Теория по математике (огэ) Числа и выражения
 Скачать 1.2 Mb.
|
|
Решение. Умножив первое уравнение на (-4) , получим систему { −???????????? + ?????? = −??????; ???????????? + ???????????? = ??????. Отсюда: ???????????? = −??????; ?????? = − ?????? ?????? ; ?????? = (?????? − ????????????) ?????? = ?????? − ?????? • (− ?????? ??????) ?????? = ???????????? ?????? Ответ: ( ???????????? ?????? ; − ?????? ?????? ). Уравнение вида ax+bx+с=0 , где x – переменная, a , b , с – некоторые числа, причём a≠0 , называется квадратным уравнением. Квадратное уравнение при a=1 (то есть уравнение вида x 2 +bx+с=0 ) называется приведённым квадратным уравнением. Неполные квадратные уравнения (хотя бы один из коэффициентов b или с равен нулю): 1) b=с=0 : ax 2 =0 Единственный корень x=0 2) b=0 , с≠0 : ax2+с=0 Это уравнение равносильно уравнению ?????? 2 = − ?????? ?????? Если с ?????? > ?????? , то − с ?????? < ?????? и уравнение не имеет корней. Если с ?????? < ?????? , то − с ?????? > ?????? и уравнение имеет 2 корня: ?????? ?????? = √− ?????? ?????? ; ?????? ?????? = −√− ?????? ?????? 3) b≠0 , с=0 : ax 2 +bx=0 Это уравнение равносильно уравнению x(ax+b)=0 Оно имеет 2 корня: ?????? ?????? = ?????? и ?????? ?????? = − ?????? ?????? В общем виде квадратное уравнение ax 2 +bx+с=0 1) при ?????? = ????????????– ?????????????????? ≥ ?????? имеет корни ?????? = −??????±√?????? ???????????? ; 2) при ?????? = ????????????– ?????????????????? < ?????? не имеет корней. Выражение D=b2–4aс называется дискриминантом квадратного уравнения ax 2 +bx+с=0 Теорема Виета: Если ?????? ?????? и ?????? ?????? — корни приведённого квадратного уравнения x 2 +рx+q=0 , то ?????? ?????? + ?????? ?????? = −?????? ?????? ?????? • ?????? ?????? = ?????? Обратная теорема Виета: Если числа ?????? ?????? и ?????? ?????? таковы, что ?????? ?????? + ?????? ?????? = −?????? , а ?????? ?????? • ?????? ?????? = ?????? , то эти числа являются корнями уравнения x 2 +рx+q=0 Пример 1. Решите уравнение x 2 -2x-3=0 Решение. D=b2–4aс=(-2) 2 –4•1•(-3)=4+12=16=4 2 ?????? = −(−??????) ± √?????? ?????? ?????? • ?????? = ?????? ± ?????? ?????? ?????? ?????? = ?????? − ?????? ?????? = −??????; ?????? ?????? = ?????? + ?????? ?????? = ??????. Ответ: -1 ; 3 Пример 2. Найдите сумму квадратов корней уравнения x2+5x+1=0 Решение. Если ?????? 1 и ?????? 2 — корни данного квадратного уравнения. Тогда по теореме Виета ?????? ?????? + ?????? ?????? = −?????? ?????? ?????? • ?????? ?????? = ?????? ?????? ?????? ?????? + ?????? ?????? ?????? = ?????? ?????? ?????? + ???????????? ?????? ?????? ?????? + ?????? ?????? ?????? − ???????????? ?????? ?????? ?????? = (?????? ?????? + ?????? ?????? ) ?????? − ???????????? ?????? ?????? ?????? = (−??????) ?????? − ?????? • ?????? = ???????????? − ?????? = ????????????. Ответ: 23 Пример 3. Решите уравнение ???????????? + ?????? ?????? − ?????? − ?????? + ?????? ?????? − ?????? = ?????? Решение. ???????????? + ?????? ?????? − ?????? − ?????? + ?????? ?????? − ?????? = (???????????? + ??????)(?????? − ??????) − (?????? + ??????)(?????? − ??????) (?????? − ??????)(?????? + ??????) = ???????????? ?????? − ???????????? − ?????? − ?????? ?????? + ?????? ?????? ?????? − ???????????? + ?????? = ?????? ?????? − ???????????? − ?????? ?????? ?????? − ???????????? + ?????? ; ?????? ?????? − ???????????? − ?????? ?????? ?????? − ???????????? + ?????? = ?????? ?????? ?????? − ???????????? − ?????? = ???????????? ?????? − ???????????? + ??????; ?????? ?????? − ???????????? + ?????? = ??????; ?????? = ?????? − ?????? • ?????? = −???????????? < ?????? Уравнение не имеет корней Ответ: нет корней. Общий способ сравнения чисел: Число a больше числа b ( a>b ), если их разность a–b – положительное число; число a меньше числа b , если их разность a-b – отрицательное число. Свойства числовых неравенств: 1) Если a>b , то b ; если a , то b>a ; 2) Если a и b<с , то a ; 3) Если a и с R , то a+с ; 4) Если a и с>0 , то aс ; если a и с<0 , то aс>bс ; 5) Если a и с , то a+с ; 6) Если a и с , a , b , с , d – положительные числа, то aс |