Механики
 Скачать 4.29 Mb.
|
|
7. Расчет характеристик СеМО . Характеристики ЗСеМО определяются в такой последовательности: 1) загрузка и коэффициенты простоя узлов: ; ; 7 6 5 4 3 2 6 5 4 3 2 1 1 p p p p p p p p p p p + + + + = + + + + + = ρ ρ ; 1 ; 1 2 2 1 1 ρ η ρ η − = − = 2) среднее число параллельно работающих узлов сети, определяемое как суммарная загрузка всех узлов СеМО: ; 2 1 ρ ρ + = R 3) среднее число заявок в очередях и в узлах СеМО: ; 2 ; ) ( 2 7 6 5 2 4 3 2 1 1 p p p l p p p p l + + = + + + = ; 3 ) ( 2 ; ) ( 2 ) ( 3 7 6 5 4 3 2 6 5 4 3 2 1 1 p p p p p m p p p p p p m + + + + = + + + + + = 4) суммарное число заявок во всех очередях СеМО: ; 2 1 l l L + = 5) производительность замкнутой СеМО: 2 2 2 1 1 1 0 b b α ρ α ρ λ = = ; Раздел 5. Численное моделирование 223 где 1 α и 2 α – коэффициенты передач соответственно узла 1 и узла 2; 6) средние времена ожидания и пребывания заявок в узлах СеМО: ; ; 0 2 2 2 0 1 1 1 λ α λ α l w l w = = ; ; 0 2 2 2 0 1 1 1 λ α λ α l u l u = = 7) суммарное (полное) время ожидания и время пребывания заявок в СеМО: ; 2 2 1 1 w w W α α + = ; 2 2 1 1 u u U α α + = 8) нагрузка в узлах сети: ; ; 2 0 2 2 1 0 1 1 b y b y λ α λ α = = 9) среднее число параллельно работающих приборов во всех узлах сети, определяемое как суммарная нагрузка всех узлов СеМО: ; 2 1 y y Y + = Суммарное число заявок, циркулирующих в СеМО, рассчитываемое как 2 1 m m М + = , должно совпадать с заданным числом заявок в замкнутой сети: 3 = М 5.5.4. Замкнутая СеМО с гиперэкспоненциальным обслуживанием 1. Описание СеМО . 1.1. Сеть массового обслуживания (СеМО) – двухузловая 1.2. Количество приборов в узлах: 1 2 1 = = K K 1.3. Поток заявок однородный 1.4. В СеМО постоянно циркулируют М =3 заявки. 2. Предположения и допущения . 2.1. Длительность обслуживания заявок в узле 1 распределена по гиперэкспоненциальному закону со средней длительностью обслуживания заявок 1 1 / 1 µ = b и коэффициентом вариации 2 1 = b ν , а в узле 2 – по экспо- ненциальному законусо средней длительностью обслуживания заявок 2 2 / 1 µ = b , где 2 1 , µ µ – интенсивности обслуживания заявок. 2.2. Заявка после обслуживания в узле 1 с вероятностью 12 p перехо- дит в узел 2 и с вероятностью 12 10 1 p p − = возвращается в этот же узел 1. 2.3. Дуга, выходящая из узла 1 и входящая обратно в этот же узел, рассматривается как внешняя по отношению к СеМО, и на ней выбирается нулевая точка «0». В замкнутой СеМО всегда существует стационарный режим. 3. Сведение случайного процесса к марковскому . Для описания процесса функционирования в замкнутой неэкспонен- циальной сети в терминах марковских случайных процессов, как и ранее, 224 Раздел 5. Численное моделирование будем рассматривать функционирование системы в определенные момен- ты времени, в которые случайный процесс обладает марковским свой- ством. Для этого воспользуемся представлением случайной величины, распределенной по гиперэкспоненциальному закону, в виде композиции двух экспоненциально распределенных случайных величин (см. раздел 2, п.2.6.2), каждая из которых появляется с вероятностями q и ) 1 ( q − соот- ветственно. В первом узле ЗСеМО такое представление реализуется в виде двух параллельных экспоненциальных фаз, обслуживающих заявки по следующей схеме (рис.5.22): • заявка с вероятностью 1 , 0 = q попадает на обслуживание в первую фазу, длительность обслуживания в которой распределена по экспоненци- альному закону со средним значением ' 1 b , после чего покидает узел; • заявка с вероятностью 9 , 0 ) 1 ( = − q попадает на обслуживание во вторую фазу, длительность обслуживания в которой распределена по экспоненциальному закону со средним значением " 1 b , после чего покидает первый узел. Значения длительностей обслуживания в этих двух фазах таковы, что выполняется условие: 1 " 1 ' 1 ) 1 ( b b q qb = − + . Последнее необходимо для того, чтобы средняя длительность обслуживания в узле 1 была равна 1 b . Моменты завершения обслуживания в каждой из фаз образуют цепь Маркова, так как времена нахождения в них распределены по экспоненци- альному закону. 4. Кодирование состояний случайного процесса . Под состоянием марковского процесса будем понимать распределение заявок по узлам СеМО с учетом того, на какой фазе Рис .5.22. ЗСеМО с двухфазным представлением в узле 1 гиперэкспоненциального распределения длительности обслуживания Ф 2 Ф 1 П 1 П 2 «0» ' 1 b " 1 b 2 b Узел 1 Узел 2 1 b q q − 1 10 p Раздел 5. Численное моделирование 225 обслуживания в узле 1 находится заявка. Для этого закодируем состояния следующим образом: (М 1 , М 2 ), где М 1 = {0, 1 1 , 1 2 , 2 1 , 2 2 , 3} – количество заявок, находящихся в узле 1 (индексы отражают нахождение заявки на 1-й или 2-й фазе гиперэкспоненциального распределения), и М 2 = {0, 1, 2, 3} – количество заявок, находящихся в узле 2, причем суммарное число заявок в обоих узлах должно быть равно 3. При выбранном способе кодирования система может находиться, как и в предыдущем примере, в следующих состояниях: E 1 : (3 1 , 0) – все три заявки находятся в узле 1, причем одна заявка находятся на обслуживании в приборе на первой фазе , и две заявки ожидают в накопителе; E 2 : (3 2 , 0) – все три заявки находятся в узле 1, причем одна заявка находятся на обслуживании в приборе на второй фазе , и две заявки ожидают в накопителе; E 3 : (2 1 , 1) – две заявки находятся в узле 1 (одна на обслуживании в приборе на первой фазе и одна в накопителе) и одна – на обслуживании в узле 2; E 4 : (2 2 , 1) – две заявки находятся в узле 1 (одна на обслуживании в приборе на второй фазе и одна в накопителе) и одна – на обслуживании в узле 2; E 5 : (1 1 , 2) – одна заявка находится в узле 1 на обслуживании в приборе на первой фазе и две заявки находятся в узле 2, причем одна из них находится на обслуживании в приборе, а вторая заявка ожидает в накопителе; E 6 : (1 2 , 2) – одна заявка находится в узле 1 на обслуживании в приборе на второй фазе и две заявки находятся в узле 2, причем одна из них находится на обслуживании в приборе, а вторая заявка ожидает в накопителе; E 7 : (0, 3) – три заявки находятся в узле 2, причем одна заявка – на обслуживании в приборе, а две другие – ожидают в накопителе. 5. Размеченный граф переходов случайного процесса. На рис.5.23 представлен граф переходов марковского процесса для рассматриваемой неэкспоненциальной СеМО с гиперэкспоненциальным распределением длительности обслуживания заявок в первом узле. Для понимания процесса составления графа переходов вместо номеров состояний в вершинах графа указаны коды состояний, а для того чтобы не загромождать рисунок, используются следующие обозначения для интенсивностей переходов: ' 1 12 1 ) 1 )( 1 ( µ p q g − − = ; ' 1 12 2 ) 1 ( µ p q g − = ; " 1 12 3 ) 1 ( µ p q g − = ; " 1 12 4 µ qp g = Рассмотрим подробно все возможные переходы для каждого состояния ) 7 , 1 ( = i i E марковского случайного процесса. 226 Раздел 5. Численное моделирование Состояние 1 E . Если случайный процесс находится в состоянии E 1 =(3 1 , 0), то по завершению обслуживания заявки случайный процесс может перейти в одно из трёх состояний: E 2 =(3 2 , 0), E 3 =(2 1 , 1) и E 4 =(2 2 , 1) или остаться в том же состоянии. Напомним, что если случайный процесс остаётся в том же состоянии, то это никак не отображается на графе переходов. Случайный процесс перейдёт из состояния E 1 =(3 1 , 0) в состояние E 2 =(3 2 , 1) при выполнении следующих условий: • завершится обслуживание заявки, находящейся на обслуживании в фазе Ф 1 ; интенсивность этого события ' 1 ' 1 / 1 b = µ ; • заявка, завершившая обслуживание в узле 1, вернётся в этот же узел и встанет в конец очереди; вероятность этого события равна 12 10 1 p p − = ; • в узле 1 очередная заявка, которая поступит на обслуживание из очереди в прибор П 1 , попадёт на обслуживание в фазу Ф 2 ; вероятность этого события равна ) 1 ( q − Таким образом, интенсивность перехода из состояния E 1 =(3 1 , 0) в состояние E 2 =(3 2 , 0) будет равна ' 1 12 1 ) 1 )( 1 ( µ p q g − − = Случайный процесс перейдёт из состояния E 1 =(3 1 , 0) в состояние E 3 =(2 1 , 1) при выполнении следующих условий: • завершится обслуживание заявки, находящейся на обслуживании в фазе Ф 1 ; интенсивность этого события ' 1 ' 1 / 1 b = µ ; • заявка, завершившая обслуживание в узле 1, перейдёт в узел 2; вероятность этого события равна 12 p ; • в узле 1 новая заявка, которая поступит на обслуживание из очере- ди в прибор П 1 , попадёт на обслуживание в фазу Ф 1 ; вероятность этого события – q . Таким образом, интенсивность перехода из состояния E 1 =(3 1 , 0) в " 1 12 µ p 2 µ 2 µ " 1 12 ) 1 ( µ p q − " 1 12 ) 1 ( µ p q − ' 1 12 µ qp ' 1 12 µ p 2 µ q Рис .5.23. Граф переходов ЗСеМО с гиперэкспоненциальным обслуживанием 2 g 2 µ ' 1 12 µ qp 2 µ 2 ) 1 ( µ q − 4 g 2 g 1 g 3 g 4 g 1 g 3 g 1 g 3 g E 1 (3 1 ,0) E 2 (3 2 ,0) E 3 (2 1 ,1) E 4 (2 2 ,1) E 5 (1 1 ,2) E 6 (1 2 ,2) E 7 (0,3) Раздел 5. Численное моделирование 227 состояние E 3 =(2 1 , 1) будет равна ' 1 12 µ qp Случайный процесс перейдёт из состояния E 1 =(3 1 , 0) в состояние E 4 =(2 2 , 1) при выполнении следующих условий: • завершится обслуживание заявки, находящейся на обслуживании в фазе Ф 1 ; интенсивность этого события ' 1 ' 1 / 1 b = µ ; • заявка, завершившая обслуживание в узле 1, перейдёт в узел 2; вероятность этого события равна 12 p ; • в узле 1 новая заявка, которая поступит на обслуживание из очереди в прибор П 1 , попадёт на обслуживание в фазу Ф 2 ; вероятность этого события – ) 1 ( q − Таким образом, интенсивность перехода из состояния E 1 =(3 1 , 0) в состояние E 4 =(2 2 , 1) будет равна ' 1 12 2 ) 1 ( µ p q g − = Состояние 2 E . Случайный процесс из состояния E 2 =(3 2 , 0) по завершению обслуживания заявки также может перейти в одно из трёх состояний: E 1 =(3 1 , 0), E 3 =(2 1 , 1) и E 4 =(2 2 , 1) или остаться в том же состоянии. Случайный процесс перейдёт из состояния E 2 =(3 2 , 0) в состояние E 1 =(3 1 , 1) при выполнении следующих условий: • с интенсивностью " 1 " 1 / 1 b = µ завершится обслуживание заявки в фазе Ф 2 ; • с вероятностью 12 10 1 p p − = заявка, завершившая обслуживание в узле 1, вернётся в этот же узел и встанет в конец очереди; • с вероятностью q в узле 1 очередная заявка, которая поступит из очереди в прибор П 1 , попадёт на обслуживание в фазу Ф 1 Таким образом, интенсивность перехода из состояния E 1 =(3 1 , 0) в состояние E 2 =(3 2 , 0) будет равна " 1 12 3 ) 1 ( µ p q g − = Случайный процесс перейдёт из состояния E 2 =(3 2 , 0) в состояние E 3 =(2 1 , 1) при выполнении следующих условий: • с интенсивностью " 1 " 1 / 1 b = µ завершится обслуживание заявки в фазе Ф 2 ; • с вероятностью 12 p заявка, завершившая обслуживание в узле 1, перейдёт в узел 2; • с вероятностью q в узле 1 очередная заявка, которая поступит из очереди в прибор П 1 , попадёт на обслуживание в фазу Ф 1 Таким образом, интенсивность перехода из E 2 =(3 2 , 0) в E 3 =(2 1 , 1) будет равна " 1 12 4 µ qp g = Случайный процесс перейдёт из состояния E 2 =(3 2 , 0) в состояние E 4 =(2 2 , 1) при выполнении следующих условий: • с интенсивностью " 1 " 1 / 1 b = µ завершится обслуживание заявки в фазе Ф 2 ; 228 Раздел 5. Численное моделирование • с вероятностью 12 p заявка, завершившая обслуживание в узле 1, перейдёт в узел 2; • с вероятностью ) 1 ( q − в узле 1 очередная заявка, которая поступит из очереди в прибор П 1 , попадёт на обслуживание в фазу Ф 2 Таким образом, интенсивность перехода из E 2 =(3 2 , 0) в E 4 =(2 2 , 1) будет равна " 1 12 ) 1 ( µ p q − Состояния 3 E и 4 E . Если случайный процесс находится в состоя- нии E 3 =(2 1 , 1) или E 4 =(2 2 , 1), то кроме аналогичных переходов, связанных с завершением обслуживания заявки в узле 1, имеется ещё один переход в состояния E 1 =(3 1 , 0) и E 2 =(3 2 , 0) соответственно, связанный с завершением обслуживания заявки в узле 2. Интенсивность перехода из E 3 =(2 1 , 1) в E 1 =(3 1 , 0) и из E 4 =(2 2 , 1) в E 2 =(3 2 , 0) равна интенсивности обслуживания 2 µ в узле 2. Отметим, что переходы из E 3 =(2 1 , 1) в E 2 =(3 2 , 0) и из E 4 =(2 2 , 1) в E 1 =(3 1 , 0) отсутствуют, так как заявка, находящаяся на обслуживании в первом узле, остаётся в той же фазе обслуживания, которая была в момент завершения обслуживания заявки в узле 2. Это является следствием того, что в случайных процессах с непрерывным временем вероятность одновре- менного появления двух событий (завершение обслуживания в узле 1 и в узле 2) равна нулю. Состояния 5 E и 6 E . Переходы из состояний E 5 =(1 1 , 2) и E 6 =(1 2 , 2) аналогичны переходам из E 3 =(2 1 , 1) и |