Лабораторная 1 АНАЛИЗ НЕОПРЕДЕЛЁННОСТИ (ПОГРЕШНОСТИ) ИЗМЕРЕНИЙ В. Методические рекомендации для лабораторных работ по дисциплинам Измерительные информационные системы
 Скачать 1.05 Mb.
|
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ «Тюменский индустриальный университет» Институт геологии и нефтегазодобычи Кафедра кибернетических систем АНАЛИЗ НЕОПРЕДЕЛЁННОСТИ (ПОГРЕШНОСТИ) ИЗМЕРЕНИЙ В ИИС методические рекомендации для лабораторных работ по дисциплинам «Измерительные информационные системы» и «Обеспечение систем измерений» для обучающихся направления 15.03.04-Автоматизация технологических процессов и производств всех форм обучения Составитель Лапик Наталья Владиславовна, старший преподаватель Тюмень ТИУ 2016 2 Лапик Н.В. Анализ неопределённости (погрешности) измерений. Методические рекомендации для лабораторных работ [Текст]. Тюменский индустриальный университет – 1-е изд.– Тюмень: Издательский центр БИК ТИУ 2016. 24 с. Ответственный редактор: доцент, к.т.н. В.В. Козлов Методические рекомендации рассмотрены и рекомендованы к изданию на заседании кафедры Кибернетических систем «18 » октября 2016 года, протокол № 3. Аннотация Методические рекомендации к лабораторной работе по дисциплинам «Измерительные информационные системы» и «Обеспечение систем измерений» предназначены для обучающихся по направлению 15.03.04- Автоматизация технологических процессов и производств всех форм обучения. Данная дисциплина изучается в одном семестре. Приведены основные теоретические сведения о вычислениях неопределенности, направленные на приобретение навыков расчета на практике. Предложены варианты индивидуальных заданий для выполнения работы. 3 Содержание Введение 4 Назначение методических указаний 4 Требования к знаниям и умениям обучающихся 4 1 Основные положения 5 1.1 Точность методов и результатов измерений 5 1.2 Погрешность и неопределенность результата измерений 8 1.3.Рекомендации по применению Руководства в метрологии 10 1.4 Процедура вычисления неопределенности 11 1.5 Сравнительный анализ двух подходов к выражению точности измерений 12 2 Пример выполнения работы 16 3 Задание для выполнения работы 20 4 Отчетность и требования по оформлению работы 21 5 Контрольные вопросы 21 6 Критерии оценки работы обучающихся 22 Список использованных источников 22 4 Введение Изучение курса «Измерительные информационные системы» позволит обучающемуся получить навыки в области проектирования автоматизированных систем, определения метрологических характеристик средств измерений, использования основных методов построения математических моделей процессов измерений, элементов и систем управления. Результаты изучения курса используются в дальнейшем при изучении дисциплин «Автоматизация технологических процессов и производств», «Технические измерения и приборы», «Микропроцессорная техника». Назначение методических указаний Лабораторная работа посвящена освоению методики вычисления неопределенности и приобретению навыков его применения на практике. Требования к знаниям и умениям обучающихся В результате выполнения лабораторной работы обучающиеся должны: знать: методы определения метрологических характеристик средств измерений, метрологическое обеспечение информационно- измерительных систем; уметь: применять компьютерные технологии для планирования и проведения работ по метрологии, стандартизации и сертификации; владеть: навыками использования основных приемов обработки информации; навыками применения современного математического инструментария для решения профессиональных задач; навыками обработки экспериментальных данных и оценки точности (неопределенности) измерений, испытаний и достоверности контроля. Цель работы: Основной целью работы является освоение процедуры вычисления неопределенности и приобретение навыков его применения на практике; изучение принципов совместного использования понятий «погрешность измерения» и «неопределенность измерения. 5 1 Основные положения 1.1 Точность методов и результатов измерений Терминология и требования к точности методов и результатов измерений регламентированы в комплексе из шести государственных стандартов РФ - ГОСТ Р ИСО 5725 под общим заголовком «Точность (правильность и прецизионность) методов и результатов измерений», введенных в действие в 2002 г. Стандарты ГОСТ Р ИСО являются переводом с английского языка международных стандартов ИСО 5725:1994. Рассматривая далее положения стандарта, будем использовать условный общий термин - Стандарт 5725. Слово «метод» в Стандарте 5725 охватывает и собственно метод измерений и методику их выполнения и должно трактоваться в том или ином смысле (или в обоих смыслах) в зависимости от контекста [5]. Появление Стандарта 5725 вызвано возрастанием роли рыночных стимулов к качественному выполнению измерений и является ответом на такие острые вопросы, как: что такое качество измерений и как его измерять; можно ли определить, насколько при измерении той или иной величины один метод (методика) совершеннее другого или одна испытательная организация лучше другой; в какой степени следует доверять измеренным и зафиксированным значениями и т.п. [5]. В отечественной метрологии погрешность результатов измерений, как правило, определяется сравнением результата измерений с истинным или действительным значением измеряемой величины. Истинное значение -значение,которое идеальным образом характеризует в качественном и количественном отношении соответствующую величину. Действительное значение -значение величины,полученное экспериментальным путем и настолько близкое к истинному значению, что в поставленной измерительной задаче может быть использовано вместо него. В условиях отсутствия необходимых эталонов, обеспечивающих воспроизведение, хранение и передачу соответствующих значений величин, необходимых для определения погрешности (точности) результатов измерений. В отечественной и международной практике за действительное значение зачастую принимают математическое ожидание заданной совокупности результатов измерений, выражаемое в отдельных случаях в условных единицах. Эта ситуация и отражена в термине «принятое опорное значение» и рекомендуется для использования в отечественной практике. Понятие принятого опорного значения является более универсальным, чем понятие «действительное значение». Оно определяется 6 не только как условно истинное значение измеряемой величины через теоретические константы и (или) эталоны, но и (в их отсутствии) как ее среднее значение по большому числу предварительно выполненных измерений в представительном множестве лабораторий. Таким образом, принятым опорным значением может быть, как эталонное, так и среднее значение измеряемой характеристики [5]. Точность —степень близости результата измерений к принятому опорному значению. В рамках обеспечения единства измерений вводится термин «правильность» - степень близости к принятому опорному значению среднего значения серии результатов измерений. Показателем правильности обычно является значение систематической погрешности. Прежде термин «точность» распространялся лишь на одну составляющую, именуемую теперь правильностью. Однако стало очевидным, что он выражает суммарное отклонение результата от эталонного (опорного) значения, вызванное как случайными, так и систематическими причинами. Прецизионность —степень близости друг к другу независимых результатов измерений, полученных в конкретных регламентированных условиях. Независимые результаты измерений (или испытаний) — результаты, полученные способом, на который не оказывает влияние никакой предшествующий результат, полученный при испытаниях того же самого или подобного объекта. Необходимость рассмотрения «прецизионности» возникает из-за того, что измерения, выполняемые на предположительно идентичных материалах при предположительно идентичных обстоятельствах, не дают, как правило, идентичных результатов. Это объясняется неизбежными случайными погрешностями, присущими каждой измерительной процедуре, а факторы, оказывающие влияние на результат измерения, не поддаются полному контролю. Прецизионность зависит только от случайных погрешностей и не имеет отношения к истинному или установленному значению измеряемой величины. Меру прецизионности обычно выражают в терминах неточности и вычисляют как стандартное отклонение результатов измерений. Меньшая прецизионность соответствует большему стандартному отклонению. Количественные значения мер прецизионности существенно зависят от регламентированных условий. Крайними случаями таких условий являются условия повторяемости и условия воспроизводимости. Повторяемость —прецизионность в условиях повторяемости.В отечественных НД (нормативных документах) наряду с термином «повторяемость» используют термин «сходимость». Условия повторяемости (сходимости) —условия,при которых независимые результаты измерений (или испытаний) получаются одним и 7 тем же методом на идентичных объектах испытаний, в одной и той же лаборатории, одним и тем же оператором, с использованием одного и того же оборудования, в пределах короткого промежутка времени. В качестве мер повторяемости (а также воспроизводимости) в Стандарте 5725 используются стандартные отклонения. Стандартное (среднеквадратическое) отклонение повторяемости (сходимости) - это стандартное (среднеквадратическое) отклонение результатов измерений (или испытаний), полученных в условиях повторяемости (сходимости). Эта норма является мерой рассеяния результатов измерений в условиях повторяемости. В Стандарте 5725 для крайних условий измерений введены показатели свойств повторяемости и воспроизводимости пределов. Предел повторяемости (сходимости) —значение,которое с доверительной вероятностью 95% не превышается абсолютной величиной разности между результатами двух измерений (или испытаний), полученными в условиях повторяемости (сходимости). Воспроизводимость — прецизионность в условиях воспроизводимости. Условия воспроизводимости —это условия,при которых результатыизмерений (или испытаний) получают одним и тем же методом, на идентичных объектах испытаний, в разных лабораториях, разными операторами, с использованием различного оборудования. Стандартные (среднеквадратические) отклонения воспроизводимости — стандартные (среднеквадратические) отклонения результатов измерений (испытаний), полученных в условиях воспроизводимости. Эта норма является мерой рассеяния результатов измерений (или испытаний) в условиях воспроизводимости. Предел воспроизводимости —значение,которое с доверительной вероятностью 95% не превышается абсолютной величиной разности между результатами измерений (или испытаний), полученными в условиях воспроизводимости. Для практики измерений важен термин «выброс». Выброс — элемент совокупности значений, который несовместим с остальными элементами данной совокупности. В Стандарте 5725 установлены правила представления в стандартах на методы испытаний стандартных отклонений повторяемости и воспроизводимости, пределов повторяемости и воспроизводимости, систематической погрешности метода. Значение систематической погрешности всегда представляется вместе с описанием принятого опорного значения, относительно которого оно определялось. Значения стандартных отклонений повторяемости и воспроизводимости представляются с указанием условий эксперимента, в результате которого они были получены (число участвующих лабораторий, контролируемые значения измеряемой величины в диапазоне измерения метода, наличие 8 выбросов в данных отдельных лабораторий). В соответствии с утвержденным Порядком введения в действие описываемого ГОСТ Р его положения вводятся в действие при разработке новых и (или) пересмотре действующих методик выполнения измерений (МВИ). Требования стандарта 5725 и порядка его введения в действие начинают включать в ряд проектов ГОСТ Р на методы испытаний [5]. Укажем для примера на проекты ГОСТ Р: «Драгоценные металлы и их сплавы. Общие требования к методам анализа»; «Платина. Метод атомно- эмиссионного анализа с индуктивной связанной плазмой». Последний стандарт распространяется на метод определения в платине содержания примесей (алюминия, висмута, железа, золота, иридия и пр.). В нем даны нормы по показателям точности метода (с вероятностью Р = 0,95): по пределу абсолютной погрешности (±Δ); стандартному отклонению повторяемости (S g ); пределу повторяемости (g); пределу воспроизводимости (Λ). 1.2 Погрешность и неопределенность результата измерений После того, как все предполагаемые составляющие погрешности результата измерений рассчитаны и в него внесены соответствующие поправки, все еще остается сомнение в том, что результат измерений близок к истинному значению измеряемой величины. На протяжении многих лет (а в Российской Федерации — и по настоящее время) количественной мерой этого сомнения служило понятие «погрешность измерений» как универсальная характеристика качества измерений, позволяющая полностью охарактеризовать результат измерений и возможности его практического применения [12]. В соответствии с таким представлением точности измерений их погрешности принято делить на две основные составляющие (не считая промахов): систематическую и случайную. При этом применение еще и различных прилагательных (суммарная, полная, субъективная, статическая, частная и т. д.), употребляемых для оценки некоторых факторов, влияющих на результат измерений, еще более уводит определение погрешности от первоначального смысла этого термина. Как известно, суть процесса измерений — сравнение измеряемой величины с мерой. При этом в практической метрологии используют два приема оценки качества измерений[12]: прямое сравнение измеряемой величины с мерой (т.е. с условно истинным, или действительным, значением), воспроизводимой с помощью эталона или стандартного образца; расчет, основанный на априорном знании некоторых характеристик метода, исследуемого объекта, средств и условий измерений. Кроме того, математические (вероятностные) модели погрешностей, 9 формирование доверительных границ (интервалов) и значения доверительных вероятностей в разных странах отличались друг от друга, что в основном и приводило к определенным трудностям при сопоставлении результатов измерений. Поэтому методы описания погрешности измерений в последнее время перестали по многим причинам удовлетворять ряду требований, предъявляемых к решаемым в теоретической метрологии задачам [12]. Для устранения этих сложностей в 1993 г. под эгидой семи международных организаций: МБМВ, МЭК, ИСО, МОЗМ, Международного союза по чистой и прикладной физике, Международного союза по чистой и прикладной химии и Международной федерации клинической химии разработано «Руководство по выражению неопределенности измерения», содержащее новую концепцию описания результатов измерений - концепцию неопределенности. На основе «Руководства по выражению неопределенности измерения» (далее Руководство) Межгосударственный совет по стандартизации, метрологии и сертификации СНГ принял РМГ 43-2001 «ГСИ. Применение Руководства по выражению неопределенности измерений». Особенностями Руководства является: во-первых, отказ, по возможности, при изложении от использования понятий «погрешность» и «истинное значение измеряемой величины» в пользу понятий «неопределенность» и «оцененное значение измеряемой величины»; во-вторых, переход от деления (классификации) погрешностей по природе их проявления на «случайные» и «систематические» к другому делению — по способу оценивания неопределенностей измерений (по типу А— методами математической статистики, и по типу В— другими методами). Руководство устанавливает правила выражения и оценивания неопределенности измерения для использования службами технического регулирования, метрологии, стандартизации, калибровки и аккредитации лабораторий. Основные положения Руководства сведены к следующему. Понятие «неопределенность измерения» введено для описания качества результатов измерений. В Руководстве неопределенность представлена фактически в двух смыслах: в широком-как сомнение относительно достоверности результата измерения, в узком-как количественная мера этого сомнения. При этом декларируются еще и такие положения: отказ от использование таких понятий, как истинное и действительное значения изменяемой величины, погрешность, относительная погрешность, точность измерения, случайная и систематическая погрешности; введение в теоретической метрологии термина «неопределенность» - параметра, связанного с результатом измерения и характеризующего 10 дисперсию значений, которые можно обоснованно приписать измеряемой величине; разделение составляющих неопределенности на два типа А и В. Следует отметить, что в определенном смысле, Руководство приобрело статус неформального международного стандарта, по крайней мере, в области международных сличений эталонов. Принципы Руководства должны быть использованы в широком спектре измерений, включая те, которые требуются для: поддержания контроля качества и обеспечения качества в процессе производства; согласованности и усиления законов и регулирующих актов; проведения фундаментальных и прикладных исследований и разработок в науке и технике; эталонов и приборов для калибровки и проведения испытаний по всей национальной системе измерений для обеспечения единства измерений и связи с национальными эталонами; проведения поверочных и калибровочных работ, выполнения измерений при проведении испытаний в масштабах всей национальной системы измерений, а также обеспечения единства измерений; разработки, поддержания и сличения международных и национальных эталонов единиц физических величин, включая стандартные образцы состава и свойств веществ и материалов. Целями Руководства являются: обеспечение полной информации о том, как составлять отчеты о неопределенностях измерений; предоставление основы для международного сопоставления результатов измерений; предоставление универсального метода для выражения и оценивания неопределенности измерений, применимого ко всем видам измерений и типам данных, которые используют при практических измерениях. 1.3 Рекомендации по применению Руководства в метрологии Неопределенность измерения отражает тот факт,что для данного измерения имеется не единственное, а бесконечное число значений, рассеянных вокруг результата, который может быть обоснованно приписан измеряемой величине. Числовые оценки неопределенности: стандартная неопределенность u с характеризует дисперсию значений, которые можно обосновано приписать измеряемой величине; 11 ) 1 ( 1 2 n n X Xi u n i c (1.1) расширенная неопределенность U Р : U P = k u c , (1.2) где k – коэффициент охвата, определяющий интервал значений, которые с достаточным основанием можно приписать измеряемой величине. Категории неопределенности: А–составляющие неопределенности, которые оцениваются статистическими методами; В– составляющие, которые оцениваются другими способами. 1.4 Процедура вычисления неопределенности Основа – «Руководство по выражению неопределенности измерений» (Международный комитет мер и весов, Международная организация по законодательной метрологии, Международная организация по стандартизации, Международная электротехническая комиссия и др.) 1) введение поправок на известные систематические эффекты; 2) вычисление среднего арифметического каждой входной величины: n X X n j ij i 1 (1.3) 3) вычисление значения измеряемой величины: мет m X X f X ) ,..., ( 1 (1.4) 4) вычисление неопределенности по типу А: стандартные неопределенности входных величин ) 1 ( 1 2 n n X X u n j i j i Ai (1.5) суммарная стандартная неопределенность по типу А: m Ai i A u X f u 1 2 (1.6) 5) вычисление неопределенности по типу В: стандартная неопределенность каждой входной величины 3 k b u i Bi (1.7) где b- граница отклонения измеряемой величины; k=1,1 при доверительной вероятности Р д =0,95; суммарная стандартная неопределенность по типу В: 12 m Bi i B u X f u 1 2 (1.8) 6) вычисление суммарной стандартной неопределённости 2 2 B A c u u u (1.9) 7) вычисление расширенной неопределённости c p ku U (1.10) m Ai i c e e p n u X f u t k 1 4 4 1 ); ( (1.11) 8) форма представления результата измерения: e c p k u U X X , , , (1.12) 9) интерпретация полученных результатов: интервал ) , ( p p U X U X содержит долю, равную Рд, распределения значений, которые могли бы быть обоснованно приписаны измеряемой величине 1.5 Сравнительный анализ двух подходов к выражению точности измерений 1) Целью измерения является получение оценки истинного значения измеряемой величины, Понятие погрешности измерений, как разности между результатом измерений и истинным (действительным) значением измеряемой величины, используется для описания точности измерений в отечественных НД. Говоря об оценивании погрешности, в отечественной метрологической практике подразумевают оценивание ее характеристик [11] в следующей последовательности (рисунок 1). Погрешность Характеристика Алгоритм оценивания Рисунок 1.1 –Последовательность оценки характеристики погрешности 2) В Руководстве для выражения точности измерений вводят понятие неопределенности измерений. Неопределенность измерений понимают, как неполное знание значения измеряемой величины и для количественного выражения этой неполноты вводят распределение вероятностей возможных (обоснованно приписанных) значений измеряемой величины. Таким образом, параметр этого распределения (также называемый - неопределенность) количественно характеризует точность результата измерений. 3) Сходными для обоих подходов являются последовательности действий при оценивании характеристик погрешности и вычислении 13 неопределенности измерений: - анализ уравнения измерений; - выявление всех источников погрешности (неопределенности) измерений и их количественное оценивание; - введение поправок на систематические погрешности (эффекты), которые можно исключить. 4) Методы вычисления неопределенности, также, как и методы оценивания характеристик погрешности, заимствованы из математической статистики, однако при этом используются различные интерпретации закона распределения вероятностей случайной величины. Кроме изложенных в Руководстве и отечественных НД на практике используют и другие методывычисления неопределенности и оценивания характеристик погрешности. Возможны различия между оценками характеристик погрешности (в соответствии с отечественными НД) и неопределенностями (в соответствии с Руководством). Различие двух подходов проявляется также в практике неопределенности и характеристик погрешности, основанной на разных интерпретациях вероятности: частотной и субъективной. В частности, доверительные границы погрешности (отложенные от результата измерений) накрывают истинное значение измеряемой величины с заданной доверительной вероятностью (частотная интерпретация вероятности). В то же время аналогичный интервал (у-U р , у+U р ) трактуется в Руководстве как интервал, содержащий заданную долю распределения значений, которые могли бы быть обоснованно приписаны измеряемой величине (субъективная интерпретация вероятности). 5) В общем случае не существует однозначного соответствия между случайными погрешностями и неопределенностями, вычисленными по типу А (а также не исключёнными систематическими погрешностями и неопределенностями, вычисленными по типу В). Деление на систематические и случайные погрешности обусловлено природой их возникновения и проявления в ходе измерительного эксперимента, а деление на неопределенности, вычисляемые по типу А и по типу В - методами их расчета. Вместе с тем можно (с осторожностью) отметить, что ряд используемых в действующей нормативно-технической документации характеристик погрешности по существу не отличаются от показателей неопределенности — это те же средние квадратические (стандартные) отклонения и доверительные границы (интервалы), но описанные другими словами. Имеющиеся различия связаны с терминологией, некоторыми особенностями расчета и т. д. 6) Некоторое методологическое различие имеется в подходе к определению коэффициента охвата, соответствующего коэффициенту k (k - 14 коэффициент зависимости отдельных НСП от выбранной доверительной вероятности Р Д при их равномерном распределении), который традиционно используют в отечественной нормативной документации для определения общей границы не исключенной систематической погрешности, незначительно сказывается на результатах оценивания характеристик погрешности (неопределенности) измерения в практических задачах. 7) Переход к неопределенности вносит единообразие и четкий порядок в проблему описания и представления качества измерений. 8) Результаты сравнительного анализа процедур оценивания характеристик погрешности и вычисления неопределенности измерений приведены в таблицах 1 и 2. Таблица 1 Процедура оценивания характеристик погрешности результата измерений Характеристика Выражение Погрешность 𝜓 = 𝑦 − 𝑦 ист , 𝑦 = 𝑦 ист + 𝜓 Модель погрешности 𝜓 – случайная величина с плотностью распределения вероятностей 𝑃(𝑥; 𝑀, 𝜎 2 , … ), M – математическое ожидание, 𝜎 2 - дисперсия Характеристики погрешностей S- СКО Θ – граница неисключенной систематической погрешности Δ р – доверительные границы Исходные данные для оценивания характеристик погрешности 1. Модель объекта исследования. 2. Экспериментальные данные x iq ; q=1,..,n ij ; i=1,…,m. 3. Информация о законах распределения. 4. Сведения об источниках погрешностей, их природе и о характеристиках составляющих S(x i ) и Θ i , структурная модель погрешности. 5. Стандартные справочные данные и др. справочные материалы. Методы оценивания характеристик: 1. Случайных погрешностей 𝑆 (𝑥 𝑖𝑙 ) = √ 1 𝑛 𝑖 −1 ∑ (𝑥 𝑖𝑞 − 𝑥 𝑙 ̅ ) 2 𝑛 𝑖 𝑞=1 ; 𝑆 (𝑥 𝑙 ̅ ) = √ 1 𝑛 𝑖 (𝑛 𝑖 −1) ∑ (𝑥 𝑖𝑞 − 𝑥 𝑙 ̅ ) 2 𝑛 𝑖 𝑞=1 ; 𝑆 2 = ∑ [ 𝜕𝑓 𝜕𝑥 𝑖 ] 2 𝑚 𝑖=1 𝑆 2 (𝑥 𝑙 ̅ ); ∆ 𝑝 = 𝑡 𝑝 (𝑓 эфф )S. 2. Не исключенных систематических погрешностей 𝜃(𝑝) = 𝑘√∑ [ 𝜕𝑓 𝜕𝑥 𝑖 ] 2 𝑚 𝑖=1 𝜃 𝑖 2 ; ∆ 𝑝 = 𝑡 𝑝 (𝑓 эфф )𝑆+𝜃(𝑝) 𝑆+√∑ [ 𝜕𝑓 𝜕𝑥𝑖 ] 2 𝑚 𝑖=1 𝜃𝑖 2 3 √𝑆 2 + √∑ [ 𝜕𝑓 𝜕𝑥 𝑖 ] 2 𝜃 𝑖 2 3 𝑚 𝑖=1 , где k =1,1 при Р=0,95; k =1 при Р=0,99; m>4; 3. Суммарной погрешности 𝑆 = √∑ [ 𝜕𝑓 𝜕𝑥 𝑖 ] 2 𝑚 𝑖=1 𝑆 2 (𝑥 𝑙 ̅ ); 15 Продолжение таблицы 1 Характеристика Выражение Форма представления характеристик погрешности 𝜃(𝑝), 𝑆, 𝑛 ∆ 𝑝 Интерпретация полученных результатов Интервал (−∆ р , ∆ р ) с вероятностью р содержит погрешность измерений, что равносильно тому, что интервал (𝑦 − ∆ р , 𝑦 + ∆ р ) с вероятностью р содержит истинное значение измеряемой величины Таблица 2 Процедура вычисления неопределённости измерений Характеристика Выражение Модель неопределенности (представление знания о значении измеряемой величины) μ – случайная величина с плотностью распределения вероятностей р(x; y; u 2 ,…) y - математическое ожидание, u 2 – дисперсия Неопределенность (количественная мера) Стандартная U Суммарная 𝑢 𝑐 = √∑ 𝑢 𝑖 2 𝑚 𝑖=1 Расширенная 𝑈 𝑐 = 𝑘𝑢 𝑐 Исходные данные для вычисления неопределённости 1. Модель объекта исследования. 2. Экспериментальные данные x iq ; q=1,..,n i ; i=1,…,m. 3. Информация о законах распределения. 4. Сведения об источниках погрешностей, их природе и характеристиках составляющих S(x i ), Θ i , структурная модель погрешности. Стандартные справочные данные и др. справочные материалы Методы вычисления неопределенности: 1) по типу А 𝑢 𝐴,𝑖 = √ ∑ (𝑥 𝑖𝑞 −𝑥 𝑖 ̅ ) 2 𝑛𝑖 𝑞 𝑛 𝑖 −1 ; 𝑢 𝐴 (𝑥 𝑖 ) = √ ∑ (𝑥 𝑖𝑞 −𝑥 𝑖 ̅ ) 2 𝑛𝑖 𝑞 𝑛(𝑛 𝑖 −1) 2) по типу В 𝑢 𝐵 (𝑥 𝑖 ) = 𝑏 𝑖 3 ; 3) расширенной неопределённости ∆ 𝑝 = 𝑡 𝑝 (𝜗 эфф )𝑢 𝑐 . 𝜗 эфф = 𝑢 𝑐 4 ∑ [ 𝜕𝑓 𝜕𝑥𝑖 𝑢(𝑥𝑖)]4 𝜗𝑖 𝑚 𝑖=1 ; 𝑢 𝑐 = √∑ [ 𝜕𝑓 𝜕𝑥 𝑖 𝑢(𝑥 𝑖 )] 2 𝑚 𝑖=1 ; U 0.95 =2u c ; U 0.99 =3u c – для нормального распределения; U 0.95 =1.65u c ; U 0.99 =1.71u c – для равномерного распределения; Представление неопределенности u c , U p , k, u i , υ i Интерпретация полученных результатов Интервал (𝑦 − 𝑈 р , 𝑦 + 𝑈 р ) содержит большую долю (р) распределения значений, которые могли бы быть обосновано приписаны измеряемой величине. Не предполагается, что Руководство однозначно и быстро заменит действующие национальные стандарты. Однако нормативные документы практически не используют понятия «неопределенность измерения» и 16 ориентированы на устоявшийся подход, основанный на понятиях «погрешность» и «характеристики погрешности». Отметим стандарты на общие требования к средствам измерений, на методы поверки, методики выполнения измерений, Процесс интеграции Российской Федерации в международное сообщество требует гармонизации отечественных стандартов, в том числе в области метрологии и сертификации продукции, для устранения барьеров в торговом, промышленном и научном обмене и сотрудничестве. Поэтому при разработке новых редакций нормативных документов Российской Федерации должны быть учтены рекомендации Руководства. Областями, в которых использование Руководства обязательно, в настоящий момент являются измерения, проводимые в процессе международных сличений исходных национальных эталонов, и оказание калибровочных услуг зарубежным организациям. Ряд рекомендаций по выражению неопределенности в измерении вошли в нормативные документы метрологических органов Российской Федерации такие, как ГОСТ 8.563-96 и ГОСТ Р 8.000-2000 [1,12]. 2 Пример выполнения работы Задание. Измерение силы электрического тока с помощью вольтметра и токового шунта. В результате измерений напряжения при температуре t=(23.0±0.05) °C получают ряд значений V i в милливольтах, i=0,…,n; n=10: 100,68; 100,83; 100,79; 100,64; 100,63; 100,94; 100,60; 100,68; 100,76; 100,65. Значения сопротивления шунта установлено при его калибровке для I=10A иt=23.00 °C и равно R 0 =0,010088 Ом. Решение: 1) Нахождение результата измерения: Уравнение измерений: 𝐼 = 𝑓(𝑉, 𝑅) = 𝑉/𝑅, где I - сила тока, V- напряжение, R – сопротивление шунта. На основе полученных значений вычисляют среднее напряжение по формуле: 𝑉̅ = 1 𝑛 ∑ 𝑉 𝑖 𝑛 𝑖=1 𝑉̅ = 100.72 мВ. Результат измерения силы тока получают по формулам таблицы 1: 𝐼 = 𝑉 𝑅 0 = 9.984 А. 2) Анализ источников погрешности результатов измерений. 2.1) СКО 𝑉̅, характеризующее случайную составляющую погрешности при измерениях напряжения, вычисляют по формуле: 17 𝑆(𝑉̅) = √ ∑ (𝑉 𝑖 − 𝑉̅) 2 𝑛 𝑖=1 𝑛(𝑛 − 1) 𝑆(𝑉̅) = 3.4 ∙ 10 −2 мВ. 𝑆̃(𝑉̅) = 𝑆(𝑉̅) ∗ 100%/𝑉̅ = 0,034%. Примечание: Здесь и далее по тексту знак тильды над буквой, обозначающей характеристику погрешности (неопределенности) означает, что данная характеристика приведена в относительном виде. 2.2) Границы неисключенной систематической погрешности вольтметра определены при его калибровке в виде следующего выражения (в выражениях для границ погрешности при разных значениях отклонений от нуля будем опускать ±). 𝜃 𝑉 = 3 ∙ 10 −4 ∙ 𝑉 + 0.02 ; мВ. Тогда при 𝑉 = 𝑉̅ получают: 𝜃 𝑉 = 5,0 ∙ 10 −2 мВ, 𝜃 𝑉 ̃ = 𝜃 𝑉 𝑉 ∗ 100%. 𝜃 𝑉 ̃ = 0,05%. 2.3) Границы неисключенной систематической погрешности значения сопротивления шунта, определенные при его калибровке, равны: 𝜃 𝑅 ̃ = 0,07%. Тогда при 𝑅 = 𝑅 0 получают: 𝜃 𝑅 = 7 ∙ 10 −4 ∙ 𝑅 0 = 7.1 ∙ 10 −6 Ом. 2.4) Границы неисключенной систематической составляющей погрешности значения шунта, обусловленной погрешностью измерений температуры, находят по формуле, определяющей зависимость сопротивления от температуры: 𝑅 = 𝑅 0 [1 + 𝛼(𝑡 − 𝑡 0 )], где 𝑅 0 - значение сопротивления при 𝑡 = 𝑡 0 (𝑡 0 = 23,00°C); 𝑅 0 = 0.010088 Ом ; 𝛼 - температурный коэффициент (𝛼 = 6 ∙ 10 −6 К −1 ). В случае, когда границы погрешности измерения температуры равны Δt, границы соответствующей составляющей погрешности значения сопротивления равны: 𝜃 𝑅,𝑡 = 𝛼 ∙ 𝛥𝑡 ∙ 𝑅. Таким образом, приΔt=0,05°C получают 𝜃 𝑅,𝑡 = 3,0 ∙ 10 −9 Ом, В дальнейшем эту составляющую (ввиду ее малости по сравнению с другими составляющими) можно не учитывать. 3) Вычисления характеристик погрешности результата измерений. 3.1) Делают предположение о равномерном законе распределения 18 не исключенных систематических составляющих погрешности результата измерений внутри границ 𝜃 𝑉 и 𝜃 𝑅 Тогда СКО суммарной неисключенной систематической составляющей погрешности результата измерений силы тока определяют по формуле: 𝑆 𝜃 = √[ 𝜕𝑓 𝜕𝑉 ] 2 𝜃 𝑉 2 3 + [ 𝜕𝑓 𝜕𝑅 ] 2 𝜃 𝑅 2 3 где 𝜕𝑓 𝜕𝑉 = 1 𝑅 , 𝜕𝑓 𝜕𝑅 = − 𝑉 𝑅 2 - коэффициенты влияния. Таким образом получают: 𝑆 𝜃 = √[ 1 𝑅 0 ] 2 ∙ 𝜃 𝑉 2 3 + [ 𝑉̅ 𝑅 0 2 ] 2 ∙ 𝜃 𝑅 2 3 = 5.0 ∙ 10 −3 𝐴, 𝑆 𝜃 % = 𝑆 𝜃 𝐼 ∗ 100 = 0.05%. 3.2) Доверительные границы суммарной неисключенной систематической составляющей погрешности результата измерений силы тока при доверительной вероятности р=0,95 оценивают по формуле: 𝜃(0,95) = 1,1√[ 1 𝑅 0 ] 2 𝜃 𝑉 2 + [ 𝑉̅ 𝑅 0 2 ] 2 𝜃 𝑅 2 = 9.5 ∙ 10 −3 𝐴, 𝜃 0.95 % = 0.095% 3.3) СКО суммарной погрешности результата измерений силы тока вычисляют по формуле: 𝑆 = 𝜕𝑓 𝜕𝑉 ∙ 𝑆(𝑉̅) = 3.4 ∙ 10 −3 𝐴, 𝑆 % = 0.034%. 3.4) СКО суммарной погрешности результата измерений силы тока вычисляют по формуле: 𝑆 Σ = √𝑆 2 + 𝑆 𝜃 2 = 6.0 ∙ 10 −3 𝐴, 𝑆 Σ % = 0.06%. 3.5) Доверительные границы погрешности результата измерений силы тока при р=0,95 и числе эффективных степеней свободы 𝑓 эфф = 𝑛 − 1 вычисляют по формуле: ∆ 𝑝=0,95 = 𝑡 0,95 (𝑓 эфф = 9)𝑆 + 𝜃(0,95) 𝑆 + 𝑆 𝜃 𝑆 Σ = 0.012 𝐴, Δ 0,95 % = 0.12%. 4) Вычисление неопределенностей измерений. 4.1) По типу А вычисляют стандартную неопределенность, обусловленную источниками неопределенности, имеющим случайный характер. а) Стандартную неопределённость напряжения, обусловленную источниками неопределённости, имеющими случайный характер, определяют по формуле: 19 𝑢 𝐴 (𝑉) = √ ∑ (𝑉 𝑖 −𝑉 ̅) 2 𝑛𝑖 𝑖=1 𝑛(𝑛−1) , 𝑢 𝐴 (𝑉) = 3.4 ∙ 10 −2 мВ; 𝑢 𝐴 % (𝑉) = 0.034%. б) Стандартную неопределённость силы тока, обусловленную источниками неопределённости, имеющими случайный характер, определяют по формуле: 𝑢 𝐴 = 𝜕𝑓 𝜕𝑉 ∙ 𝑢 𝐴 (𝑉) = 3.4 ∙ 10 −3 𝐴, 𝑢 𝐴 % = 0.034%. 4.2) По типу В вычисляют стандартные неопределенности, обусловленные источниками неопределенности, имеющими систематический характер. Закон распределения величин внутри границ считают равномерным. а) Границы систематического смещения при измерениях напряжения, определенные при калибровке вольтметра, равны (3,4 ∙ 10 −4 ∙ 𝑉 + 0.02)мВ . Тогда соответствующую стандартную неопределённость вычисляют по формуле: 𝑢 В,𝑉 = 3,4 ∙ 10 −4 ∙ 𝑉̅ + 0.02 √3 = 3.1 ∙ 10 −2 мВ, 𝑢 𝐵,𝑉 % = 0.031%. б) Границы, внутри которых лежит значение сопротивления шунта, определены при калибровке шунта и равны 7 ∙ 10 −4 ∙ 𝑅. Тогда при 𝑅 = 𝑅 0 соответствующую стандартную неопределённость вычисляют по формуле: 𝑢 В,𝑅 = 7 ∙ 10 −4 ∙ 𝑅 0 √3 = 4.0 ∙ 10 −6 мВ, 𝑢 𝐵,𝑅 % = 0.04%. в) Границы изменения сопротивления шунта, обусловленного изменением температуры, равны 𝛼 ∙ 𝛥𝑡 ∙ 𝑅. Тогда при 𝑅 = 𝑅 0 соответствующую стандартную неопределённость вычисляют по формуле: 𝑢 В,𝑡 = 𝛼 ∙ 𝛥𝑡 ∙ 𝑅 0 √3 = 1.7 ∙ 10 −9 Ом, 𝑢 𝐵,𝑡 % = 1.7 ∙ 10 −9 %. В дальнейшем эту составляющую (ввиду ее малости по сравнению с другими составляющими) можно не учитывать. г) Суммарную стандартную неопределенность, вычисленную по типу В, определяют по формуле: 𝑢 𝐵 = √[ 𝜕𝑓 𝜕𝑉 ] 2 𝑢 𝐵,𝑉 2 + [ 𝜕𝑓 𝜕𝑅 ] 2 𝑢 𝐵,𝑅 2 = 5.0 ∙ 10 −3 𝐴, 𝑢 𝐵 % = 0.050% 4.3) Суммарную стандартную неопределенность вычисляют по формуле: 𝑢 c = √𝑢 𝐴 2 + 𝑢 𝐵 2 = 6.0 ∙ 10 −3 𝐴, 𝑢 c % = 0.06% 4.4) Эффективное число степеней свободы: 20 𝜗 эфф = 𝑢 𝑐 4 (𝑢𝐴)4 𝑛−1 + (𝑢𝐵,𝑉)4 ∞ + (𝑢𝐵,𝑅)4 ∞ = 87; 4.5) Коэффициент охвата получают по формуле: 𝑘 = 𝑡 0.95 ( 𝜗 эфф 100 ) = 1.99. 4.6) Расширенную неопределенность определяют следующим образом: 𝑈 0.95 = 𝑘𝑢 𝑐 = 0.012 𝐴; 𝑈 0.95 % = 0.12% 9) Переход от характеристик погрешности к неопределенности измерений. 6.1 Используя оценки характеристик погрешности, полученные в п.п.3 и 4 данного примера, можно продемонстрировать получение оценок неопределенности в соответствии с п. 4.4 настоящей рекомендации. В данном примере неопределенности измерений, вычисленные в п.5 данного примера в соответствии с Руководством, совпадают с их оценками, полученными по схеме 1. В данном примере разность неопределенностей измерений вычисленных в п.5 в соответствии с Руководством, и их оценок, полученных по схеме 2, меньше погрешности округления при вычислениях. 3 Задание для выполнения работы Решить задачу «Измерение силы электрического тока с помощью вольтметра и токового шунта». По исходным данным (таблица 3) в соответствии с вышеизложенной методикой: а) Найти результат измерений. б) Провести анализ источников погрешности результата измерений. в) Вычислить характеристики погрешности результата измерений. г) Вычислить стандартную неопределенность измерений. по типу А, обусловленную источниками неопределенности, имеющими случайный характер. по типу В, обусловленные источниками неопределенности, имеющим систематический характер. Закон распределения величин внутри границ считают равномерным. д) Определить суммарную стандартную неопределенность, 21 эффективное число степеней свободы и коэффициент охвата. е) Построить схемы перехода от характеристик погрешности к неопределенности измерений. Таблица 3 Исходные данные для расчета Вари ант Ряд значений V i в милливольтах 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 100,68 100,65 100,79 100,64 100,63 100,85 100,60 100,68 100,81 100,6 При его калибровке для I=10A и t=(23,0±0,05)ºС, R 0 =0,010688 Ом 2 101,64 101,56 101,78 101,62 101,73 101,60 101,94 101,68 101,73 101,7 При его калибровке для I=10A и t=(23,0±0,05)ºС, R 0 =0,010908 Ом 3 120,68 120,65 120,97 120,84 120,63 120,94 120,61 120,88 120,83 120,9 При его калибровке для I=10A и t=(23,0±0,05)ºС, R 0 =0,013508 Ом 4 99,61 99,75 99,73 99,66 99,65 99,95 99,90 99,64 99,85 99,8 При его калибровке для I=10A и t=(23,0±0,05)ºС, R 0 =0,014488 Ом 5 103,78 103,95 103,74 103,78 103,60 103,80 103,62 103,66 103,84 103,7 При его калибровке для I=10A и t=(23,0±0,05)ºС, R 0 =0,011188 Ом 6 98,79 98,63 98,76 98,68 98,65 98,75 98,90 98,90 98,84 98,8 При его калибровке для I=10A и t=(23,0±0,05)ºС, R 0 =0,012088 Ом 7 102,80 102,77 102,75 102,69 102,69 102,82 102,70 102,73 102,88 102,6 При его калибровке для I=10A и t=(23,0±0,05)ºС, R 0 =0,013688 Ом 8 110,68 110,75 110,89 110,69 110,73 110,80 110,66 110,62 110,85 110,8 При его калибровке для I=10A и t=(23,0±0,05)ºС, R 0 =0,014088 Ом 9 100,75 100,76 100,81 100,84 100,73 100,80 100,67 100,69 100,80 100,4 При его калибровке для I=10A и t=(23,0±0,05)ºС, R 0 =0,015098 Ом 10 99,75 99,69 99,69 99,68 99,60 99,81 99,73 99,75 99,77 99,8 При его калибровке для I=10A и t=(23,0±0,05)ºС, R 0 =0,011788 Ом 4 Отчетность и требования по оформлению работы Отчет по работе выполняется в ученической тетради, с соблюдением требований к расчетам (представление формул в общем виде с расшифровкой входящих величин и подстановка значений с указанием единиц измерений). Отчет по лабораторной работе должен содержать: - название лабораторной работы; - цель работы; - исходные данные для расчета; - результаты расчетов; - структурную схему измерительного канала; - выводы по работе. 5 Контрольные вопросы для самопроверки 1. Что понимается под определением «метод» в ГОСТ 5725 и как оно согласуется с ФЗ-102 «Об обеспечении единства измерений»? 2. Что нового внесено в понятие «точность» по ГОСТ 5725? 22 3. Охарактеризуйте понятия повторяемости и воспроизводимости. 4. Какие показатели свойств повторяемости и воспроизводимости введены для крайних условий измерений? 5. По каким причинам методы описания погрешности измерений в последнее время перестали удовлетворять ряду требований, предъявляемых к решаемым в теоретической метрологии задачам? 6. К чему сведены основные положения Руководства? 7. Каковы числовые оценки неопределенности? 8. Что понимается под категориями неопределенности? 9. Каковы процедуры вычисления неопределенностей по типу А и по типу В? 10. В чем сходство и различие двух подходов к выражению точности? 11. Каков основной вывод из практики применения двух подходов к выражению точности измерений? 6 Критерии оценки работы обучающихся Оценка работы студентов включает в себя следующие этапы: № Виды работы Баллы 1 Изучение теоретических сведений 2 Выполнение работы (проведение вычислений) и оформление отчета по работе 0-3 3 Защита работы по контрольным вопросам 0-4 Итого 0-7 Список использованных источников 1. ГОСТ Р 8.000-2000. ГСИ. Основные положения. 2. ГОСТ Р ИСО 5725-1-2002. Точность (правильность и прецизионность) методов и результатов измерений. Ч.1. Основные положения и определения. 3. ГОСТ Р. 8.563 -96. ГСИ. Методики выполнения измерений. 4. ГОСТ 8.207 -76. ГСИ. Прямые измерения с многократными наблюдениями. Методы обработки результатов наблюдений. Основные положения. 5. Лифиц, И.М. Стандартизация, метрология и подтверждение соответствия: учебник / И.М. Лифиц. - 9-е изд., перераб. и доп. – М.: Издательство Юрайт; Высшее образование, 2009. – 315 с. – (Основы наук). 6. РМГ 43-2001 «ГСИ. Применение Руководства по выражению неопределенности измерений». 7. РМГ 91-2009 ГСИ. Совместное использование понятий «погрешность измерений» и «неопределенность измерений». Общие принципы. 23 8. МИ 3281-2010 ГСИ. Оценка результатов измерений – Пояснения к «Руководству по выражению неопределенности измерений. 9. МИ 1317 - 2004. ГСИ. Результаты измерений и характеристики погрешностей измерений. Формы представления. Способы использования при испытаниях образцов продукции и контроле их параметров. 10. Походун А.И. Экспериментальные методы исследований. Погрешности и неопределенности измерений. Учебное пособие. СПб: СПбГУ ИТМО, 2006. 112 с. 11. Очир-Горяев, В. П. Точность и неопределенность измерений: метод. рекомендации / В. П. Очир-Горяев. – Ухта: УГТУ, 2011. – 29 с. 24 Учебное издание АНАЛИЗ НЕОПРЕДЕЛЁННОСТИ (ПОГРЕШНОСТИ) ИЗМЕРЕНИЙ В ИИС Методические рекомендации для лабораторных работ Составители ЛАПИК Наталья Владиславовна Ответственный редактор: доцент, к.т.н. В.В. Козлов В авторской редакции Подписано в печать . Формат 60х90 1/16. Усл. печ. л. . Тираж экз. Заказ № . Библиотечно-издательский комплекс федерального государственного бюджетного образовательного учреждения высшего образования «Тюменский индустриальный университет». 625000, Тюмень, ул. Володарского, 38. Типография библиотечно-издательского комплекса. 625039, Тюмень, ул. Киевская, 52 |