Механики
 Скачать 4.29 Mb.
|
|
Определить : ? 2 = α и ? 3 = α Решение . 1) По заданным значениям стационарных вероятностей состояний с учётом того, что все узлы одноканальные, рассчитаем загрузки каждого узла замкнутой СеМО как сумму вероятностей состояний, в которых соответствующий узел занят обслуживанием заявок: 2 0 1 0 05 0 05 0 ) 0 , 0 , 2 ( ) 0 , 1 , 1 ( ) 1 , 0 , 1 ( 1 = + + = + + = P P P ρ ; 55 0 05 0 1 0 4 0 ) 0 , 1 , 1 ( ) 0 , 2 , 0 ( ) 1 , 1 , 0 ( 2 = + + = + + = P P P ρ ; 75 0 05 0 4 0 3 0 ) 1 , 0 , 1 ( ) 1 , 1 , 0 ( ) 2 , 0 , 0 ( 3 = + + = + + = P P P ρ 2) Загрузка узлов СеМО (см.п.3.4.3) определяется по формуле: ) 3 , 1 ( 0 = = j K b j j j j λ α ρ или с учётом того, что 1 3 2 1 = = = K K K и b b b b = = = 3 2 1 , получим: ) 3 , 1 ( 0 = = j b j j λ α ρ , где 0 λ - интенсивность потока заявок, проходящих через нулевой узел ЗСеМО, значение которой не известно. Зная загрузку 2 0 1 = ρ и коэффициент передачи 4 1 = α узла 1, найдём: 05 0 4 / 2 0 / 1 1 0 = = = α ρ λ b 3) Теперь с использованием того же выражения для расчёта загрузок узлов 2 и 3 можно определить значения соответствующих коэффициентов передач: 11 05 , 0 55 , 0 0 2 2 = = = b λ ρ α ; 25 05 , 0 75 , 0 0 3 3 = = = b λ ρ α Задача 3. На автозаправочную станцию (АЗС) с одной колонкой прибывают автомобили со средним интервалом между моментами прибытия Х минут. Водитель каждого автомобиля сначала заправляет бензином автомобиль в течение случайного времени, распределённого по экспоненциальному закону, со средним значением Y минут, а затем идёт к оператору АЗС и оплачивает бензин, затрачивая на это в среднем ещё Y минут. После этого автомобиль покидает заправку, и к колонке подъезжает следующий ожидающий заправки автомобиль. Ожидающие автомобили образуют очередь перед АЗС. 1) Сформулировать предположения и допущения, при которых процесс функционирования бензозаправочной станции можно рассматри- Раздел 5. Численное моделирование 235 вать как марковский. 2) Нарисовать и подробно описать модель в терминах теории массового обслуживания. 3) Выполнить кодирование и нарисовать размеченный граф пере- ходов марковского процесса. 4) Сформулировать требования, при которых марковский процесс обладает эргодическим свойством. Решение . 1) Предположения и допущения , при которых процесс функциони- рования бензозаправочной станции можно рассматривать как марковский: • прибывающие на бензозаправочную станцию автомобили образуют простейший поток ; • время, затрачиваемое на заправку, и время, затрачиваемое на оплату за бензин, представляют собой случайные величины, распределённые по экспоненциальному закону ; • интервал времени от момента отъезда от бензоколонки заправ- ленного автомобиля до момента подъезда к бензоколонке следующего ожидающего автомобиля предполагается много меньшим по сравнению со временем заправки и принимается равным нулю ; • в очереди ожидающих заправки автомобилей может находиться любое их количество, то есть имеем накопитель неограниченной ёмкости 2) Модель в терминах теории массового обслуживания: Модель АЗС представляет собой одноканальную СМО с накопителем неограниченной ёмкости, в которую поступает простейший поток заявок (автомобилей) с интенсивностью X / 1 = λ . Обслуживание в приборе складывается из двух экспоненциальных фаз : на первой фазе (К) выпол- няется заправка на колонке автомобиля бензином, а на второй (О) – оплата за бензин. Интенсивность обслуживания на каждой фазе равна Y / 1 = µ заявок в минуту, следовательно, интенсивность обслуживания в приборе (АЗС) составляет 2 / ) 2 /( 1 µ = Y . Предположение об экспоненциальном характере обслуживания на каждой фазе обусловливает распределение длительности обслуживания в приборе по закону Эрланга 2- го порядка 3) Кодирование и размеченный граф переходов марковского процесса. В качестве параметра, описывающего состояние марковского процесса, будем рассматривать количество заявок k, находящихся в СМО О К АЗС Y Y Y b 2 = X / 1 = λ 236 Раздел 5. Численное моделирование (на обслуживании в приборе и в накопителе), при этом следует различать, на какой экспоненциальной фазе обслуживания в приборе находится заявка. Поскольку в системе в произвольный момент времени может находиться любое сколь угодно большое число заявок, то количество состояний марковского процесса равно бесконечности: E 0 : 0 = k – в системе нет ни одной заявки; E 1 : 1 1 = k – в системе находится 1 заявка на обслуживании в фазе 1; E 2 : 2 1 = k – в системе находится 1 заявка на обслуживании в фазе 2; E 3 1 2 = k – в системе находятся 2 заявки (одна – на обслуживании в фазе 1 и вторая ожидает в накопителе); E 4 2 2 = k – в системе находятся 2 заявки (одна – на обслуживании в фазе 2 и вторая ожидает в накопителе); … Размеченный граф переходов имеет следующий вид: 4) Требования , при которых марковский процесс обладает эргодическим свойством. Марковский процесс с непрерывным временем и бесконечным количеством состояний обладает эргодическим свойством, если в моделируемой системе нет перегрузок. Для этого необходимо, чтобы загрузка системы не превышала единицы: 1 2 < = = X Y b λ ρ Отсюда вытекает очевидное требование следующего вида: Y X 2 > , то есть средний интервал между прибывающими на АЗС автомобилями должен быть больше, чем среднее время их обслуживания, затрачиваемое на заправку и оплату. Если это условие не выполняется, можно ограничить ёмкость накопителя, построив перед АЗС площадку с ограниченным числом мест для ожидающих автомобилей, полагая, что при отсутствии на этой площадке свободных мест автомобили отправятся на другую АЗС. E 1 (1 1 ) µ µ λ λ λ E 2 (1 2 ) E 3 (2 1 ) E 4 (2 2 ) µ E 5 (3 1 ) E 6 (3 2 ) E 7 (0) λ λ λ µ µ λ µ µ … … … Раздел 5. Численное моделирование 237 5 0 0 3 0 2 0 0 6 0 0 4 0 4 0 3 0 2 0 0 0 8 0 0 2 0 4 3 2 1 4 3 2 1 E E E E E E E E P = 5.8. Самоконтроль : перечень вопросов и задач 1. Понятие случайного процесса. 2. Что понимается под состоянием случайного процесса? 3. Классификация случайных процессов. 4. В чём отличие дискретного случайного процесса от непрерывного? 5. Привести примеры систем, в которых процессы непрерывными. 6. Привести примеры систем, в которых процессы дискретными. 7. В чём отличие дискретного случайного процесса с непрерывным временем от процесса с дискретным временем? 8. Понятие марковского случайного процесса. 9. Как называется процесс, в котором переход из одного состояния в другое зависит только от состояния, в котором находится процесс? 10. При каком условии случайный процесс с непрерывным временем является марковским? 11. По какому закону должны быть распределены интервалы времени между соседними переходами, чтобы дискретный случайный процесс был марковским? Ответ обосновать. 12. Дать определение интенсивности перехода для марковского случайного процесса с непрерывным временем. 13. Из какого условия определяются диагональные элементы матрицы интенсивностей переходов? 14. Чему равны диагональные элементы матрицы интенсивностей переходов? 15. Понятие эргодического свойства случайного процесса. 16. В чем различие между случайными процессами, обладающими и не обладающими эргодическим свойством? 17. Что означает понятие "стационарная вероятность состояния случайного процесса"? 18. Перечислить условия, при которых марковский процесс с дискретным временем обладает эргодическим свойством. 19. Объяснить на примере, почему марковский процесс с разложимой и периодической матрицей вероятностей переходов не обладает эргодическим свойством? 20. Определить, обладает ли эргоди- ческим свойством случайный процесс с дискретным временем с заданной матрицей вероятностей переходов Р , сопроводив ответ необходимыми пояснениями. 21. Известны вероятности состояний двухузловой замкнутой СеМО: P(0,4)=0,4; P(1,3)=0,1; P(2,2)=0,2; P(3,1)=0,2; P(4,0)=0,1, где состояние (M 1 ,M 2 ) задает число заявок в одноканальном узле 1 и трехканальном узле 238 Раздел 5. Численное моделирование 2 соответственно. Определить среднее число заявок в СеМО, находящихся в состоянии ожидания. 22. Известны вероятности состояний трехузловой замкнутой СеМО: P(0,0,2)=0,2; P(0,1,1)=0,1; P(0,2,0)=0,15; P(1,0,1)=0,35; P(1,1,0)=0,15; P(2,0,0)=0,05, где состояние (M 1 ,M 2 ,M 3 ) задает число заявок в узле 1, 2, 3 соответственно. Определить среднее число параллельно работающих узлов ЗСеМО. 23. Известны вероятности состояний трехузловой замкнутой СеМО: Р(0,0,2)=0,1; P(0,1,1)=0,3; P(0,2,0)=0,4; P(1,0,1)=0,05; P(1,1,0)=0,05; P(2,0,0)=0,1. Длительности обслуживания заявок во всех одноканальных узлах одинаковы. Определить значения коэффициентов передач второго и третьего узлов сети, если известно, что коэффициент передачи первого узла равен 2. 24. Известны вероятности состояний трехузловой ЗСеМО: Р(2,0,0)=0,05; P(1,1,0)=0,25; P(0,2,0)=0,1; P(1,0,1)=0,1; P(0,1,1)=0,3; P(0,0,2)=0,2. Определить производительность ЗСеМО, если известно, что коэффициент передачи третьего узла (двухканального) равен 2, а средняя длительность обслуживания заявок в этом узле равна 0,1 с. 25. Система содержит два обслуживающих прибора и накопитель единичной емкости (для одной заявки). В систему поступает простейший поток заявок с интенсивностью λ . Заявки с равной вероятностью попа- дают в один из них, если оба прибора свободны, и занимают свободный прибор, когда другой прибор занят обслуживанием. Когда оба прибора заняты, заявка заносится в накопитель, если он свободен, или теряется, если накопитель занят. Длительность обслуживания заявок в обоих прибо- рах распределена по гиперэкспоненциальному закону, причем первый прибор работает с двое большей скоростью. Нарисовать модель системы и размеченный граф переходов марковского процесса с необходимыми для понимания комментариями. Составить систему уравнений для стацио- нарных вероятностей . 26. Система содержит два обслуживающих прибора и накопитель единичной емкости (для одной заявки). В систему поступают заявки с интенсивностью λ . Если оба прибора свободны, то поступившая заявка всегда попадает в первый прибор, и занимают свободный прибор, когда другой прибор занят обслуживанием. Когда оба прибора заняты, заявка заносится в накопитель, если он свободен, или теряется, если накопитель занят. Первый прибор работает с вдвое меньшей скоростью. 1) Сформу- лировать условия (предположения и допущения), при которых случайный процесс, протекающий в системе, будет марковским. 2) Нарисовать модель системы. 3) Выполнить кодирование марковского процесса. 4) Нарисовать размеченный граф переходов марковского процесса. 5) Выписать систему уравнений для определения стационарных вероятностей состояний. 6) Сформулировать условия, при которых марковский процесс обладает эргодическим свойством. Раздел 5. Численное моделирование 239 27. На автозаправочной станции (АЗС) имеется две колонки: одна для заправки легковых автомобилей бензином и другая для заправки гру- зовых автомобилей дизельным топливом. На станцию прибывают автомо- били со средним интервалом между моментами прибытия 0 T минут, при- чём легковые автомобили прибывают в 4 раза чаще, чем грузовые. Время заправки легковых автомобилей в среднем составляет X минут, а грузовых – в два раза больше. Перед АЗС имеется площадка для ожидания прибы- вающих автомобилей, на которой могут разместиться один грузовой или два легковых автомобиля. Если площадка занята, то автомобили покидают АЗС не заправившись. 1) Сформулировать предположения и допущения, при которых процесс функционирования бензозаправочной станции можно рассматривать как марковский. 2) Нарисовать и подробно описать модель в терминах теории массового обслуживания. 3) Выполнить кодирование и нарисовать размеченный граф переходов марковского процесса. 4) Сформулировать требования, при которых марковский процесс будет обладать эргодическим свойством. 28. В мужской парикмахерской работает один мастер. Средний ин- тервал между моментами прихода клиентов составляет Х минут. Каждый клиент просит сначала побрить, а затем постричь. Мастер тратит на каждую из этих операций случайное время со средним значением Y минут. В парикмахерской имеется одно кресло для ожидания. Если кресло занято, то очередной пришедший клиент уходит из парикмахерской не обслужен- ным. 1) Сформулировать предположения и допущения, при которых процесс функционирования парикмахерской можно рассматривать как марковский. 2) Нарисовать и подробно описать модель в терминах теории массового обслуживания. 3) Выполнить кодирование марковского процес- са. 4) Нарисовать размеченный граф переходов марковского процесса. 5) Выписать систему уравнений для определения вероятностей состояний. 6) Сформулировать требования, при которых марковский процесс обладает эргодическим свойством. 29. В парикмахерскую, в которой работают мастер и ученик, прихо- дят клиенты в среднем с интервалом t 1 минут. Пришедший клиент направ- ляется к мастеру, если он свободен, и к ученику, в противном случае. Когда мастер и ученик заняты, клиент располагается в зале на имеющемся там единственном стуле для ожидания, если он свободен. Если стул занят, то пришедший клиент покидает парикмахерскую. Мастер работает вдвое быстрей, чем ученик. 1) Сформулировать условия, при которых процесс функционирования парикмахерской можно представить в виде марковско- го процесса. 2) Нарисовать детальную модель системы с подробным ее описанием. 3) Выполнить кодирование состояний и нарисовать размечен- ный граф переходов марковского процесса. 4) Составить систему уравне- ний для стационарных вероятностей. 240 Раздел 6. Имитационное моделирование Раздел 6. ИМИТАЦИОННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ «Если эксперимент удался, что-то здесь не так…» (Первый закон Финэйгла) 6.1. Основы имитационного моделирования 6.1.1. Понятие имитационного моделирования Статистическое моделирование – метод исследования сложных систем, основанный на описании процессов функционирования отдельных элементов в их взаимосвязи с целью получения множества частных резуль- татов, подлежащих обработке методами математической статистики для получения конечных результатов. В основе статистического моделирова- ния лежит метод статистических испытаний – метод Монте-Карло. Имитационная модель – универсальное средство исследования сложных систем, представляющее собой логико-алгоритмическое описа- ние поведения отдельных элементов системы и правил их взаимодействия, отображающих последовательность событий, возникающих в моделируе- мой системе. Если статистическое моделирование выполняется с использованием имитационной модели, то такое моделирование называется имитационным. Понятия «статистическое и имитационное моделирование» часто рассматривают как синонимы. Однако следует иметь в виду, что статистическое моделирование не обязательно является имитационным. Например, вычисление определённого интеграла методом Монте-Карло путем определения подынтегральной площади на основе множества статистических испытаний, относится к статистическому моделированию, но не может называться имитационным. Наиболее широкое применение имитационное моделирование получило при исследовании сложных систем с дискретным характером функционирования, в том числе моделей массового обслуживания. Для описания процессов функционирования таких систем обычно используются временные диаграммы. Временная диаграмма – графическое представление последователь- ности событий, происходящих в системе. Для построения временных диаграмм необходимо достаточно четко представлять взаимосвязь событий внутри системы. Степень детализации при составлении диаграмм зависит от свойств моделируемой системы и от целей моделирования. Поскольку функционирование любой системы достаточно полно отображается в виде временной диаграммы, имитационное моделирование можно рассматривать как процесс реализации диаграммы функциониро- вания исследуемой системы на основе сведений о характере функциони- рования отдельных элементов и их взаимосвязи. Раздел 6. Имитационное моделирование 241 µ П Рис. 6.1. СМО с накопителем неограниченной ёмкости ∞ = r λ Имитационное моделирование обычно проводится на ЭВМ в соответствии с программой, реализующей заданное конкретное логико- алгоритмическое описание. При этом несколько часов, недель или лет работы исследуемой системы могут быть промоделированы на ЭВМ за несколько минут. В большинстве случаев модель является не точным аналогом системы, а скорее её символическим отображением. Однако такая модель позволяет производить измерения, которые невозможно произвести каким-либо другим способом. Имитационное моделирование обеспечивает возможность испыта- ния, оценки и проведения экспериментов с исследуемой системой без каких-либо непосредственных воздействий на нее. Первым шагом при анализе любой конкретной системы является выделение элементов, и формулирование логических правил, управляю- щих взаимодействием этих элементов. Полученное в результате этого описание называется |