Курсовая. kursovaya.Айгул. Методические рекомендации по изучению темы Четырехугольники План конспект урока на тему Прямоугольник Заключение

• Название: Методические рекомендации по изучению темы Четырехугольники План конспект урока на тему Прямоугольник Заключение
• Анкор: Курсовая
• Дата: 02.03.2023
• Размер: 0.66 Mb.
• Имя файла: kursovaya.Айгул.docx
• Тип: Методические рекомендации; #964566
• страница: 2 из 4

Тематическое планирование, 2 часа в неделю

Номер параграфа	Содержание материала	Количество часов	Характеристика основных видов деятельности ученика (на уровне учебных действий)
ГЛАВА V Четырёхугольники		14	Объяснять, что такое ломаная, многоугольник, его вершины, смежные стороны, диагонали, изображать и показывать многоугольники на чертежах; показывать элементы многоугольника, его внутреннюю и внешнюю области; формулировать определение выпуклого многоугольника; изображать и распознавать выпуклые и невыпуклые многоугольники; формулировать и доказывать утверждения о сумме углов выпуклого многоугольника и сумме его внешнихуглов; объяснять, какие стороны (вершины) четырёхугольника называются противоположными; формулировать определения параллелограмма, трапеции, равнобедренной и прямоугольной трапеций, прямоугольника, ромба, квадрата; изображать и распознавать эти четырёхугольники; формулировать и доказывать утверждения об их свойствах и признаках; решать задачи на вычисление, доказательство и построение, связанные с этими видами четырёхугольников; объяснять, какие две точки называются симметричными относительно прямой (точки), в каком случае фигура называется симметричной относительно прямой(точки) и что такое центр(ось) симметрии фигуры; приводить примеры фигур, обладающих осевой(центральной) симметрией, а также примеры осевой и центральной симметрии в окружающей нас обстановке.
§ 1	Многоугольники	2
§ 2	Параллелограмм и трапеция	6
§ 3	Прямоугольник. Ромб. Квадрат.	4
	Решение задач	1
	Контрольная работа № 1	1

Материал в учебнике по данной теме представлен в V главе «Четырёхугольники», которая содержит три параграфа. Каждый параграф содержит теоретический материал, который разбивается на небольшие смысловые порции, что позволяет ученику лучше осознать и выучить теоретический материал по данной теме. После изучения каждого параграфа идёт система задач различной степени трудности на закрепление изученного материала, а после изученной главы идёт система упражнений и вопросов на отработку знаний, умений и навыков. Дан образец решения задач на доказательство (№378, №384), доказана теорема Фалеса (задача №385), дано решение задач на построение 393 а), 396, даны чертежи ко всем этим задачам.

Названия пунктов выделены другим цветом. Материал для заучивания (понятия, определения, формулировки теорем) выделен жирным тёмным цветом. Имеются рисунки и чертежи для наглядного представления теоретического материала, дано доказательство всех свойств и признаков рассматриваемых фигур.

Изучение четырехугольников в учебнике Л. С. Атанасяна идет по следующей схеме:



Классификация

1. 
   Параллелограмм
   

Определение. Параллелограммом называется четырехугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны.

Свойства параллелограмма:

1˚ В параллелограмме противоположные стороны равны и противоположные углы равны.

2˚ Диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам.

Признаки параллелограмма:

1˚ Если в четырехугольнике две стороны равны и параллельны, то этот четырехугольник – параллелограмм.

2˚ Если в четырехугольнике противоположные стороны попарно равны, то этот четырехугольник – параллелограмм.

3˚ Если в четырехугольнике диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, то этот четырехугольник – параллелограмм.

Задачи из учебника

371. Докажите, что выпуклый четырехугольник АВСD является параллелограммом, если: а) ∠ВАС =∠АСD и ∠ВСА =∠DАС;

б) АВ || СD, ∠A=∠C.

373. Периметр параллелограмма АВСD равен 50 см, ∠С=30˚, а перпендикуляр ВН к прямой CD равен 6,5 см. Найдите стороны параллелограмма.

375. Найдите периметр параллелограмма, если биссектриса одного из его углов делит сторону параллелограмма на отрезки 7 см и 14 см.

376. Найдите углы параллелограмма АВСD, если: а) ∠ А = 84˚;

б) ∠А - ∠В = 55˚; в) ∠А +∠С = 142˚; г) ∠А=2∠В;

д) ∠САD=16˚, ∠АCD = 37˚.

380. На сторонах АВ, ВС, СD и DA четырехугольника АВСD отмечены соответственно точки M, N, P и Q так, что АМ = СР, ВN = DQ, BM = DP, NC = QA. Докажите, что четырехугольник АВСD и MNPQ – параллелограммы.

382. Диагонали параллелограмма АВСD пересекаются в точке О. Докажите, что четырехугольник А1В1С1D1, вершинами которого являются середины отрезков ОА, ОВ, ОС и ОD, - параллелограмм.
Задачи из ОГЭ

№1. Биссектрисы углов A и D па­рал­ле­ло­грам­ма ABCD пе­ре­се­ка­ют­ся в точке, ле­жа­щей на сто­ро­не BC. Най­ди­те AB, если BC = 34.



Решение: По опре­де­ле­нию па­рал­ле­ло­грам­ма ВС || АD, АЕ — се­ку­щая при па­рал­лель­ных прямых, следовательно, углы ВЕА и ЕАD равны как на­крест лежащие. По­сколь­ку ∠ВЕА=∠ВАЕ, тре­уголь­ник АВЕ — равнобедренный, от­ку­да АВ=ВЕ. Аналогично, тре­уголь­ник СЕD —рав­но­бед­рен­ный и ЕС=СD. Сто­ро­ны АВ и СD равны, как про­ти­во­по­лож­ные сто­ро­ны параллелограмма, следовательно:

.
Ответ: 17.
№2. В па­рал­ле­ло­грам­ме АВСD про­ве­де­ны пер­пен­ди­ку­ля­ры ВЕ и DF к диа­го­на­ли АС (см. рисунок). Докажите, что ВFDЕ — параллелограмм.



Решение: Прямоугольные тре­уголь­ни­ки ABE и CDF равны по ги­по­те­ну­зе и остро­му углу (AB = CD как про­ти­во­ле­жа­щие сто­ро­ны параллелограмма; ∠BAE = ∠DCF как на­крест ле­жа­щие углы при па­рал­лель­ных пря­мых AB и CD и се­ку­щей AC). Следовательно, BE = DF. Кроме того, BE || DF, т. к. это пер­пен­ди­ку­ля­ры к одной прямой. Таким образом, в четырёхугольнике BFDE про­ти­во­ле­жа­щие сто­ро­ны равны и параллельны, по­это­му BFDE — параллелограмм.

2. 
   Трапеция
   

Определение. Трапецией называется четырехугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие стороны не параллельны. Параллельные стороны трапеции называются ее основаниями, а две другие стороны – боковыми сторонами.

Трапеция называется равнобедренной, если ее боковые стороны равны.

Трапеция, один из углов которой прямой, называется прямоугольной.
Задачи из учебника

386. Докажите, что отрезок, соединяющий середины боковых сторон трапеции, параллелен основаниям трапеции.

387. Найдите углы В и D трапеции АВСD с основаниями АD и BC, если ∠А=36˚, ∠С=117˚.

388. Докажите, что в равнобедренной трапеции: а) углы при каждом основании равны; б) диагонали равны.

390. Один из углов равнобедренной трапеции равен 68˚. Найдите остальные углы трапеции.

392. Основания прямоугольной трапеции равны а и b, один из углов равен α. Найдите: а) большую боковую сторону трапеции, если а=4 см, b=7 см, α=60˚; б) меньшую боковую сторону трапеции, если а=10 см, b=15 см, α=45˚.

397. Постройте равнобедренную трапецию АВСD: а) по основанию АD, углу А и боковой стороне АВ; б) по основанию ВС, боковой стороне АВ и диагонали BD.

Задачи из ОГЭ

№1. Прямая, па­рал­лель­ная ос­но­ва­ни­ям тра­пе­ции ABCD, пе­ре­се­ка­ет её бо­ко­вые сто­ро­ны AB и CD в точ­ках E и F соответственно. Най­ди­те длину от­рез­ка EF, если AD = 44, BC = 24, CF:DF = 3:1


Решение: Проведём по­стро­е­ния и введём обо­зна­че­ния как по­ка­за­но на рисунке. Рас­смот­рим тре­уголь­ни­ки KFC  и ACD, угол C — общий, углы CAD и CKF равны друг другу как со­от­вет­ствен­ные углы при па­рал­лель­ных прямых, следовательно, тре­уголь­ни­ки KFC и ACD подобны. От­ку­да   по­это­му KF= =33. Аналогично, из тре­уголь­ни­ков EKA и ABC получаем, что EK=BC =24 =6. 

Таким образом, EF=EK+KF=6+33=39.
Ответ: 39.
№2. Биссектрисы углов A и B при бо­ко­вой сто­ро­не AB тра­пе­ции ABCD пе­ре­се­ка­ют­ся в точке F. Най­ди­те AB, если AF = 20, BF = 15.



Решение: Сумма углов, при­ле­жа­щих к бо­ко­вой сто­ро­не трапеции, равна 180°, значит, .

Получаем, что тре­уголь­ник ABF пря­мо­уголь­ный с пря­мым углом F. По тео­ре­ме Пи­фа­го­ра на­хо­дим AB: .

 Ответ: 25.

3. 
   Прямоугольник
   

Определение. Прямоугольником называется параллелограмм, у которого все углы прямые. Так как прямоугольник является параллелограммом, то он обладает всеми свойствами параллелограмма: в прямоугольнике противоположные стороны равны, а диагонали точкой пересечения делятся пополам.

Особое свойство прямоугольника: Диагонали прямоугольника равны.

Признак прямоугольника: Если в параллелограмме диагонали равны, то этот параллелограмм – прямоугольник.
Задачи из учебника

399. Докажите, что параллелограмм, один из углов которого прямой, является прямоугольником.

401. Найдите периметр прямоугольника АВСD, если биссектриса угла А делит: а) сторону ВС на отрезки 45,6 см и 7,85 см; б) сторону DC на отрезки 2,7 дм и 4,5 дм.

402. Диагонали прямоугольника АВСD пересекаются в точке О. Докажите, что треугольники АОD и АОВ равнобедренные.

403. В прямоугольнике АВСD диагонали пересекаются в точке О. Найдите периметр треугольника АОВ, если =30˚, АС = 12 см.
Задачи из ОГЭ

№1. В па­рал­ле­ло­грам­ме ABCD точка E — се­ре­ди­на сто­ро­ны AB. Известно, что EC=ED. Докажите, что дан­ный па­рал­ле­ло­грамм — прямоугольник.

Решение: Треугольники BEC и AED равны по трём сторонам. Значит, углы CBE и DAE равны. Так как их сумма равна 180°, то углы равны 90°. Такой па­рал­ле­ло­грамм — прямоугольник.

4. 
   Ромб
   

Определение. Ромбом называется параллелограмм, у которого все стороны равны. Так как ромб является параллелограммом, то он обладает всеми свойствами параллелограмма.

Особое свойство ромба: Диагонали ромба взаимно перпендикулярны и делят
Задачи из учебника

405. В ромбе одна из диагоналей равна стороне. Найдите: а) углы ромба; б) углы, которые диагонали ромба образуют с его сторонами.

406. Найдите периметр ромба АВСD, если =60˚, АС=10,5 см.

402. Найдите углы, которые образуют диагонали ромба с его сторонами, если один из углов ромба равен 45˚.

403. Докажите, что параллелограмм является ромбом, если: а) его диагонали взаимно перпендикулярны; б) диагональ параллелограмма является биссектрисой его угла.

433. Из вершины В ромба АВСD проведены перпендикуляры ВК и ВМ к прямым AD и DC. Докажите, что луч ВD является биссектрисой угла КВМ.

434. Докажите, что точка пересечения диагоналей ромба равноудалена от его сторон.
Задачи из ОГЭ

№1. Высота AH ромба ABCD делит сто­ро­ну CD на от­рез­ки DH = 12 и CH = 1. Най­ди­те высоту ромба.



Решение: Поскольку ABCD — ромб, AD = DC = DH + HC = 13.

Треугольник ADH прямоугольный, поэтому: АН=

№2. Рас­сто­я­ние от точки пе­ре­се­че­ния диа­го­на­лей ромба до одной из его сто­рон равно 19, а одна из диа­го­на­лей ромба равна 76. Най­ди­те углы ромба.

В от­ве­те за­пи­ши­те ве­ли­чи­ны раз­лич­ных углов в по­ряд­ке воз­рас­та­ния без пробелов.



Введём обозначения, как по­ка­за­но на рисунке. Пусть диа­го­наль АС равна 76. Диа­го­на­ли ромба пе­ре­се­ка­ют­ся под пря­мым углом и де­лят­ся точ­кой пе­ре­се­че­ния пополам. Рас­смот­рим тре­уголь­ник АОН, он прямоугольный, найдём синус угла ОАН: sin =  , следовательно, угол OAH равен 30°.

Рас­смот­рим тре­уголь­ни­ки AOB и AOD, они прямоугольные, AO — общая, AB=AD, следовательно, эти тре­уголь­ни­ки равны, от­ку­да ∠ВАO =∠OAD=30˚, по­это­му ∠BAD=2∙30˚=60˚. Сумма смеж­ных углов ромба равна 180˚, откуда ∠AВС=180˚-∠BAD=180˚-60˚=120˚.

Ответ: 60120

5. 
   Квадрат
   

Определение. Квадратом называется прямоугольник, у которого все стороны равны. Прямоугольник является параллелограммом, поэтому и квадрат является параллелограммом, у которого все стороны равны, т.е. ромбом. Отсюда следует, что квадрат обладает всеми свойствами прямоугольника и ромба.

Основные свойства квадрата:

1. 
   Все углы квадрата прямые.
   
2. 
   Диагонали квадрата равны, взаимно перпендикулярны, точкой пересечения делятся пополам и делят углы квадрата пополам.