Механики
 Скачать 4.29 Mb.
|
|
5.5.2. Замкнутая экспоненциальная СеМО 1. Описание замкнутой СеМО (рис.5.18). 1.1. Сеть массового обслуживания (СеМО) – замкнутая двухузловая 1.2. Количество приборов в узлах: узел 1 – одноканальный, узел 2 – двухка- нальный. 1.3. Поток заявок однородный 1.4. В СеМО постоянно циркулируют 3 = M заявки. 2. Предположения и допущения . 2.1. Длительности обслуживания заявок в узлах 1 и 2 распределены по экспоненциальному закону с интенсивностями 1 1 / 1 b = µ и 2 2 / 1 b = µ соответственно, где 2 1 , b b – средние длительности обслуживания заявок. 2.2. Приборы в двухканальном узле 2 идентичны и любая заявка может обслуживаться в любом приборе. 2.3. Заявка после обслуживания в узле 1 с вероятностью 12 p перехо- дит в узел 2 и с вероятностью 12 10 1 p p − = возвращается в этот же узел 1. 2.4. Дуга, выходящая из узла 1 и входящая обратно в этот же узел, рассматривается как внешняя по отношению к СеМО, и на ней выбирается нулевая точка «0». В замкнутой СеМО всегда существует стационарный режим, так как число заявок в сети ограничено и не может быть бесконечных очередей. Легко убедиться, что случайный процесс, протекающий в замкнутой экспоненциальной сети, является марковским. 3. Кодирование состояний марковского процесса . Под состоянием марковского процесса будем понимать распределение заявок по узлам СеМО. Закодируем состояния следующим образом: (М 1 , М 2 ), где М 1 = {0, 1, 2, 3} – количество заявок, находящихся в узле 1 и М 2 = {0, 1, 2, 3} – количество заявок, находящихся в узле 2, причем суммарное число заявок в обоих узлах должно быть равно 3. При выбранном способе кодирования система может находиться в следующих состояниях: E 0 : (3, 0) – все три заявки находятся в узле 1, причем одна заявка Раздел 5. Численное моделирование 217 находятся на обслуживании в приборе и две заявки ожидают в накопителе; E 1 : (2, 1) – две заявки находятся в узле 1 (одна на обслуживании в приборе и одна в накопителе) и одна – на обслуживании в одном из приборов узла 2; E 2 : (1, 2) – одна заявка находится на обслуживании в узле 1 и две – в узле 2 (на обслуживании в обоих приборах); E 3 : (0, 3) – все три заявки находятся в узле 2, причем две заявки находятся на обслуживании в обоих приборах узла 2 и одна заявка ожидает в накопителе. 4. Размеченный граф переходов случайного процесса (рис.5.19). В один и тот же момент времени в замкнутой СеМО может произойти только одно из двух событий: 1) завершение обслуживания заявки в первом узле с интенсивностью 1 µ , при этом заявка с вероятностью 12 p покинет этот узел и перейдет в узел 2 (интенсивность перехода 1 12 µ p ) или с вероятностью ) 1 ( 12 p − останется в этом же узле, то есть состояние случайного процесса не изменится; отметим, что второй случай не отображается на графе переходов в виде дуги, выходящей из узла 1 и снова входящей в узел 1; 2) завершение обслуживания заявки в узле 2 с интенсивностью 2 µ , если на обслуживании в этом узле находится одна заявка (работает один прибор), или с интенсивностью 2 2 µ , если на обслуживании в узле нахо- дятся две заявки (работают оба прибора); обслуженная заявка покидает этот узел и с вероятностью 1 переходит в первый узел. 5. Система уравнений . Не составляя матрицу интенсивностей переходов, запишем систему уравнений для определения стационарных вероятностей: = + + + = + = + + = + = 1 2 2 ) 2 ( 2 ) ( 3 2 1 0 2 1 12 3 2 3 2 1 1 12 2 2 1 12 2 2 0 1 12 1 2 1 12 1 2 0 1 12 p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p µ µ µ µ µ µ µ µ µ µ µ µ 6. Расчет характеристик СеМО . На основе полученных значений стационарных вероятностей рассчи- тываются узловые и сетевые характеристики СеМО с использованием следующих формул: Е 0 (3,0) 2 µ 2 2 µ 2 2 µ 1 12 µ p 1 12 µ p 1 12 µ p Рис .5.19. Граф экспоненциальной ЗСеМО Е 1 (2,1) Е 2 (1,2) Е 3 (0,3) 218 Раздел 5. Численное моделирование 1) загрузка узлов: ; 5 , 0 ; 3 2 1 2 2 1 0 1 p p p p p p + + = + + = ρ ρ 2) коэффициенты простоя узлов: ; 1 ; 1 2 2 1 1 ρ η ρ η − = − = 3) средние длины очередей заявок в узлах: ; ; 2 3 2 1 0 1 p l p p l = + = 4) среднее число заявок в узлах: ; 3 2 ; 2 3 3 2 1 2 2 1 0 1 p p p m p p p m + + = + + = 5) производительность замкнутой СеМО: 2 2 2 1 1 1 0 b b α ρ α ρ λ = = ; где 1 α и 2 α – коэффициенты передач соответственно узлов 1 и 2, опреде- ляемые путем решения системы уравнений (4.17); 6) среднее время ожидания заявок в узлах СеМО: ; ; 0 2 2 2 0 1 1 1 λ α λ α l w l w = = 7) среднее время пребывания заявок в узлах СеМО: ; ; 0 2 2 2 0 1 1 1 λ α λ α l u l u = = 8) нагрузка в узлах сети: ; ; 2 0 2 2 1 0 1 1 b y b y λ α λ α = = 9) среднее число параллельно работающих узлов сети, определяемое как суммарная загрузка всех узлов СеМО: ; 2 1 ρ ρ + = R 10) среднее число параллельно работающих приборов во всех узлах сети, определяемое как суммарная нагрузка всех узлов СеМО: ; 2 1 y y Y + = 11) суммарное число заявок во всех очередях СеМО: ; 2 1 l l L + = 12) суммарное (полное) время ожидания заявок в СеМО : ; 2 2 1 1 w w W α α + = 13) время пребывания заявок в СеМО: ; 2 2 1 1 u u U α α + = Суммарное число заявок, циркулирующих в ЗСеМО, рассчитываемое как 2 1 m m М + = , должно совпадать с заданным числом заявок 3 = М Следует обратить внимание на то, что временные характеристики обслуживания заявок в узлах СеМО, а, следовательно, и в сети в целом, могут быть рассчитаны только после определения производительности замкнутой СеМО, вычисляемой через найденные значения загрузок узлов. Раздел 5. Численное моделирование 219 5.5.3. Замкнутая СеМО с эрланговским обслуживанием 1. Описание СеМО . 1.1. Замкнутая сеть массового обслуживания (ЗСеМО) – двухузловая 1.2. Количество приборов в узлах: 1 2 1 = = K K 1.3. Поток заявок однородный 1.4. В ЗСеМО постоянно циркулируют 3 = М заявки. Граф рассматриваемой ЗСеМО такой же, как и в предыдущем приме- ре (рис.5.18). Отличие состоит только в том, что в рассматриваемой ЗСеМО узел 2 – одноканальный. 2. Предположения и допущения . 2.1. Длительность обслуживания заявок в узле 1 распределена по закону Эрланга 2- го порядка со средней длительностью обслуживания заявок 1 1 / 1 µ = b , а в узле 2 – по экспоненциальному закону со средней длительностью обслуживания заявок 2 2 / 1 µ = b , где 2 1 , µ µ – интенсивности обслуживания заявок. 2.2. Заявка после обслуживания в узле 1 с вероятностью 12 p перехо- дит в узел 2 и с вероятностью 12 10 1 p p − = возвращается в этот же узел 1. 2.3. Дуга, выходящая из узла 1 и входящая обратно в этот же узел, рассматривается как внешняя по отношению к СеМО, и на ней отмечается нулевая точка «0». 3. Сведение случайного процесса к марковскому . Случайный процесс, протекающий в замкнутой неэкспоненциальной сети, не является марковским. Для описания процесса функционирования такой системы в терми- нах марковских случайных процессов будем рассматривать функциониро- вание системы в определенные моменты времени, в которые случайный процесс обладает марковским свойством. Для этого воспользуемся пред- ставлением случайной величины, распределенной по закону Эрланга 2-го порядка, в виде суммы двух экспоненциально распределенных случайных величин (см. раздел 2, п.2.6.1). При этом будем полагать, что обслужива- ние заявки в первом узле проходит две фазы, длительность каждой из которых распределена по экспоненциальному закону со средним значени- ем 2 / 1 ' 1 b b = . Последнее необходимо для того, чтобы полная длительность обслуживания в узле 1 была равна 1 b . Таким образом, обслуживание заявки в СеМО можно представить как двухфазное обслуживание в первом узле и однофазное – во втором узле (рис.5.20). Длительности обслуживания в фазах Ф1 и Ф2 первого узла ЗСеМО распределены по экспоненциальному закону с одним и тем же параметром ' 1 ' 1 / 1 b = µ и с параметром 2 2 / 1 b = µ – в единственной фазе второго узла. Моменты завершения обслуживания в каждой из фаз 220 Раздел 5. Численное моделирование образуют цепь Маркова, так как времена нахождения в них распределены по экспоненциальному закону. Такое представление случайного процесса требует другого подхода к кодированию состояний, учитывающего распределение заявок по фазам обслуживания. 4. Кодирование состояний случайного процесса . Под состоянием марковского процесса будем понимать распределе- ние заявок по узлам СеМО с учетом того, на какой фазе обслуживания распределения Эрланга находится заявка в узле 1. Для этого закодируем состояния следующим образом: (М 1 , М 2 ), где М 1 = {0, 1 1 , 1 2 , 2 1 , 2 2 , 3} – количество заявок, находящихся в узле 1 (индексы отражают нахождение заявки на 1-й или 2-й фазе распределения Эрланга), и М 2 = {0, 1, 2, 3} – количество заявок, находящихся в узле 2, причем суммарное число заявок в обоих узлах должно быть равно 3. При выбранном способе кодирования система может находиться в следующих состояниях: E 1 : (3 1 , 0) – все три заявки находятся в узле 1, причем одна заявка находятся на обслуживании в приборе на первой фазе , и две заявки ожидают в накопителе; E 2 : (3 2 , 0) – все три заявки находятся в узле 1, причем одна заявка находятся на обслуживании в приборе на второй фазе , и две заявки ожидают в накопителе; E 3 : (2 1 , 1) – две заявки находятся в узле 1 (одна на обслуживании в приборе на первой фазе и одна в накопителе) и одна – на обслуживании в узле 2; E 4 : (2 2 , 1) – две заявки находятся в узле 1 (одна на обслуживании в приборе на второй фазе и одна в накопителе) и одна – на обслуживании в узле 2; E 5 : (1 1 , 2) – одна заявка находится в узле 1 на обслуживании в приборе на первой фазе и две заявки находятся в узле 2, причем одна из них находится на обслуживании в приборе, а вторая заявка ожидает в накопителе; Рис .5.20. ЗСеМО с двухфазным представлением распределения Эрланга Ф 2 Ф 1 П 1 П 2 «0» ' 1 b ' 1 b 2 b Узел 1 Узел 2 1 b 10 p Раздел 5. Численное моделирование 221 E 6 : (1 2 , 2) – одна заявка находится в узле 1 на обслуживании в приборе на второй фазе и две заявки находятся в узле 2, причем одна из них находится на обслуживании в приборе, а вторая заявка ожидает в накопителе; E 7 : (0, 3) – все три заявки находятся в узле 2, причем одна заявка находится на обслуживании в приборе, а две другие – ожидают в накопителе. 5. Размеченный граф переходов случайного процесса. На рис.5.21 представлен граф переходов марковского процесса для рассматриваемой неэкспоненциальной СеМО. Для понимания процесса составления графа переходов вместо номеров состояний в вершинах графа указаны коды состояний. Из состояния E 1 =(3 1 , 0) переход возможен только в одно состояние E 2 =(3 2 , 0) с интенсивностью ' 1 µ обслуживания на первой фазе, поскольку все заявки в первом узле обязательно проходят две фазы обслуживания. Из состояния E 2 =(3 2 , 0) переход возможен также только в одно состояние E 3 =(2 1 , 1). Это соответствует завершению обслуживания на второй фазе заявки в узле 1 (с интенсивностью ' 1 µ ) и ее передаче в узел 2 (с вероятностью 12 p ). Отсюда интенсивность перехода марковского про- цесса в состояние E 3 =(2 1 , 1) будет равна произведению ' 1 12 µ p . Заметим, что с вероятностью ) 1 ( 12 p − марковский процесс останется в том же состоя- нии, что соответствует возврату заявки в узел 1. Из состояния E 3 =(2 1 , 1) переход возможен в одно из двух состояний: • в состояние E 4 =(2 2 , 1), что соответствует завершению обслужива- ния заявки на первой фазе в узле 1 (с интенсивностью ' 1 µ ) и переходу к обслуживанию на второй фазе в том же узле 1; • в состояние E 1 =(3 1 , 0), что соответствует завершению обслужива- ния заявки в узле 2 (с интенсивностью 2 µ ) и ее передаче в узел 1 (с вероятностью 1). Следует помнить, что в любой момент времени может произойти Рис . 5.21. Граф переходов ЗСеМО с эрланговским обслуживанием E 1 (3 1 ,0) ' 1 µ ' 1 µ 2 µ ' 1 12 µ p ' 1 12 µ p ' 1 12 µ p 2 µ 2 µ 2 µ 2 µ E 2 (3 2 ,0) E 3 (2 1 ,1) E 4 (2 2 ,1) ' 1 µ E 5 (1 1 ,2) E 6 (1 2 ,2) E 7 (0,3) 222 Раздел 5. Численное моделирование только одно событие. Вероятность двух и более событий пренебрежимо мала. Поэтому из состояния E 3 =(2 1 , 1) не возможен переход в состояние E 3 =(3 2 , 0), означающий завершение обслуживания заявки на первой фазе в узле 1 и одновременное завершение обслуживания заявки в узле 2. Аналогичные рассуждения справедливы для состояний E 4 =(2 2 , 1), E 5 =(1 1 , 2) и E 6 =(1 2 , 2). Из состояния E 7 =(0, 3) переход возможен только в состояние E 5 =(1 1 , 2), означающий завершение обслуживания заявки в узле 2 и ее передачу на обслуживание в узел 1, причем обслуживание новой заявки всегда начинается на первой фазе. По этой причине переход в состояние E 6 =(1 2 , 2) не возможен. 6. Система уравнений . Не составляя матрицу интенсивностей переходов, запишем систему уравнений для определения стационарных вероятностей состояний: = + + + + + + = = + + = + + = + + = + + = = 1 ) ( ) ( ) ( ) ( 7 6 5 4 3 2 1 6 ' 12 7 2 5 ' 6 2 ' 12 7 2 4 ' 12 5 2 ' 6 2 3 ' 4 2 ' 12 5 2 2 ' 12 3 2 ' 4 2 1 ' 2 ' 12 3 2 1 ' 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p µ µ µ µ µ µ µ µ µ µ µ µ µ µ µ µ µ µ µ µ µ µ |