Теория по математике (огэ) Числа и выражения
 Скачать 1.2 Mb.
|
|
У функции ?????? = ?????? ?????? нет нулей. При k>0 y>0 при x>0 и y<0 при x<0 ; при k<0 y>0 при x<0 и y<0 при x>0 При k>0 функция ?????? = ?????? ?????? убывает на всей области определения, при k<0 функция ?????? = ?????? ?????? возрастает на всей области определения. Квадратичная функция – это функция, заданная формулой вида y=ax2+bx+с , где x – аргумент, a,b,с R , a≠0 Рассмотрим функцию, заданную формулой y=ax 2 ( a≠0 ). Свойства функции y=ax 2 : 1) Если x=0 , то y=0 , то есть график функции проходит через начало координат. 2) Если x≠0 , то y>0 при a>0 и y<0 при a<0 3) График функции симметричен относительно оси y 4) При a>0 функция убывает на промежутке (—∞; 0] и возрастает на промежутке [0;+∞) ; при a<0 функция возрастает на промежутке (-∞;0] и убывает на промежутке [0;+∞) 5) При a>0 y мин =0 , при a<0 y мaкс =0 График функции y=ax 2 +m получается из графика функции y=ax 2 параллельным переносом вдоль оси y на n единиц вверх при п>0 или на (-n) единиц вниз, если n<0 График функции y=a(x–m) 2 получается из графика функции y=ax 2 параллельным переносом вдоль оси x на m единиц вправо при m>0 или на (-m) единиц влево, если m<0 Вершина параболы – это точка пересечения параболы с её осью симметрии. Вершина параболы y=ax 2 +bx+с имеет координаты (− ?????? ???????????? ; − ?????? ?????? −?????????????????? ???????????? ) Функция y =f(x) называется чётной, если область её определения симметрична относительно нуля и для любого значения аргумента х выполняется равенство f(-x)=f(x) . График любой чётной функции симметричен относительно оси y Функция y=f(x) называется нечётной, если область её определения симметрична относительно нуля и для любого значения аргумента х выполняется равенство f(-x)=-f(x) . График любой нечётной функции симметричен относительно начала координат. Степенной функцией с натуральным показателем называется функция, заданная формулой y=x n , где x – аргумент, n N Свойства функции y=x n при чётном n ( n=2k , k N ): 1) Если x=0 , то y=0 (график функции проходит через начало координат). 2) Если x≠0 , то y>0 3) Функция является чётной. 4) Функция возрастает на промежутке [0;+∞) и убывает на промежутке (-∞; 0] 5) Область значений функции – [0;+∞) Свойства функции y=x n при нечётном n ( n=2k–1 , k N ): 1) Если x=0 , то y=0 (график функции проходит через начало координат). 2) Если x>0 , то y>0 ; если x<0 , то y<0 3) Функция является нечётной. 4) Функция возрастает на промежутке (—∞;+∞) 5) Область значений функции – R ПРОГРЕССИИ И ТЕКСТОВЫЕ ЗАДАЧИ Арифметической прогрессией называется последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен сумме предыдущего члена и одного и того же числа: n N a n+1 =a n +d, d R. d=a n+1 –a n – разность арифметической прогрессии. Формула n -го члена арифметической прогрессии: an=a 1 +d (n-1) Формула суммы n первых членов арифметической прогрессии: ?????? ?????? = (?????? ?????? + ?????? ?????? ) • ?????? ?????? = ???????????? ?????? + ??????(?????? − ??????) ?????? • ?????? Пример 1. Второй член арифметической прогрессии равен 6 , а восьмой член – 42 . Найдите разность этой прогрессии. Решение. { ?????? ?????? = ?????? ?????? + ?????? = ?????? ?????? ?????? = ?????? ?????? + ???????????? = ???????????? Отсюда: 6d=42-6=36 ; d=6 Ответ: 6 Пример 2. Найдите a1 и d арифметической прогрессии, если: a 7 =21 , S 7 =205 Решение. Так как ?????? ?????? = ?????? ?????? +?????? ?????? ?????? • ?????? (по формуле суммы 7 первых членов арифметической прогрессии), то ?????????????????? = ?????? ?????? +???????????? ?????? • ?????? ; Отсюда находим первый член арифметической прогрессии: 410=7a 1 +147; 7a 1 =263. Тогда ?????? ?????? = ???????????? ?????? ?????? Так как a 7 =a 1 +6 d , то ???????????? = ???????????? ?????? ?????? + ???????????? Отсюда находим разность арифметической прогрессии: ???????????? = −???????????? ?????? ?????? ; ?????? = − ???????????? ???????????? = −?????? ???????????? ???????????? Ответ: ?????? ?????? = ???????????? ?????? ?????? ; ?????? = −?????? ???????????? ???????????? . Пример 3. Решите уравнение 1+6+11+16+...+x=235 Решение. Левая часть уравнения представляет собой сумму какого-то числа членов арифметической прогрессии с a 1 =1 ; d=5 х–а n =а 1 +(n–1)d=1+(n–1) •5=5n-4 ?????? = ?????? + ?????? ?????? ?????? ?????? = ?????? ?????? + ?????? ?????? ?????? • ?????? = ?????? + ?????? ?????? • ?????? + ?????? ?????? = ?????????????????? x 2 +5x+4=2350; x 2 +5x–2346=0; D=25+4•2346=9409=97 2 ; ?????? = −?????? ± ???????????? ?????? => ?????? = ???????????? (так как ?????? > ?????? ). Ответ: 46. Геометрическая прогрессия – это последовательность отличных от нуля чисел, каждый член которой, начиная со второго, равен произведению предыдущего члена на одно и то же число: n N bn≠0 и b n +1=b n •q ?????? = ?????? ??????+?????? ?????? ?????? − знаменатель геометрической прогресси. Формула n -го члена геометрической прогрессии: b n =b 1 q n-1 Формула суммы n первых членов геометрической прогрессии: ?????? ?????? = ?????? ?????? ?????? − ?????? ?????? ?????? − ?????? = ?????? ?????? (?????? ?????? − ??????) ?????? − ?????? (?????? ≠ ??????) Если |q|<1 , то прогрессия называется бесконечной геометрической прогрессией и её сумма равна ?????? = ?????? ?????? ??????−?????? Пример 1. Найдите знаменатель геометрической прогрессии, если её второй член равен -2 , а седьмой равен 64 Решение. ?????? ?????? ?????? ?????? = ?????? ?????? ?????? ?????? ?????? ?????? ?????? = ?????? ?????? = ???????????? −?????? = −???????????? q=-2 Ответ: -2 Пример 2. Найдите сумму семи первых членов геометрической прогрессии: 5,10, 20, ... ; Решение. Для решения данного примера необходимо было применить формулу суммы 7 первых членов геометрической прогрессии: b 1 =5 ; q=2 . Так как ?????? ?????? = ?????? ?????? (??????−?????? ?????? ) ??????−?????? , то ?????? ?????? = ??????(?????? − ?????? ?????? ) ?????? − ?????? − ??????(?????? − ??????????????????) = ??????????????????. Ответ: 635 Пример 3. Решите уравнение ?????? ?????? − ?????? = ?????? − ?????? ?????? + ?????? ?????? − ?????? ???????????? + ⋯ Решение. Правая часть – бесконечная геометрическая прогрессия ?????? = − ?????? ?????? Поэтому имеем: ?????? ?????? − ?????? = ?????? ?????? − (− ?????? ?????? ) = ?????? ?????? ?????? = ?????? ?????? ; ?????? ?????? − ?????? − ?????? ?????? = ??????; ?????? = ?????? + ?????? • ?????? ?????? = ??????; ?????? = ?????? ± ?????? ?????? ; ?????? ?????? = − ?????? ?????? ; ?????? ?????? = ?????? ?????? Ответ: − ?????? ?????? ; ?????? ?????? Остановимся на нескольких стандартных примерах текстовых задач. Пример 1. Из пункта А в пункт В, расположенный в 24 км от А, одновременно отправились велосипедист и пешеход. Велосипедист прибыл в пункт В на 4 чaсa раньше пешехода. Известно, что если бы велосипедист ехал с меньшей на 4 км/ч скоростью, то на путь из А в B он затратил бы вдвое меньше времени, чем пешеход. Найдите скорость пешехода. Решение. Скорость велосипедиста x км/ч Скорость пешехода y км/ч x; y > 0 ; { ???????????? ?????? − ???????????? ?????? = ?????? ???????????? ?????? − ?????? = ?????? ?????? • ???????????? ?????? { ?????????????????? − ?????????????????? = ?????????????????? ???????????? = ?????? − ?????? { ???????????? − ???????????? = ???????????? ?????? = ???????????? + ?????? 6(2y+4)–6y=(2y+4)y; 12y+24–6y=2y 2 +4y; 2y 2 –2y–24=0; y 2 –y–12=0; ?????? ??????,?????? = ?????? ± √?????? + ???????????? ?????? = ?????? ± ?????? ?????? ?????? ?????? = −?????? − не ??????довлетворяет ??????словию ?????? ?????? = ??????; ?????? ?????? = ????????????. Ответ: 4 км/ч Пример 2. 60 деталей первый рабочий изготавливает на 3 часа быстрее, чем второй. За сколько часов второй рабочий изготовит 90 деталей , если, работая вместе, они изготавливают за 1 час 30 деталей ? Решение. за 1 час I рабочий x деталей II рабочий y деталей { ???????????? ?????? + ?????? = ???????????? ?????? ?????? + ?????? = ???????????? { ????????????(?????? − ??????) = ?????????????????? ?????? = ???????????? − ?????? { ????????????(?????? − ??????) = ???????????? ?????? = ???????????? − ?????? ????????????(???????????? − ????????????) = ??????(???????????? − ??????) ?????????????????? − ?????????????????? = ?????????????????? + ?????? ?????? = ?????? ?????? ?????? − ?????????????????? + ?????????????????? = ?????? ?????? ??????,?????? = ???????????? ± √?????????????????? − ?????????????????? ?????? = ???????????? ± ???????????? ?????? ?????? = ???????????? − не ??????довлетворяет ??????словию ?????? ?????? = ????????????; ?????? ?????? = ???????????? ???????????? ???????????? = ?????? ч??????сов Ответ: 9 ч Пример 3. Вкладчик сначала снял со своего счёта в сбербанке ?????? ?????? своих денег, потом ?????? ???????????? оставшихся и ещё ?????????????????? рублей. После этого у него на счёте в сбербанке осталась ?????? ?????? всех денег. Каким был первоначальный вклад? Решение. Пусть первоначальный вклад был x рублей. Тогда в первый раз вкладчик снял ?????? 5 руб., после чего осталось ?????? − ?????? ?????? = ???????????? ?????? руб.; во второй раз он снял ?????? ???????????? • ?????? ?????? ?????? + ?????????????????? = ( ?????? ?????? ?????? + ??????????????????) руб. После чего у него осталось ?????? ?????? ?????? руб. Составим и решим уравнение: ?????? − ?????? ?????? − ( ?????? ?????? ?????? + ??????????????????) = ?????? ?????? ?????? (?????? − ?????? ?????? − ?????? ?????? − ?????? ?????? ) ?????? = ?????????????????? ?????? ???????????? ?????? = ?????????????????? ?????? = ???????????????????????? Ответ: 3330 рублей. Пример 4. Двузначное число в 4 раза больше суммы своих цифр, а квадрат этой суммы в 2,25 раза больше самого числа. Найдите это число. Решение. ???????????? ̅̅̅̅ = ?????????????????? + ??????, ?????? ??????, ?????? {??????; ??????} { ?????????????????? + ?????? = ??????(?????? + ??????) (?????? + ??????) ?????? = ??????, ????????????(?????????????????? + ??????) { ?????? = ???????????? (?????? + ??????) ?????? = ??????, ????????????(?????????????????? + ??????) { ?????? = ???????????? (????????????) ?????? = ??????, ???????????? • ?????????????????? ???????????? ?????? = ???????????? ?????? = ?????? (т??????к к??????к ?????? ≠ ??????), ?????? = ??????. Ответ: 36 Пример 5. Из 40 тонн железной руды выплавляют 20 тонн стали, содержащей 6% примесей. Каков процент примесей в руде? Решение. в % в кг Руда 100% 40 т Примеси x% (40 – 20) т Сталь 100% 20 т Примеси 6% ? 1) ????????????•??????% ??????????????????% = ??????, ?????? т – примеси в стали; 2) 40 – 20=20 т 20+1,2=21,2 т – примеси в руде; ????????????,?????? ???????????? • ??????????????????% = ?????????????????? ?????? = ????????????% – примеси в руде. Ответ: 53%. |