МЕТОДЫ ПЛАНИРОВАНИЯ. Металлургия Екатеринбург 2015
 Скачать 7.01 Mb.
|
|
F.ОБР.ПХ для числа степеней свободы m 1 = n 1 -1 и m 2 = n 2 - 1 и уровня значимости при альтернативной гипотезе Н σ 1 2 σ 2 2 уровень значимсти равен /2 и критическая область определяется соотношением 2 1 , ), 2 / ( m m F F ; при альтернативной гипотезе Н σ 1 2 > σ 2 2 уровень значимости равен и критическая область определяется соотношением 2 1 , , m m F F 6. Нулевую гипотезу принимают, те. полагают, что σ 1 2 = σ 2 2 = σ 2 при выполнении одного из неравенств (для различных альтернативных гипотез 2 1 , ), 2 / ( m m F F приН 1 (1) σ 1 2 σ 2 2 ; 2 при Н σ 1 2 > σ 2 2 Глава 3. ПРЕДВАРИТЕЛЬНАЯ ОБРАБОТКА ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫХ ДАННЫХ 93 В случае подтверждения нулевой гипотезы, по двум выборочным дисперсиям производят оценку общей генеральной дисперсии 2 2 ) 1 ( ) 1 ( 2 1 2 2 2 2 1 1 2 n n S n S n S , (3.46) которая может быть использована для дальнейшего анализа опытных данных. Проиллюстрируем применение критерия Фишера наследующем примере. Пример. Проводятся измерения одной и той же физической величины (температуры, давления, состава газа и т.п.). Первым старым) измерительным прибором выполнено 200 измерений, которые дали выборочную дисперсию S 1 2 = 3,82, а вторым (новым) сделано только 15 измерений при выборочной дисперсии S 2 2 = 2,00. Можно ли считать, что разброс в показаниях нового прибора существенно ниже, чему старого 1. Сформулируем нулевую гипотезу о равенстве дисперсий Н σ 1 2 =σ 2 2 = σ 2 2. Выберем альтернативную ей гипотезу Н σ 1 2 > σ 2 2 3. Воспользуемся критерием Фишера и рассчитаем статистику этого критерия F = 3,82/2,00 = 1,91. 4. Для уровня значимости = 0,05 строим критическую область при m 1 = 200 – 1 = 199 и m 2 = 15-1 = 14; F 0,05;199;14 = 2,16 (см или F.ОБР.ПХ(0,05;199;14) = 2,159361). 5. Подсчитанное значение статистики (F = 1,91) не попадает в критическую область (1,91 < 2,16), следовательно, нулевая гипотеза Н σ 1 2 = σ 2 2 = σ 2 принимается, те. по имеющимся экспериментальным данным нет достаточных оснований считать, что результаты измерений нового прибора точнее, чем старого. Как изменится наш вывод, если мы увеличим число измерений новым прибором допри условии, что выборочная дисперсия его показаний при этом не изменится Табличное значение критерия Фишера при этом равно Глава 3. ПРЕДВАРИТЕЛЬНАЯ ОБРАБОТКА ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫХ ДАННЫХ = 1,49, и значение статистики попадет в критическую область 1,91 > 1,49, следовательно, в качестве рабочей может быть принята альтернативная гипотеза Н σ 1 2 > σ 2 2 , те. результаты измерений новым прибором точнее, чем старым. 3.5.2. Проверка однородности нескольких дисперсий Критерий Фишера используется для сравнения только двух дисперсий, однако на практике приходится сравнивать между собой три и более дисперсий. При сопоставлении дисперсий ряда совокупностей нулевая гипотеза заключается в том, что все k совокупностей, из которых взяты выборки, имеют равные дисперсии. 1. Н σ 1 2 = σ 2 2 = σ 3 2 = … = σ k 2 =σ 2 , те. проверке подлежит предположение, что все эмпирические дисперсии S 1 2 , S 2 2 , ..., S k 2 относятся к выборкам из совокупности с одной и той же генеральной дисперсией 2 Пусть среди нескольких серий измерений обнаружена такая, выборочная дисперсия которой S 2 max заметно больше всех остальных. Задача заключается в том, чтобы выяснить, можно ли считать отличие выделенной дисперсии S 2 max существенным. Другими словами, альтернативная гипотеза может быть выбрана как 2. Н σ 2 max > σ 2 3. При равном объеме n 1 = n 2 = n 3 = … = n k = n всех выборок может быть использован так называемый критерий Кохрена (в ряде книг пишется — Кочрена). 4. Статистика критерия Кохрена G рассчитывается как отношение S 2 max к сумме всех выборочных дисперсий 1 2 max 2 k i i S S G (3.47) 5. В дальнейшем для выбранного уровня значимости определяется табличное значение этого критерия, которое зависит от числа степеней свободы m = n – 1 и числа сравниваемых дисперсий k – G ;m;k см. [11] или табл. П. Глава 3. ПРЕДВАРИТЕЛЬНАЯ ОБРАБОТКА ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫХ ДАННЫХ 6. Критическая область строится как G G ;m;k . 7. При G < G ;m;k гипотеза Н σ 1 2 = σ 2 2 = σ 3 2 = … = σ k 2 =σ 2 принимается в качестве рабочей, те. отличие выделенной дисперсии S 2 max считается несущественным. В случае подтверждения однородности дисперсий можно сделать оценку обобщенной дисперсии σ 2 : k S S k i i 1 2 2 (3.48) Пример. Шестью (k = 6) приборами произведено по семь измерений (n = 7) одного итого же параметра, при этом получены следующие выборочные дисперсии S i 2 : 3,82; 1,7; 1,3; 0,92; 0,78; 0,81. Можно ли считать, что разброс показаний первого прибора (S 2 max =3,82) существенно превышает разбросы показаний остальных пяти приборов 1. Нулевая гипотеза Н σ 1 2 = σ 2 2 = σ 3 2 = σ 4 2 = σ 5 2 = σ 6 2 = σ 2 2. Альтернативная гипотеза Н σ 2 max > σ 2 3. Поскольку (n 1 = n 2 = n 3 = n 4 = n 5 = n 6 = 7) все шесть выборок имеют одинаковый объем, то может быть использован критерий Кох- рена. 4. Значение статистики данного критерия в соответствии с уравнением) составит 409 , 0 33 , 9 82 , 3 81 , 0 78 , 0 92 , 0 3 , 1 7 , 1 82 , 3 82 , 3 G 5. Табличное значение этого критерия для уровня значимости = 0,05, при числе степеней свободы для каждой из дисперсий m = 7–1 = 6 и числе сравниваемых дисперсий k = 6, равно G 0,05;6;6 =0,418 (табл.П.9). 6. Так как G < G ;m;n , отклонение дисперсии S 2 max = 3,82 от остальных нельзя (с вероятностью 0,95) признать существенными, следовательно, все дисперсии однородны (те. разбросы в показаниях всех шести приборов примерно одинаковы. Глава 3. ПРЕДВАРИТЕЛЬНАЯ ОБРАБОТКА ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫХ ДАННЫХ 96 Оценка обобщенной дисперсии 56 , 1 6 33 , 9 1 2 Критерий Кохрена можно использовать только в тех случаях, когда все сравниваемые дисперсии имеют одинаковое число степеней свободы m = n –1 (одинаковые объемы выборок n 1 = n 2 = n 3 = … = n k = = n). Если же число измерений n в различных сериях неодинаково, то для проверки однородности дисперсий можно выбрать, например, критерий Бартлета. При необходимости с процедурой его использования можно познакомиться в литературе по теории вероятности и математической статистике (см. например, [9,10]). 3.5.3. Проверка гипотез о числовых значениях математических ожиданий Часто для решения вопроса о соответствии произведенной продукции определенным требованиям (например, требованиям ГОСТ или ТУ) при выявлении преимущества того или иного технологического процесса или нового материала и т.д. возникает необходимость по выборочным средним значениям исследуемых случайных величин делать вывод о соответствующих им генеральных значениях математических ожиданий. При этом может возникнуть задача сравнения неизвестного математического ожидания M 1 , для которого получена оценка через выборочное среднее 1 x , с конкретным числовым значением M (например, с известным математическим ожиданием) или задача сравнения двух математических ожиданий M 1 и M 2 , оцененным по двум выборочным средними В первом случаев качестве нулевой гипотезы выдвигается предположение о том, что оцененное математическое ожидание равно известному математическому ожиданию M. 1. Н M 1 = M . Глава 3. ПРЕДВАРИТЕЛЬНАЯ ОБРАБОТКА ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫХ ДАННЫХ 2. Альтернативная гипотеза может быть в трех вариантах Н M 1 > M; Н M 1 < M; Н M 1 M. 3. Если генеральная дисперсия σ 2 неизвестна и для нее, по той же самой выборке, что и для 1 x , сделана оценка S 2 , то используется критерий (распределения Стьюдента). 4. статистика имеет вид n S M x t (3.49) 5. Как и при построении доверительного интервала, для математического ожидания (см. раздел 3.2.1) выбирается уровень значимости. Для числа степеней свободы m = n –1 (с которым сделана оценка дисперсии) устанавливаются границы критической области по табличным значениям квантилей распределения (см, например, [11] или табл. Пили их можно определить, воспользовавшись статистической функцией СТЬЮДЕНТ.ОБР.2Х из электронных таблиц Microsoft Excel. 7. Нулевую гипотезу принимают, те. полагают, что M 1 = M при выполнении неравенств для альтернативных гипотез Ни Н M 1 < M m t t , 2 ; для альтернативной гипотезы Н M 1 M Появление в последних неравенствах величин α и 2α при определении табличных значений критерия Стьюдента связано стем, что обычно эти таблицы (см. табл. П) приводятся для двустороннего распределения Стьюдента, те. под понимается величина, которая прибудет стремиться к квантили нормированного нормального закона распределения порядка 1– α/2 2 / 1 , p m Z t Глава 3. ПРЕДВАРИТЕЛЬНАЯ ОБРАБОТКА ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫХ ДАННЫХ 98 Поэтому, работая с таблицами критерия Стьюдента, неплохо делать проверку, показывающую для какого распределения (одностороннего или двустороннего) они составлены. Так, по табл. П 960 , 1 965 , 1 975 , 0 2 / 05 , 0 1 500 ; 05 , 0 p Z t , следовательно, это двусторонние пределы распределения Стьюдента. Аналогичная ситуация связана и с функцией СТЬЮДЕНТ.ОБР.2Х(вероятность;степени_свободы), где вероятность — это вероятность, соответствующая двустороннему распределению Стьюдента. Пример. При проверке Рh-метра с помощью эталонного раствора, имеющего Р, получены следующие результаты 8,7; 9,2; 9,1; 9,0; 9,4; 9,6; 9,7; 8,9; 8,8; 8,7; 9,8; 9,3; 9,8; 8,8, те. n = 14. Обладает ли Рh-метр систематической погрешностью Для решения этой задачи предварительно рассчитаем выборочное среднее x и выборочное среднеквадратическое отклонение S в предположении, что показания Рh-метра не противоречат нормальному закону распределения и среди них нет грубых погрешностей см. формулы (3.5), (3.8) и (3.10)): ; 2 , 9 ) 8 , 8 1 , 9 2 , 9 7 , 8 ( 14 1 14 1 1 14 1 1 i i n i i x x n x 2 14 1 14 1 2 2 1 1 2 1 2 2 14 1 1 14 1 1 1 1 1 i i i i n i i n i i n i i x x x x n x n n x x S ; 1646 , 0 8 , 8 1 , 9 2 , 9 7 , 8 14 1 ) 8 , 8 1 , 9 2 , 9 7 , 8 ( 1 14 1 2 2 2 2 2 4057 , 0 1646 , 0 В электронных таблицах Microsoft Excel для подобных расчетов Глава 3. ПРЕДВАРИТЕЛЬНАЯ ОБРАБОТКА ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫХ ДАННЫХ 99 можно было бы воспользоваться следующими тремя статистическими функциями СРЗНАЧ(8,7; 9,2; 9,1; 9; 9,4; 9,6; 9,7; 8,9; 8,8; 8,7; 9,8; 9,3; 9,8; 8,8) = = 9,2; ДИСП.В(8,7; 9,2; 9,1; 9; 9,4; 9,6; 9,7; 8,9; 8,8; 8,7; 9,8; 9,3; 9,8; 8,8) = = 0,164615; СТАНДОТКЛОН.В(8,7; 9,2; 9,1; 9; 9,4; 9,6; 9,7; 8,9; 8,8; 8,7; 9,8; 9,3; 9,8; 8,8) = 0,4057. Далее, в соответствии с описанным выше алгоритмом 1. Выдвигается нулевая гипотеза о том, что математическое ожидание показаний Рh-метра равно Р эталонного раствора (не имеют систематической погрешности) Н M 1 = 9 . 2. Альтернативная гипотеза выбирается в виде Н M 1 9, поскольку показания Рh-метра не должны как завышать, таки занижать истинное значение Р раствора. Так как значение генеральной дисперсии σ 2 показаний Рh-метра неизвестно, а имеется только ее оценка S 2 = 0,1646, то используется критерий (распределения Стьюдента). 4. статистика имеет вид (см. (3.49)) 84 , 1 14 4057 , 0 9 2 , 9 n S M x t 5. Выбирается (обычный для большинства технических приложений) уровень значимости = 0,05. 6. При этом уровне значимости, числе степеней свободы m = n –1 = = 13 и для альтернативной гипотезы Н M 1 9 устанавливаются границы критической области по табличным значениям квантилей распределения Стьюдента t 0,05;13 = 2,16 или их можно определить, воспользовавшись функцией СТЬЮ- ДЕНТ.ОБР.2Х(0,05;13) = 2,160368 из электронных таблиц Microsoft Excel. 7. Поскольку рассчитанное значение статистики t = 1,84 не попадает в критическую область (1,84 < 2,16), то нулевая гипотеза принимается в качестве рабочей, те. можно считать, что M 1 = 9 (вероятность того, что показания Рh-метра имеют систематическую погрешность меньше чем 0,05). Глава 3. ПРЕДВАРИТЕЛЬНАЯ ОБРАБОТКА ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫХ ДАННЫХ 100 В задаче сравнения двух неизвестных математических ожиданий M 1 и M 2 прежде всего рассмотрим ситуацию, когда исследуемые выборки, по которым делаются оценки для M 1 и M 2 , независимы между собой. Если для двух нормально распределенных генеральных сово- купностей с неизвестными параметрами M 1 , 1 2 и M 2 , 2 2 получены независимые выборки объемом соответственно n 1 и n 2 , то для сравнения выборочных средних 1 x и 2 x выдвигается нулевая гипотеза о равенстве математических ожиданий 1. Н M 1 = M 2 . 2. При этом можно сформулировать три альтернативных гипотезы Н M 1 > M 2 ; Н M 1 < M 2 ; Н M 1 M 2 3. Как ив рассмотренной выше ситуации сравнения с известным математическим ожиданием, используется критерий. 4. Вид статистики зависит оттого, равны 1 2 = 2 2 = 2 либо неравны между собой генеральные дисперсии (для ответа на этот вопрос можно воспользоваться, например, рассмотренным выше критерием Фишера). В первом случае, когда дисперсии не имеют значимого отличия, статистика принимает вид 2 1 2 1 1 1 n n S x x t (3.50) двухвыборочный критерий с равными дисперсиями, где S — обобщенное среднее квадратичное отклонение (см. (3.46)): 2 ) 1 ( ) 1 ( 2 1 2 2 2 2 1 Во втором случае, когда дисперсии значимо отличаются друг от друга, 1 2 2 2 , статистика имеет вид Глава 3. ПРЕДВАРИТЕЛЬНАЯ ОБРАБОТКА ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫХ ДАННЫХ 2 2 2 1 2 1 2 1 n S n S x x t (3.51) двухвыборочный критерий с неравными дисперсиями. 5. В зависимости от условия решаемой задачи выбирается необходимый уровень значимости 6. Границы критической области устанавливаются по табличным значениям квантилей распределения (см, например, [11] или табл. П) либо их можно определить, воспользовавшись статистической функцией СТЬЮДЕНТ.ОБР.2Х из электронных таблиц. При этом число степеней свободы m рассчитывается для 1 2 = 2 2 = 2 как m = n 1 + n 2 – 2; для 1 2 2 2 1 1 1 1 2 2 1 2 n c n c m , где 2 2 2 1 2 1 1 2 1 n s n s n s c 7. Нулевую гипотезу принимают, те. полагают, что M 1 = при выполнении неравенств для альтернативных гипотез Н M 1 > M 2 ; Н M 1 < M 2 m t t , 2 ; для альтернативной гипотезы Н M 1 Пример. Проведены испытания механической прочности проб окатышей при использовании старой и двух новых технологий их обжига. Холодная прочность окатышей обычно оценивается при испытании на раздавливание (кН/окатыш). Обычно прочность определяют по результатам раздавливания не менее 20 окатышей размером мм. Для иллюстрации процедуры проверки гипотез о числовых значениях математических ожиданий будем предполагать, что имелась Глава 3. ПРЕДВАРИТЕЛЬНАЯ ОБРАБОТКА ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫХ ДАННЫХ 102 возможность исследовать всего по 8 окатышей для каждой из технологий. Результаты испытаний представлены в табл. 3.4. Таблица Результаты испытаний прочности окатышей, изготовленных по разным технологиям, кН/окатыш Номер окатыша Старая технология Новая технология, вариант 1 Новая технология, вариант 2 x 2i x Δi = x 1i – x 2i 1 2,11 2,21 2,21 0 2 2,12 2,26 2,22 0,04 3 1,97 2,19 2,08 0,11 4 2,10 2,21 2,19 0,02 5 2,17 2,27 2,24 0,03 6 2,12 2,24 2,21 0,03 7 1,93 2,14 2,06 0,08 8 2,28 2,32 2,31 0,01 x 2,10 2,23 2,19 0,04 S 2 0,0120 0,003029 0,0068 0,001371 Можно ли по полученным данным сделать вывод, что новая технология по варианту 1 позволяет повысить прочность окатышей 1. Сформулируем нулевую гипотезу Н M 1 = M 0 . 2. Поскольку предполагается, что новая технология по варианту 1 позволит повысить прочность окатышей, то альтернативная гипотеза выбирается в виде Н M 1 > M 0 3. Будем считать, что выборки взяты из генеральных совокупностей с нормальным законом распределения. Для того чтобы определить вариант статистики для критерия, сравним между собой соответствующие дисперсии. Для этого в качестве нулевой гипотезы примем Н 1 2 = 0 2 = 2 . В предположении, что новая технология позволяет также снизить и разброс в значениях прочности (те. иметь и более стабильный технологический процесс, в качестве альтернативной гипотезы примем Н 1 2 < 0 Статистика критерия (критерия Фишера) при этом равна F = 0,0120/0,003029 = 3,96, и для построения критической области при = 0,05 находим F 0,05;8-1;8-1 = 3,79 (по таблицам либо в Microsoft Excel через |