Методические указания. Методические рекомендации по выполнению практических работ бакалаврам по направлению Агроинженерия на втором курсе для студентов очного (офо) и на третьем курсе для студентов заочного (зфо) и заочного сокращенного (зсфо) курсов обучения
 Скачать 1.06 Mb.
|
|
2.5.12. Практическая работа № 12 Матрицы и вектора в системе MathCAD Цель занятия изучение и практическое применение способов ввода матриц и векторов в системе MathCAD и осуществления сними математических действий. Краткие теоретические сведения В MathCAD имеются три типа массивов ранжированная переменная, вектор и матрица. Ранжированные переменные, в отличие от обычных, имеют множественные значения. Например, если задать переменную n в виде n := 1..5, то она будет представлять собой числа от 1 до 5 (1, 2, 3, 4, 5). Ввод «..» производится кнопкой «m..n» панели Матрица. Если требуется задать ряд чисел в виде арифметической прогрессии с определенным шагом, то ранжированная переменная записывается в виде к х 2 х , 1 х : х , где х – начальное значение, х – второе, к х – конечное, а шаг задает разность значений хи 1 х Вывод значений ранжированной переменной производится, как и для обычной переменной, при помощи знака "=", тех. Но при этом значения переменной х будут выведены в виде таблицы. Элементы вектора задаются при помощи кнопки Х панели Матрица. В документе вектор будет отображаться как матрица с одним столбцом. При этом возможен вывод на экран, как всего вектора, таки его отдельных элементов. Основные операции, выполняемые над векторами сложение, например А + В сложение вектора со скаляром А + 2; умножение вектора на скаляр В скалярное произведение векторов В А ; оператор векторизации: В А ; транспонирование ; Т В сумма элементов вектора А; векторное произведение векторов ; В А оператор векторизации: А Для того чтобы вставить матрицу в документ MathCAD, нужно нажать кнопку [•••] панели инструментов Матрицы ив появившемся макете задать все значения элементов матрицы. Для удобства работы лучше задавать матрицу с именем. То есть сначала ввести букву, затем знак присвоения и лишь потом – макет матрицы. При работе с матрицами или векторами иногда требуется совершить те или иные математические действия только лишь сих отдельными элементами. Для выбора элемента следует указать его координату, представляющую собой номер строки и столбца, на пересечении которых данный элемент располагается. Однако следует помнить, что по умолчанию первый столбец имеет номер 0, второй – 1 и т. д. Этаже нумерация справедлива и для столбцов (первый столбец, второй – 1 и т. д. Задания и порядок их выполнения Задание 1. Задать матрицу и вывести отдельно значения всех ее элементов. Выполнение ввести обозначение матрицы Хи знак присвоения «:=»; вставить макет матрицы кнопкой [•••] панели Матрицы выбрать вариант 4 4 и нажать «ОК»; ввести элементы й строки 1; 4; 3; 9, й строки 6; 2; 6; 3, й строки 4; 5; 3; 6, й строки 3; 4; 7; 5; для вывода элементов, поместить курсор ниже матрицы и нажать кнопку Х панели Матрица в появившемся местозаполнителе в поле символа ввести Ха в поле индекса «(0,0)», охватить курсором всѐ и ввести «=»; выданный результат должен совпадать с элементом й строки го столбца матрицы вывести остальные элементы матрицы, задавая нужные координаты элементов в поле индекса местозаполнителя. Задание 2. Рассчитать определитель матрицы Х, ее обратную и транспонированную матрицы. Выполнение для расчета определителя нажать «|X|» на панели Матрица в появившемся местозаполнителе в поле символа ввести Х, охватить всѐ курсором и ввести «=»; для вывода обратной матрицы нажать кнопку Х панели Матрица в местозаполнителе в поле символа ввести Х, охватить всѐ курсором и ввести «=»; для вывода транспонированной матрицы нажать « Т М » панели Матрица в местозаполнителе в поле символа ввести Х, охватить всѐ курсором и ввести «=». Задание 3. Найти матрицу C, определяемую произведением двух матриц A и B, последующему уравнению 4 В 3 2 А где , Т В А С Выполнение задать матрицы A и B оператором присвоения и кнопкой [•••]; задать уравнением матрицу C (через оператор присвоения вычислить матрицу C, введя ниже «C =»; вычислить определитель матрицы C. Задание 4. Задать две матрицы F и G, размером 3 3. Заполнить их произвольными неповторяющимися значениями (положительными и отрицательными. Вычислить следующие выражения a) F + G; b) ; G F c) ; T G F d) ; 1 G F e) ; G | F | f) Задание 5. Задать вектора V и W, произвести над ними все действия, описанные в разделе Краткие теоретические сведения. Элементы векторов определяются по формулами вводятся с клавиатуры 3 0 : j где 0 : i где , ) 1 i ( 2 sin ) i 2 cos( : i V Выполнение: ввести i := 0..3 (0..3 – кнопкой «m..n» панели Матрица ввести формулу i V , при этом квадрат синуса вводится как (sin(i + 1)) 2 – это правило ввода степеней тригонометрических функций в MathCAD (и Excel); ввести «V =», должна получиться матрица 3 1; повторить туже последовательность действий для j и j W ; найти сумму векторов сумму вектора V и определителя вектора W; произведение вектора W на определитель вектора V; скалярное произведение векторов оператор векторизации для V · W; транспонированный вектор V; сумму элементов вектора W; векторное произведение векторов оператор векторизации для sin (V). Задание 5. Выполнить задание 4 для других наборов значений векторов V и W: a) ; 3 0 : j где 0 : i где е 0 : i V b) ; 4 0 : j где 2 j : j W ; 4 0 : i где) 4 0 : j где 0 j 05 0 ln : j W ; 4 0 : i где , ! 1 i : i V Контрольные вопросы 1. Какие типы массивов имеются в MathCAD? 2. Чем ранжированные переменные отличаются от обычных 3. Как задать шаг при вводе диапазона значений ранжированной переменной и какая кнопка панели Матрица при этом используется 4. Как вставить матрицу и вывести значение ее элемента 5. Как рассчитать определитель матрицы, обратную и транспонированную матрицу 6. Как задаются элементы вектора 7. Какие операции возможны с векторами и матрицами 64 2.5.13. Практическая работа № 13 Построение графиков в системе MathCAD Цель занятия изучение графических возможностей системы MathCAD, разновидностей графиков, способов их построения и использования. Краткие теоретические сведения MathCAD позволяет использовать в документах двумерные и трехмерные графики. Для вставки графиков служит команда меню Вставка / График или панель Графики. Для того чтобы построить график функции в декартовой системе координат, нужно установить курсор в том месте документа, где должен находиться графики вставить шаблон графика с помощью соответствующей кнопки на панели Графики. В шаблоне два поля ввода (рис. 3). В поле, расположенное по центру, рядом с осью ординат, вводится функция, а в поле ввода, по центру, рядом с осью абсцисс, имя аргумента функции. Если после этого щелкнуть ЛКМ где-нибудь вне графика, то график будет построен. Рисунок 3 – Макет графика в декартовой системе координат 1 – местозаполнитель для ввода аргумента 2 – местозаполнитель для ввода функции 3 и 4 – минимальное и максимальное значения оси абсцисс 5 и 6 – минимальное и максимальное значения оси ординат 7, 8 и 9 – маркеры для изменения размеров графика. Диапазоны значений аргумента и функции вставляются в макет по умолчанию, но их можно менять, вводя свои данные в поля около соответствующих осей. Это необходимо, например, когда график не просматривается и требуется увеличить его масштаб. Чтобы на одном макете построить сразу несколько графиков, нужно после ввода в макет каждой функции, нажимать запятую – в этом случае около оси ординат появляется еще одно поле ввода. Можно задавать значение аргумента и функцию до вставки макета, тогда в поле ввода нужно вставлять только имя функции. Форматирование графика производится в диалоговом окне, которое вызывается двойным щелчком ЛКМ по макету графика или из контекстного меню командой Формат. Для построения графика функции z (x,y) в виде трехмерной поверхности нужно сначала задать эту функцию, а затем вставить макет поверхностного графика соответствующей кнопкой на панели Графики, введя в его поле ввода имя заданной функции z. График можно вращать в любом направлении, если установив указатель мыши над графиком, нажав и удерживая ЛКМ, начать перемещать указатель в направлении вращения. Задания и порядок их выполнения Задание 1. Построить график функции для х = 0, 0.01..5 с предварительным вводом аргумента и функции. Выполнение ввести х := 0, 0.01..5, используя для ввода «..» кнопку «m..n» панели Матрица. ввести 8 x 5 2 x 4 : ) x ( y ; нажать кнопку Декартов график на панель Графики ввести в местозаполнитель оси абсцисс имя аргументах в местозаполнитель оси ординат ух щелкнуть ЛКМ вне макета графика если график плохо просматривается, изменить максимальные и минимальные значения осей в местозаполнителях около начала и окончания каждой оси сделать двойной щелчок ЛКМ по полю макета в появившемся диалоговом окне, на вкладке оси Х, в разделе Вид оси поставить переключатель в положение Пересечение на вкладке След (Линия) изменить толщину, структуру и цвет линии графика (например 3; dot; blu – мм, прерывистый, синий на вкладке Метки ввести название графика График № 1». Задание 2. Построить графики функций a) f(x) := 3x 4 −7x 3 +4x 2 +2, для х 0,0.01..5; b) g(x) := 2sin 2 x, для х = 0..20; c) h(x) := 5cos 3 x, для х = 0..20; d) k(x) := x – ln(x), для х = 1..10. Задание 3. Построить на одном макете, с пересекающимися осями, графики двух функций 1) 1 3 x ) x ( f , цвет – коричневый, толщина 2; 2) ) 3 x sin( ) x ( g , цвет – красный, толщина 1; Выполнение вставить макет декартова графика в местозаполнитель для функции ввести 1 и запятую в появившееся, наследующей строчке, поле нового местоза- полнителя ввести ) 3 x щелкнуть ЛКМ вне макета графика из-за того, что график синуса не просматривается, изменить значения диапазона оси ординат, сделав его от – 5 до 5, для этого ввести эти числа в соответствующие поля около оси ординат сделать двойной щелчок ЛКМ по полю макета в появившемся диалоговом окне, на вкладке оси Х, в разделе Вид оси поставить переключатель в положение Пересечение на вкладке След (Линия) изменить параметры графика «trace 1»: толщину – на «2», а цвет линии – на «brn»; изменить параметры графика «trace 2»: толщину – на «1», а цвет линии – на «red»; на вкладке Метки ввести название графика График № 6». Задание 4. Построить графики заданных функций в декартовой системе координат заданным цветом с пересекающимися вначале координат осями и названием. Оба графика должны быть изображены сплошной линией, но разной толщины. a) 1 2 x ) x ( f , цвет – синий x sin ) x ( g , цвет – красный b) x 1 2 x ) x ( f , цвет – зеленый x cos ) x ( g , цвет – черный c) 2 2 x ) x ( f , цвет – зеленый x ln ) x ( g , цвет – голубой. Задание 5. Построить график поверхности, описываемой функцией z = 55x 2 +25y 2 , для 0 x 40, 0 y 50. Выполнение определить узлы, в которых будет вычисляться функция, для этого ввести i := 0..40, j := 0..50; установить связь аргументов x и y с узлами, для этого ввести x i := i, y j := j; ввести саму функцию z (x, y) := 55· x 2 + 25· вставить график поверхности с панели графиков и ввести в левом нижнем углу z; щелкнуть ЛКМ вне макета графика проверить вращение графика. Задание 6. Построить графики поверхностей, описываемые функциями a) z = 3x 3 – 4y 2 , для 0 x 3, 0 y 4; b) z = (x −1) 2 + y 2 , для 0 x 5, 0 y 4; c) z = cos 2 x + sin 2 y, для 0 x 5, 0 y 6; d) z = x + cos (xy), для 0 x 4, 0 y 3. Контрольные вопросы 1. Как построить на одном макете графики двух функций 2. Как строится график поверхности 3. Как происходит форматирование графиков 2.5.14. Практическая работа № 14 Символьные вычисления в системе MathCAD Цель занятия освоение аппарата символьных вычислений системы MathCAD. Краткие теоретические сведения Для проведения символьных вычислений в системе MathCAD предназначена панель Символы (Символика, на которой собраны различные символьные операторы. Процесс символьных вычислений проводится в два – три этапа 1) ввод математического выражения 2) вставка символьного оператора 3) ввод заданной переменной (в некоторых случаях. В конце процесса нужно щелкнуть ЛКМ вне обрабатываемого выражения и получить результат. При проведении символьных вычислений можно использовать следующие символьные операторы simplify – упрощает выражения, например х + 2· у) · z – z 2 · (x + 5· y) simplify z · x + 2 · z · y – z 2 · x – 5· z 2 · y; substitute – для подстановки выражения вместо переменной a · x 2 + b · x + c substitute , x = 2 · y 4 · a · y 2 + 2· b · y + c; collect – приведение выражения к полиному по заданной переменной (приведение подобных слагаемых ; 2 y 2 z 5 y z 2 x ) y 2 z z ( x , collect ) y 5 x ( y 2 z z ) y 2 x ( ; x z y ) x 2 z z 2 ( 2 y 2 z 5 y , collect ) y 5 x ( y 2 z z ) y 2 x ( ; z ) y 2 x ( 2 z ) y 5 x ( y z , collect ) y 5 x ( y 2 z z ) y 2 x ( coeffs – вычисление полиномиальных коэффициентов ; y 2 z z z 2 y 2 z 5 y z 2 x , coeffs z ) y 5 x ( y 2 z z ) y 2 x ( ; 2 y 5 x y 1 y 2 x 0 z , coeffs z ) y 5 x ( y 2 z z ) y 2 x ( 1 11 28 99 x , coeffs 99 7 x 4 x ; expand – операция символьного разложения, или расширения, выражений, входе которого раскрываются все суммы и произведения, а сложные тригонометрические зависимости разлагаются с помощью тригонометрических тождеств ); x ( cos ) x ( sin 2 and exp ) x 2 ( sin ); x ( cos ) x ( sin 2 x , and exp ) x 2 ( sin 69 parfrac – разложение дробина простейшие ; 2 x 63 1 x 21 11 x , parfac , convert 2 x 3 2 x 1 x 9 2 x 11 factor – в зависимости от введенного выражения сворачивает полином в произведение полиномов раскладывает целое число на простые множители приводит дроби к общему знаменателю 7 2 2 factor 28 ; 4 2 x 2 x 2 x factor 16 Задания и порядок их выполнения Задание 1. Упростить выражения a) (3sin (x) + 2cos (x)) 2 + (2sin (x) – 3cos (x)) 2 ; b) (1 – sin (x) · cos (x) · tg (x)) + sin 2 (x) + 3; c) cos (2x) + sin (2x) · tg (x). Задание 2. Разложить числа на простые множители 1) 1245; 2) 7544; 3) 7935; 4) 6278. Задание 3. Подставить в заданную функцию вместо x заданное выражение a) 2 x 2 t y sin x cos , ; 1 t 1 1 x b) 3 x 4 ) 2 t y tg x (cos , ; 2 1 t 1 t x c) 3 x 5 2 t x cos x ln , ; 3 1 t 1 t x d) 3 2 x 3 5 y cos x sin , 3 2 t 1 t Задание 4. Привести выражения к полиному попеременной 7y; c) 9 + (3 – z)y – 2y(x + 4y); d) (7 – 2y)(z – 3y) + 6x – 9y. Задание 5. Получить полиномиальные коэффициенты попеременной для выражений из предыдущего задания. Задание 6. Свернуть полином в произведение полиномов a) x 4 – 2x 3 + x 2 – 12x + 20; b) x 4 + 6x 3 + x 2 – 4x – 60; c) x 4 – 14x 2 – 40x – 75; d) x 4 – x 3 + x 2 – 11x + 10. Задание 7. Разложить выражения на элементарные дроби ; x 3 x 1 x 2 x 6 ) a ; 1 x 1 x 2 x 2 2 x 3 ) b 3 x 2 1 x 2 x 16 x 4 Задание 8. Применить оператора 8) + (x – 4)(x + 2) – (x – 5)(x + 1) – x 2 + 4x – 7; d) sin2x – cos4x + tg2x. Контрольные вопросы 1. Этапы процесса символьных вычислений. 2. Символьные операторы и их возможности. |