УПП_Дискретная математика-1. Международный консорциум Электронный университет Московский государственный университет экономики, статистики и информатики

• Название: Международный консорциум Электронный университет Московский государственный университет экономики, статистики и информатики
• Дата: 09.02.2023
• Размер: 6.65 Mb.
• Имя файла: УПП_Дискретная математика-1.doc
• Тип: Учебно-практическое пособие; #929287
• страница: 6 из 19

2.2. Проблемы разрешимости.
Нормальные формы

Логические отношения
Рассмотрим взаимоотношения двух высказываний P и Q:

1. Отношение следствия. Говорят, что из P следует Q, а если Q истинно всякий раз, когда истинно P; Q называют следствием P.

Пусть P и Q – сложные высказывания, составленные из элементарных высказываний A, B следующим образом Q=AB, P=AB.
Таблица 2.2.1

А	В	АВ=Q	AB=P
1	1	1	1
1	0	0	0
0	1	1	0
0	0	1	1

В этом примере из Q не следует P, так как в третьей строке таблицы 2.2.1 Q принимает значение 1, в то время как P=0. Но из P следует Q, так как Q принимает значение 1 в первой и четвертой строках таблицы, т. е. тогда, когда истинно P.

Между отношением следствия и импликацией существует тесная связь. Но следует помнить, что это не одно и то же. Импликация – сложное высказывание, составленное из двух данных, а следствие – отношение между двумя высказываниями.
Таблица 2.2.2

P	Q	PQ
1	1	1
1	0	0
0	1	1
0	0	1

Когда импликация выражает отношение следствия? Q есть следствие P лишь при условии, что логическая возможность, соответствующая второй строке истинностной таблице 2.2.2 импликации, не должна иметь место. А в этом случае истинностная таблица импликации содержит одни единицы. Заметим, что высказывания, связанные импликацией, при отсутствии смысловой связи могут звучать парадоксально. В самом деле, высказывание «Если я не приду на лекцию, то река впадает в Белое море» звучит парадоксально. Между посылкой и заключением в этих случаях не существует отношения следствия.
Упражнение 2.2.1
Между какими парами высказываний, приведенных ниже, существует отношение следствия?

S₁: Если прямая перпендикулярна радиусу окружности и проходит через точку пересечения радиуса с окружностью, то она – касательная к окружности.

S₂: Прямая есть касательная к окружности тогда и только тогда, когда она перпендикулярна к радиусу окружности и проходит через точку пересечения радиуса с окружностью.

S₃: Если прямая перпендикулярна к радиусу окружности, но не проходит через точку пересечения радиуса с окружностью, то она не является касательной к окружности.

S₄: Если прямая проходит через точку пересечения радиуса с окружностью, но не является касательной, то прямая не перпендикулярна к радиусу окружности.

Введем элементарные высказывания:

A: Прямая перпендикулярна к радиусу окружности.

B: Прямая проходит через точку пересечения радиуса с окружностью.

C: Прямая – касательная к окружности.

Запишем формулы приведенных высказываний.

S1=ABC S2=CAB

S3=A  S4=B 

Построим истинностные таблицы этих высказываний, получим:
Таблица 2.2.3

А	В	С	S1	S2	S3	S4	S2S1
1	1	1	1	1	1	1	1
1	1	0	0	0	1	0	1
1	0	1	1	0	0	1	1
1	0	0	1	1	1	1	1
0	1	1	1	0	1	1	1
0	1	0	1	1	1	1	1
0	0	1	1	0	1	1	1
0	0	0	1	1	1	1	1

Из высказывания S₂ следует S₁ и S₄, т. к. при истинностных значениях «1» в первой, четвертой, шестой и восьмой строках высказывания S₂ те же значения «1» имеем в указанных строках высказываний S₁ и S₄ и импликации S₂S₁, S₂S₄ становятся тождественно истинными высказываниями S₂S₁1, S₂S₄1.

Особое место занимает пара высказываний S₁ и S₄. Каждая из них следует из другого: из S₁ следует S₄ и из S_4, следует S₁. В этом случае говорят, что высказывания S₁ и S₄ эквивалентны.
2. Отношение эквивалентности.
Если истинностная таблица двойной импликации РQ (табл. 2.2.4.) содержит только «1», т. е. исключаются логические возможности, соответствующие второй и третьей строкам, значения истинности P и Q одинаковы. В этом случае говорят, что P и Q эквивалентны.

Таблица 2.2.4

P	Q	PQ
1	1	1
1	0	0
0	1	0
0	0	1

Таким образом, эквивалентные высказывания задаются равносильными формулами. В упражнение 2.2.1 высказывания S₁ и S₄ эквивалентны.
3. Несовместимость.
Два высказывания называются несовместимыми, если не существует логической возможности, при которой оба высказывания были бы одновременно истинными, т.е. при истинном значении одного из них другое обязательно ложно.

Это понятие распространяется на любое число высказываний.

Чтобы установить совместимость высказываний, нужно построить их истинностные таблицы. Если найдется хотя бы одна строка, в которой все высказывания принимают значения «истинно», данные высказывания будут совместимы, в противном случае – нет.

Все высказывания упражнения 2.2.1 совместимы. Примером несовместимых высказываний является пара: некоторое высказывание P и его отрицание.
Проверка правильности рассуждений
Рассуждение есть утверждение того, что некоторое высказывание (заключение) следует из других высказываний (посылок). Рассуждение считается правильным только в том случае, если из конъюнкции посылок следует заключение, т. е. между конъюнкцией посылок и заключением установлено отношение следствия. Если P₁, P₂, ... , P_n – посылки, а Q – заключение, то рассуждение правильно, если между высказыванием P₁  P₂  ...  P_n и Q установлено отношение следствия. В этом случае импликация P₁  P₂  ...  P_nQ должна быть тождественно истинным высказыванием (тавтологией).

Правильность рассуждения можно установить, построив истинностную таблицу высказывания S= P₁P₂...P_nQ и убедившись в том, что оно тождественно истинно.

При большом числе посылок установить тот факт, что является тавтологией, удобнее с помощью преобразований высказывания к равносильной ему формуле, являющейся тавтологией.

Метод «от противного» заключается в предположении, что заключение ложно, и установление того факта, что при этом конъюнкция P₁  P₂  ...  P_n – ложна (что имеет место в том случае, если хотя бы одна из посылок P_i ( ) принимает значение «ложно»). Если это выполняется, то рассуждение верно, в противном случае – нет. Таким образом, в случае правильного рассуждения мы убеждаемся в том, что импликация S= P₁  P₂  ...  P_nQ1, т. к. отсутствует логическая возможность, соответствующая P= P₁  P₂  ...  P_n=1, Q=0, где импликация PQ принимает значение ложно.
Упражнение 2.2.2
«Если функция непрерывна на данном интервале и имеет разные знаки на его концах, то внутри интервала функция обращается в нуль. Функция не обращается в нуль внутри данного интервала, но на концах интервала имеет разные знаки. Следовательно, функция разрывна».

Посылки и заключения в данном рассуждении состоят их следующих элементарных высказываний:

A – «функция непрерывна на данном интервале»,

B – «функция имеет разные знаки на концах интервала»

C – «функция обращается в нуль внутри данного интервала».
Используя эти обозначения, запишем посылки и заключение в виде формул:
ABC (1-я посылка P₁)

B (2-я посылка P₂)

(заключение Q)
Если импликация (ABC)( B) =PQ тождественно истинна, то рассуждение верно. Для проверки правильности рассуждения строим истинностную таблицу:

Таблица 2.2.5

А	В	С	АВ	АВС		B	P1P2		P1P2Q
1	1	1	1	1	0	0	0	0	1
1	1	0	1	0	1	1	0	0	1
1	0	1	0	1	0	0	0	0	1
1	0	0	0	1	1	0	0	0	1
0	1	1	0	1	0	0	0	1	1
0	1	0	0	1	1	1	1	1	1
0	1	1	0	1	0	0	0	1	1
0	0	0	0	1	1	0	0	1	1

Убеждаемся, что рассуждение верно. Проведем проверку правильности этого рассуждения методом от противного. Предположим, что заключение Q ложно. Покажем, что в этом случае конъюнкция посылок P₁P₂ ложна, т. е. P →Q тождественно истинна.

В самом деле, если Q= ложно, то A истинно. Пусть P₂= B истина, тогда B – истинно, – истинно т. е. C – ложно, но в этом случае посылка принимает значение ложно, так как P₁=АВС принимает значение ложно, так как AB=1, а С=0, что и требовалось проверить.

Правильность данного рассуждения можно проверить, преобразовав формулу P₁P₂ к некоторой равносильной ей формуле, которая задает заведомо тождественно истинное высказывание.

Это сделаем после ознакомления с так называемыми совершенными нормальными формами формул алгебры высказываний.