Механики
 Скачать 4.29 Mb.
|
|
E 4 =(2 2 , 1) за исключением переходов в состояние E 7 =(0, 3). Интенсивности переходов из E 5 =(1 1 , 2) и E 6 =(1 2 , 2) в E 7 =(0, 3) определяются как произведение интенсивности обслуживания в соответствующей фазе узла 1 на вероятность того, что заявка, завершив- шая обслуживание в узле 1, перейдёт в узел 2: ' 1 12 µ p и " 1 12 µ p Состояние 7 E . Переходы из состояния E 7 =(0, 3) связаны с заверше- нием обслуживания с интенсивностью 2 µ заявки в узле 2, которая перехо- дит в узел 1 и с вероятностью q попадает на обслуживание в фазу Ф 1 или с вероятностью ) 1 ( q − – в фазу Ф 2 . Соответственно интенсивности перехо- дов будут равны 2 µ q и 2 ) 1 ( µ q − 6. Расчет характеристик СеМО . Не составляя матрицу интенсивностей переходов и не выписывая систему линейных алгебраических уравнений для определения стационарных вероятностей состояний, приведём математические зависимости для расчёта характеристик функционирования ЗСеМО: 1) загрузка и коэффициенты простоя узлов: ; ; 7 6 5 4 3 2 6 5 4 3 2 1 1 p p p p p p p p p p p + + + + = + + + + + = ρ ρ ; 1 ; 1 2 2 1 1 ρ η ρ η − = − = 2) среднее число параллельно работающих узлов сети, определяемое как суммарная загрузка всех узлов СеМО: ; 2 1 ρ ρ + = R Раздел 5. Численное моделирование 229 3) среднее число заявок в очередях и в узлах СеМО: ; 2 ; ) ( 2 7 6 5 2 4 3 2 1 1 p p p l p p p p l + + = + + + = ; 3 ) ( 2 ; ) ( 2 ) ( 3 7 6 5 4 3 2 6 5 4 3 2 1 1 p p p p p m p p p p p p m + + + + = + + + + + = 4) суммарное число заявок во всех очередях СеМО: ; 2 1 l l L + = 5) производительность замкнутой СеМО: 2 2 2 1 1 1 0 b b α ρ α ρ λ = = ; где 1 α и 2 α - коэффициенты передачи соответственно узла 1 и узла 2; 6) средние времена ожидания и пребывания заявок в узлах СеМО: ; ; 0 2 2 2 0 1 1 1 λ α λ α l w l w = = ; ; 0 2 2 2 0 1 1 1 λ α λ α l u l u = = 7) суммарное (полное) время ожидания и время пребывания заявок в СеМО: ; 2 2 1 1 w w W α α + = ; 2 2 1 1 u u U α α + = 8) нагрузка в узлах сети: ; ; 2 0 2 2 1 0 1 1 b y b y λ α λ α = = 9) среднее число параллельно работающих приборов во всех узлах сети, определяемое как суммарная нагрузка всех узлов СеМО: 2 1 y y Y + = Суммарное число заявок, циркулирующих в СеМО, рассчитываемое как 2 1 m m М + = , должно совпадать с заданным числом заявок в замкнутой сети: 3 = М Задание на самостоятельную работу: 1. По графу переходов рис .5.23 построить матрицу интенсивностей переходов и составить систему линейных алгебраических уравнений для расчёта стационарных вероятностей состояний . 2. Выполнить детальный анализ свойств исследуемой системы . 230 Раздел 5. Численное моделирование 5.6. Резюме 1. Марковские случайные процессы используются в качестве математических моделей систем со стохастическим характером функционирования. Марковская модель представляется в виде систем дифференциальных и алгебраических уравнений, для решения которых обычно применяются численные методы. Поэтому марковские случайные процессы можно отнести к численным методам моделирования 2. Случайный процесс полностью описывается перечнем состояний , которые задаются значениями некоторых переменных, и переходами между состояниями. 3. Для с лучайного процесса с дискретными состояниями характерен скачкообразный переход из состояния в состояние, которые могут быть пронумерованы. При этом число возможных состояний может быть конечным или бесконечным . Для случайного процесса с непрерывными состояниями характерен плавный переход из состояния в состояние. 4. Случайные процессы с дискретными состояниями делятся на процессы с дискретным временем , когда переходы из состояния в состо- яние возможны в строго определенные заранее фиксированные моменты времени , которые можно пронумеровать, и с непрерывным временем , когда интервал времени между соседними переходами является случайным , и переход возможен в любой заранее не известный момент времени. 5. Случайные процессы с дискретными состояниями изображаются в виде графа переходов ( состояний ). В размеченном графе переходов на дугах графа указываются условия перехода в виде вероятностей переходов или интенсивностей переходов Состояния случайного процесса могут быть невозвратными и поглощающими 6. Случайный процесс называется марковским , если вероятность любого состояния в будущем зависит только от его состояния в настоящем и не зависит от того, когда и каким образом процесс оказался в этом состоянии. Для того чтобы случайный процесс с непрерывным временем был марковским , необходимо, чтобы интервалы времени между соседними переходами из состояния в состояние были распределены по экспоненци - альному закону , который обладаетзамечательным свойством : если время нахождения случайного процесса в некотором состоянии распределено по экспоненциальному закону, то интервал от любого случайного момента времени до момента перехода в другое состояние имеет то же экспонен - циальное распределение с тем же параметром . Эта особенность является следствием отсутствия последействия , присущего процессам с экспонен- циальным распределением времени нахождения в том или ином состоянии. 7. Для описания марковского случайного процесса используется следующая совокупность параметров: • перечень состояний E 1 , ..., E n ; Раздел 5. Численное моделирование 231 • матрица переходов , в виде матрицы вероятностей переходов Q для процессов с дискретным временем или матрицы интенсивностей переходов G для процессов с непрерывным временем ; • начальные вероятности ) 0 ( , ), 0 ( 1 n p p K 8. Для описания переходов между состояниями случайного процесса с дискретным временем используется квадратная матрица вероятностей переходов ], , 1 , | [ n j i q ij = = Q элементы которой удовлетворяют условиям: ) , 1 , ( 1 ; 1 0 1 n j i q q n j ij ij = = ≤ ≤ ∑ = Для описания переходов между состояниями случайного процесса с непрерывным временем используется квадратная матрица интенсивно - стей переходов ] , 1 , | [ n j i g ij = = G , в которой интенсивность перехода ij g определяется как предел отношения вероятности перехода ) ( τ ∆ ij P из состояния E i в состояние E j за промежуток времени τ ∆ к длине этого промежутка: ) ; , 1 , ( ) ( lim 0 j i n j i P g ij ij ≠ = ∆ ∆ = → ∆ τ τ τ , а диагональные элементы определяются из условия: ) , 1 ( 0 1 n i g n j ij = = ∑ = 9. Изучение случайных процессов заключается в определении вероятностей состояний ) ( ),..., ( 1 t p t p n , которые могут быть представлены стохастическим вектором: { } , ) ( ),..., ( ) ( 1 t p t p t P n = причем ∑ = = ≤ ≤ n i i i t p t p 1 1 ) ( ; 1 ) ( 0 Вектор состояний { } ) ( ),..., ( ) ( 1 t p t p t P n = является основной характе- ристикой марковского случайного процесса. 10. Случайный процесс обладает эргодическим свойством , если по истечении достаточно большого промежутка времени вероятности состояний стремятся к предельным (стационарным) значениям n p p , , 1 K , не зависящим от начальных вероятностей ) 0 ( , ), 0 ( 1 n p p K и от самого промежутка времени. В этом случае система, в которой протекает случай- ный процесс, работает в установившемся или стационарном режиме . В противном случае система работает в нестационарном режиме. Случайный процесс с дискретным временем обладает эргодическим свойством , если матрица вероятностей переходов не является периоди - ческой или разложимой . Случайный процесс с непрерывным временем и конечным числом состояний всегда обладает эргодическим свойством. 232 Раздел 5. Численное моделирование 11. Для марковского процесса с дискретным временем, обладающего эргодическим свойством, стационарные вероятности состояний определя- ются из системы линейных алгебраических уравнений: ∑ = = = n i ij i j n j q p p 1 ) , 1 ( , которая совместно с нормировочным условием 1 1 = ∑ = n i i p образует систему, обладающую единственным решением. Аналогично, для марковского процесса с непрерывным временем, обладающего эргодическим свойством, стационарные вероятности состоя- ний определяются из системы линейных алгебраических уравнений: ), , 1 ( 0 1 n j g p n i ij i = = ∑ = которая совместно с нормировочным условием образует систему, обладающую единственным решением. 5.7. Практикум : обсуждение и решение задач Вопрос__2.__Когда_случайный_процесс_с_непрерывным_временем_не_обладает_эргодическим_свойством_Обсуждение_.'>Вопрос 1. Существуют ли реальные системы, в которых протекающие в них случайные процессы являются марковскими? Обсуждение . Марковский процесс является такой же идеализирован- ной моделью реальных систем, как и простейший поток, представляющий собой идеализированную модель случайного потока заявок. Эта идеализа- ция заключается в том, что с вероятностью, отличной от нуля, марковский процесс может находиться в любом из состояний бесконечно долго. Это обусловлено тем, что плотность экспоненциального распределения ограни- чена слева и не ограничена справа. Очевидно, что в реальных системах это невозможно. В то же время, как показывают многочисленные исследова- ния, такая идеализация часто оказывается оправданной, поскольку при определённых условиях позволяет получить для многих реальных систем вполне приемлемые результаты, погрешность которых лежит в допусти- мых для практики пределах в 10-20%. Кроме того, в некоторых случаях предположение о марковском характере протекающих в исследуемой системе процессов позволяет получить верхние оценки характеристик функционирования системы. Вопрос 2. Когда случайный процесс с непрерывным временем не обладает эргодическим свойством? Обсуждение . Случайный процесс с непрерывным временем не обладает эргодическим свойством, если среди его состояний имеются невозвратные или поглощающие состояния. В первом случае это означает, что по истечении некоторого (иногда достаточно большого) времени случайный процесс никогда не сможет попасть в невозвратные состояния, Раздел 5. Численное моделирование 233 а во втором случае – процесс окажется в одном из поглощающих состояний, из которого он никогда не сможет выйти. Вопрос 3. Обладает ли эргодическим свойством случайный процесс с непрерывным временем, имеющий бесконечное число состояний? Обсуждение . Случайный процесс с непрерывным временем и беско- нечным числом состояний может обладать или не обладать эргодическим свойством. Применительно к случайным процессам, протекающим в сис- темах массового обслуживания, наличие эргодического свойства опреде- ляется наличием установившегося режима в моделируемой системе, а точнее отсутствием перегрузок в системе с накопителями неограниченной ёмкости. Если же система перегружена, что со временем приводит к бесконечному увеличению длины очереди заявок в системе, то можно утверждать, что соответствующий случайный процесс не будет обладать эргодическим свойством. Задача 1. Определить, обладает ли эргодическим свойством случайный про- цесс с дискретным временем с заданной матрицей вероятностей переходов Р , сопро- водив ответ необходимыми пояснениями. Решение . Случайный процесс обладает эргодическим свойством, если матрица вероятностей переходов не является разложимой или периодической. Переставляя столбцы и строки матрицы, проверим, является ли заданная матрица Р разложимой или периодической. Рассмотрим два варианта перестановок столбцов и строк: Полученные матрицы 1 P и 2 P с нулевыми подматрицами в верхнем левом углу в 1 P и в нижнем правом углу в 2 P не являются разложимыми или периодическими, следовательно, случайный процесс обладает эргодическим свойством Задача 2. Известны вероятности состояний трехузловой замкнутой экспоненциальной СеМО: Р (0,0,2)=0,3; P(0,1,1)=0,4; P(0,2,0)=0,1; P(1,0,1)=0,05; P(1,1,0)=0,05; P(2,0,0)=0,1. Длительности обслуживания заявок во всех одноканальных узлах одинаковы. Определить значения коэффициентов передач второго и третьего узлов сети, если известно, что 4 0 0 4 0 2 0 5 0 0 5 0 0 4 0 3 0 2 0 1 0 8 0 0 2 0 0 4 3 2 1 4 3 2 1 E E E E E E E E P = 4 0 4 0 0 2 0 4 0 2 0 3 0 1 0 5 0 5 0 0 0 8 0 2 0 0 0 4 2 3 1 4 2 3 1 1 E E E E E E E E P = 0 0 5 0 5 0 0 0 8 0 2 0 0 2 0 4 0 4 0 3 0 1 0 4 0 3 0 3 1 4 2 3 1 4 2 2 E E E E E E E E P = |