – 1)(2x 2 +2)=2х(х 2 –6х+9)–(2х 3 +2х–2х 2 –2)=2х 3 –12х 2 +18х–2х 3 +2х 2 –2х+2=16х+2–10х 2 . Ответ: 16x+2–10x 2 Пример 3. Разложите на множители многочлен x 3 –8y 3 +2x 2 y+4xy 2 +8y–5x Решение. x 3 –8y 3 +2x 2 y+4xy 2 +8y–5x=(х–2у)(x 2 +2ху+4)+2y(x 2 +2ху+4)–5x=(х–2у+2у)(х 2 +2ху+4)– 5х=х(х 2 +2ху+4–5)=х(х 2 +2ху–1). Ответ: x(x 2 +2xy–1) Целые выражения – это выражения, составленные из чисел и переменных с использованием действий сложения, вычитания, умножения и деления на число, отличное от нуля. Дробные выражения допускают также деление на выражение с переменными. Целые и дробные выражения называют рациональными выражениями. Допустимые значения переменных – это те значения переменных, при которых выражение имеет смысл. Рациональная дробь – это дробь, числителем и знаменателем которой являются многочлены. Основное свойство дроби: если числитель и знаменатель некоторой рациональной дроби умножить на один и тот же многочлен, не равный тождественно нулю, то получится дробь, равная исходной. Тождество – это равенство, которое верно при всех допустимых значениях переменных, входящих в это равенство. Свойства действий с рациональными дробями: Если a , b , с – многочлены, причём многочлен с не равен нулю тождественно, то верно: ??????) ?????? с + ?????? ?????? = ?????? + ?????? ?????? ??????) ?????? с − ?????? ?????? = ?????? − ?????? ?????? Если a , b , с , d – многочлены, причём многочлены b и d тождественно не равны нулю, то верно: ??????) ?????? ?????? • ?????? ?????? = ???????????? ???????????? ??????) ( ?????? ?????? ) ?????? = ?????? ?????? ?????? ?????? Если a , b , с , d – многочлены, причём многочлены b , c и d тождественно не равны нулю, то верно: ??????) ?????? ?????? : ?????? ?????? = ???????????? ???????????? Пример 1. Сократите дробь ?????? ?????? + ?????????????????? + ?????? ?????? − ?????? ?????? − ?????? + ?????? Решение. ?????? ?????? + ?????????????????? + ?????? ?????? − ?????? ?????? − ?????? + ?????? = (?????? − ??????) ?????? − ?????? ?????? − ?????? + ?????? = (?????? − ?????? − ??????)(?????? − ?????? + ??????) ?????? − ?????? + ?????? = ?????? − ?????? − ?????? Ответ: x–y–1 Пример 2. Упростите выражение ???????????? ?????? − ?????? (?????? − ??????) ?????? − ???????????? (?????? − ??????) ?????? Решение. ???????????? ?????? − ?????? (?????? − ??????) ?????? − ???????????? (?????? − ??????) ?????? = ??????(?????? ?????? − ????????????) (?????? − ??????) ?????? = ??????(?????? − ??????)(?????? + ??????) (?????? − ??????)(?????? ?????? − ?????????????????? + ????????????) = ???????????? + ???????????? ?????? ?????? − ?????????????????? + ???????????? Ответ: ????????????+???????????? ?????? ?????? −??????????????????+???????????? . Пример 3. Выполните действия ?????? ?????? − ???????????? ???????????? ?????? : ?????? − ?????? ???????????? Решение. ?????? ?????? − ???????????? ???????????? ?????? : ?????? − ?????? ???????????? = ??????(?????? − ??????) • ???????????? ???????????? ?????? (?????? − ??????) = ???????????? ?????? Ответ: ???????????? ?????? Натуральные числа – это числа 1 , 2 , 3 , 4 , … , которые употребляются при счёте. Множество натуральных чисел обозначается N. Целые числа – это натуральные числа, противоположные им числа и число нуль ( ..., -4, - 3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, ... ). Множество целых чисел обозначается Z . |