Альфа. Методические рекомендации по выполнению самостоятельной работы студентов разработаны в рамках общепрофессиональной дисциплины опд. Ф. 05 Метрология, стандартизация и сертификация
 Скачать 0.82 Mb.
|
|
Задача 2 . Случайная величина х подчинена закону распределения, плотность которого задана графически на рис. 2. Рис. 2. Кривая плотности распределения вероятностей Записать выражение для плотности распределения ( ) x f , найти математическое ожидание x m , дисперсию x D , среднее квадратическое отклонение σ случайной величины х Решение: Выражение плотности распределения имеет вид: ( ) ⎩ ⎨ ⎧ > < < < = 1 0 0 , 1 0 x или x при x при x a x f Пользуясь свойством плотности распределения ( ) 1 2 2 ; 1 1 0 1 0 1 0 2 = = = = ∫ ∫ a x a dx x a dx x f , находим 2 = a Математическое ожидание величины х : 3 2 3 2 2 1 0 3 1 0 2 = = = ∫ x dx x m x Дисперсию найдем через второй центральный момент: = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + − = ⋅ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + − = ⋅ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − = ∫ ∫ ∫ dx x x x dx x x x dx x x D x 1 0 2 3 1 0 2 2 1 0 9 4 3 4 2 9 4 3 4 2 2 3 2 13 18 1 2 9 4 3 3 4 4 2 1 0 1 0 1 0 2 3 4 = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + − = x x x , отсюда 2 3 1 = = x x D σ Ответ: 2 3 1 ; 18 1 ; 3 2 = = = x x x D m σ Задача 3. При измерении среднего диаметра резьбового калибра были получены нормально распределенные результаты наблюдений, которые представлены в таблице 4.6. Определить, есть ли среди этих данных результаты, содержащие грубую погрешность при доверительной вероятности Р=0,99. Решение: Т.к. 20 = n для определения наличия результата, содержащего грубую погрешность воспользуемся критерием «трех сигм». Найдем среднее арифметическое результатов наблюдений и точечную оценку СКО: = = ∑ = 20 1 20 1 i i x X 18,308 мм, ( ) 0028 , 0 1 20 1 20 1 2 = − − = ∑ = i i x X x S мм. Таблица 1. Результаты измерений и расчетов 007 , 0 0085 , 0 3 20 = − > = X x S x . Следовательно, в наших измерениях нет результата, содержащего грубую погрешность. i , i x мм ( ) , X x i − мм ( ) 6 2 10 − ⋅ − X x i 1 18,305 –0,003 9 2 18,308 +0,000 0 3 18,311 +0,003 9 4 18,309 +0,001 1 5 18,304 –0,004 16 6 18,306 –0,002 4 7 18,310 +0,002 4 8 18,303 –0,005 25 9 18,308 +0,000 0 10 18,306 –0,002 4 11 18,312 +0,004 16 12 18,305 –0,003 9 13 18,307 –0,001 1 14 18,308 +0,000 0 15 16 17 18 19 18,309 18,308 18,307 18,309 18,310 +0,001 +0,000 –0,001 +0,001 +0,002 1 0 1 1 4 308 , 18 = X мм 0028 , 0 = x S мм 14 Средства измерений Задача 1. Найти относительную погрешность вольтметра класса точности 1,0 с диапазоном измерений от 0 до 150 В, в точке шкалы 50 В. Ответ: 3 %. Задача 2. Имеются 3 вольтметра: класса точности 1,0 с номинальным напряжением 300 В, класса 1,5 на 250 В и класса 2,5 на 150 В. Определить, какой из вольтметров обеспечит большую точность измерения напряжения 130 В. Ответ: первый. Задача 3. Определите относительную погрешность измерения в начале шкалы (для 30 делений) для прибора класса 0,5, имеющего шкалу на 100 делений. Ответ: 1,7%. Задача 4. При измерении напряжения импульсным вольтметром В4- 14, класса точности 2/0,2, с верхним диапазоном измерения 220 В, его показания были равны 100 В. Определите относительную погрешность вольтметра. Ответ: 2,2 %. Задача 5. По приведенной погрешности определить класс точности миллиамперметра, который необходим для измерения тока от 0,1 мА до 0,5 мА (относительная погрешность измерения не должна превышать 1%). Решение: мА мА x x 001 , 0 % 100 1 , 0 % 1 % 100 % 100 = ⋅ = ⋅ δ = Δ ⇒ ⋅ Δ = δ (измеренное значение тока – х, берем в начале шкалы, так как в начале шкалы относительная погрешность измерения больше). % 2 , 0 5 , 0 % 100 001 , 0 % 100 = ⋅ = ⋅ Δ = γ мА мА x N Ответ: класс точности миллиамперметра 0,2. Задача 6. При поверке амперметра с пределом измерений 5 А в точках шкалы: 1; 2; 3; 4; и 5 А получены следующие показания образцового прибора: 0,95; 2,06; 3,05; 4,07; и 4,95 А. Определить абсолютные, относительные и приведенные погрешности в каждой точке шкалы и класс точности амперметра. Ответ: класс точности амперметра 1,4. 15 ПРИМЕРЫ КОНТРОЛЬНЫХ РАБОТ Контрольная работа №1 «Единицы системы СИ и размерность физических величин» 1. Расстояние от Приозерска до острова Валаам 51 км. За какое время преодолевает это расстояние прогулочный катер, развивающий скорость 15 узлов? 2. Давление воздуха в пневматической сети завода составляет 4 ат. Выразите давление в единицах системы СИ. 3. Единицей измерения электрической ёмкости является фарад. Запишите размерность электрической ёмкости. 4. Выразите значения физических величин, используя соответствующие приставки: 10 10 330 − ⋅ Ф, 6 10 6 , 45 − ⋅ А, 7 10 3 , 12 ⋅ Дж Контрольная работа №2 «Расчет погрешностей» 1. Определите относительную погрешность в измерениях лазерным дальномером расстояния до Луны (384 395 км) с абсолютной погрешностью 0,5 м. 2. Пользуясь правилом округления, как следует записать результаты 148935 и 575,3455, если первая из заменяемых цифр является пятой по счету (слева направо)? 3. Основная приведенная погрешность амперметра, рассчитанного на ток 10 А, составляет ±2.5%. Определите относительную погрешность для отметки шкалы 1 А. 4. Пользуясь методом сличения, определили, что показания образцового вольтметра 1 В, а поверяемого 0.95. Чему равна приведенная погрешность поверяемого вольтметра, если его диапазон измерений от 0 до 15 В. Контрольная работа №3 «Исключение грубой погрешности и определение границ доверительного интервала» 1. После проведения 5-ти кратных измерений напряжения были получены следующие результаты: 101 В; 103 В; 103 В; 107 В; 102 В. Оценить пригодность четвертого результата. 16 2. По результатам 11-ти наблюдений было определено среднее значение величины сопротивления 17,35 Ом, СКО среднего арифметического составило 0,017 Ом. Найдите доверительную границу погрешности результата измерений, если доверительная вероятность Р=95%. 3. Найти вероятность того, что случайная величина х сцентром распределения 0 , 6 = x m и 6 , 1 = σ не находится в пределах 3,2<х<8. Ответ выразите в процентах. 4. Среднее квадратическое отклонение 004 , 0 = σ Определить вероятность того, что случайная погрешность выйдет за пределы доверительного интервала с границами ±0,01. Ответ выразить в процентах. Контрольная работа №4 «Расчет вероятности безотказной работы» 1. В технических условиях на амперметры и вольтметры типа Э8027 указано, что минимальное значение вероятности безотказной работы равно 0,96 за 2000 ч. Сколько приборов из 225 приборов данного типа после 2000 ч работы, как правило, будут нуждаться в ремонте? 2. По данным ремонтной мастерской в среднем 50 % отказов осциллографов обусловлено выходом из строя транзисторов, 15 % – конденсаторов, 12 % – резисторов, 5 % – электронно-лучевых трубок, а остальные отказы обусловлены другими причинами. Найти вероятность Р(А) отказа осциллографа по другим причинам. 3. Определить интенсивность отказа прибора, состоящего из 45123 элементов, если известно, что за 1200 часов работы отказало 7 элементов. 4. Определить вероятность отказа за 1000 часов измерительного преобразователя, состоящего из двух резисторов с интенсивностью отказов 6 10 5 − ⋅ = p λ и конденсатора с интенсивностью отказов 5 10 − = k λ 17 ПРИМЕРЫ ДОМАШНИХ ЗАДАНИЙ Домашнее задание № 1 «Погрешности средств измерений» 1. Показания часов в момент поверки 9 ч 47 мин. Определите абсолютную и относительную погрешности часов, если действительное значение времени 9 ч 45 мин. 2. Определите абсолютную погрешность измерения постоянного тока амперметром, если он в цепи с образцовым сопротивлением 5 Ом показал ток 5 А, а при замене прибора образцовым амперметром для получения тех же показаний пришлось уменьшить напряжение на 1 В. 3. При поверке концевой меры длины номинальном размером 30 мм было получено значение 30.0005 мм. Определите абсолютную и относительную погрешности. 4. Определить приведенную погрешность вольтметра, если его диапазон измерений от –10Вдо+10В, значение поверяемой отметки шкалы равно 7В. Действительное значение измеряемой величины 6.97 В. Домашнее задание № 2 «Обработка результатов измерений» 1. Случайная величина х подчинена треугольному закону распределения (рис.). Записать выражение для плотности распределения f(х), найти математическое ожидание т х , дисперсию D х , среднее квадратическое отклонение σслучайной величины х. 2. При измерении длины получены следующие результаты: 54,9 мм; 55,6 мм; 54,0 мм; 55,2 мм; 55,5 мм; 54,8 мм; 55,1 мм; 55,3 мм. Определите границы доверительного интервала для среднего квадратического отклонения (СКО) результатов наблюдений. 18 3. Взвешивание слитка дало следующие результаты: 150,361 г; 150,357 г; 150,352 г; 150,346 г; 150,344 г; 150,340 г; 150,360 г; 150,355 г. Определите доверительный интервал для среднего значения при доверительной вероятности Р = 0,97. 4. Для оценки партии линеек из нее сделали случайную выборку объемом n = 30 линеек, при этом в результате измерений среднее значение их длины равно 1000 = X мм, а среднее квадратическое отклонение σ = ±3мм. Сколько процентов линеек в партии будет забраковано при сплошной проверке? Домашнее задание № 3 «Расчет надежности прибора и определение пригодности средств измерений» 1. Определить вероятность безотказной работы Р(t) за 1000 часов для измерительного преобразователя, состоящего из элементов с интенсивностями отказов: 5 1 10 5 − ⋅ = λ , 6 2 10 8 − ⋅ = λ , 5 3 10 2 , 4 − ⋅ = λ , 7 4 10 2 − ⋅ = λ , 6 5 10 5 , 3 − ⋅ = λ 2. Определить вероятность безотказной работы электроизмеритель- ного преобразователя за 1000 часов работы, если он состоит из 3-х транзисторов, 5-ти керамических сопротивлений, 7-и обычных резисторов. Интенсивность отказа определить, исходя из условий: за 10000 часов отказывает 5 из 1000 транзисторов, 4 из 100 керамических сопротивлений и 1 из 10 резисторов. 3. Для измерения напряжения от 50 В до 140 В с относительной погрешностью, не превышающей 3%, был заказан вольтметр, имеющий класс точности 1,0 и верхний предел измерений 200 В. Удовлетворяет ли он поставленным условиям? 4. Определить пригодность вольтметра с диапазоном измерения от 0 до 200 В и классом точности 1,0. При непосредственном сличении его показаний с показаниями образцового вольтметра были получены следующие результаты: Рабочий, В 50 100 150 180 200 Образцовый, В 49,8 101,5 152,9 183,2 199,9 Образцовый вольтметр имеет систематическую погрешность 0,6. 19 ВАРИАНТЫ ДОМАШНИХ ЗАДАНИЙ Домашнее задание № 1 «Погрешности средств измерений» Вариант № 1 Задача 1. Значение силы электрического тока, полученное при измерении, 2,65 А, погрешность ±0,006145 А. Записать результат измерения, пользуясь правилами округления. Задача 2 Основная приведенная погрешность амперметра, рассчитанного на ток 10 А, составляет 2,5%. Определите возможную абсолютную погрешность для первой отметки шкалы (1 А). Задача 3 . Измерения линейкой из тугоплавкого сплава будут проводиться при температуре, превышающей номинальную на 1000 К. Какой будет в этом случае температурная поправка? Задача 4 . Пользуясь методом сличения, определили, что показания образцового вольтметра 1 В, а поверяемого 0,95 В. Найдите абсолютную погрешность и поправку для поверяемого прибора. Вариант № 2 Задача 1. Определите абсолютную погрешность атомных часов, использующих колебания молекул газа на частоте 10 10 3 ⋅ Гц, за год, если известна их относительная погрешность 10 10 5 , 0 − ⋅ Задача 2 . Записать результат измерения следующих значений физических величин, пользуясь правилами округления: 6783,6 мм; 5499,74 с; 12,34501 кг. Погрешность ±0,0001. Задача 3 . Найти абсолютную, относительную и приведенную погрешности вольтметра класса точности 1,0 с диапазоном измерений от 0 до 80 В, в точке шкалы 20 В. Задача 4 . Определить, что измерено точнее пальпаторным методом: пульс покоя за 1 мин (р1 = 72 уд.) или за 10 с (р2 = 11 уд.), если абсолютная погрешность измерения 1 ± = Δp уд. 20 Вариант № 3 Задача 1. Напишите округленные до целых следующие результаты измерений: 1234,50 мм; 8765,50 кг; 43210,500 с. Задача 2 . Определить погрешность при измерении тока амперметром класса точности 1,5, если номинальный ток амперметра равен 20 А, а показание амперметра 10 А. Задача 3 . При поверке гири с номинальным значением 2 кг было получено значение 1,999 кг. Определить абсолютную и относительную погрешности измерений. Задача 4 . Определите абсолютную погрешность измерения напряжения в сети постоянного тока вольтметром, если он в сети с образцовым сопротивлением 7 = R Ом показал напряжение 140 В, а при замене прибора образцовым вольтметром для получения тех же показаний пришлось уменьшить напряжение на 1 В. Вариант № 4 Задача 1 . Вольтметр класса точности 0,5 имеет диапазон измерений от 0 до 100 В. Определить допускаемую абсолютную и относительную погрешности, если стрелка вольтметра остановилась на делении шкалы против цифры 30 В. Задача 2 . Двумя амперметрами на 20 А был измерен ток на выходе трансформатора. Первый имеет погрешность 1% от верхнего предела и показал 4 А, а второй имеет погрешность 2% от верхнего предела и показал 3,98 А. Найти относительную погрешность второго амперметра. Задача 3. Пользуясь правилом округления, как следует записать результаты 148935 и 575,3455, если первая из заменяемых цифр является пятой по счету (слева направо)? Задача 4 . 1 аршин равен 2/3 м с погрешностью 6,7%. В обиходе пользуются еще соотношением 1 м = 1,5 аршина. Зная, что 1 аршин = 0,7112 м, определите погрешность последнего допущения. 21 Домашнее задание № 2 «Обработка результатов измерений» Вариант № 1 Задача 1. Вычислить математическое ожидание, дисперсию, среднеквадра-тическое отклонение случайной величины x, а также среднее значение величины для постоянного распределения a b x − = 1 ) ( ϕ Задача 2. Закон распределения скоростей молекул газа задаётся формулой Максвелла 2 2 3 4 ) ( kv e v k v − = π ϕ . Вычислить дисперсию для данного распределения. Задача 3. Проводили измерения длины L металлического бруска. Было сделано 10 измерений и получены следующие значения: 10 мм, 11 мм, 12 мм, 13 мм, 10 мм, 10 мм, 11 мм, 10 мм, 10 мм, 11 мм. Требуется найти среднее значение L измеряемой величины (длины бруска) и его погрешность L Δ Задача 4. Для некоторого случайного процесса график зависимости плотности вероятности от значения переменной x выглядит следующим образом: Рис. 1. Найти величину a. Вариант № 2 Задача 1. Вычислить математическое ожидание, дисперсию, среднеквадратичное отклонение случайной величины x и записать итог измерений, используя следующие данные: X 0 1 2 3 P 0,1 0,3 0,5 0,1 22 Задача 2. По результатам 11-ти наблюдений длины было получено среднее арифметическое значение. Определить доверительный интервал, в котором находится истинное значение длины, если СКО результатов наблюдений S = 3,74 мм, доверительная вероятность Р = 0,9%. Задача 3. Массив экспериментальных данных, полученных с помощью цифрового измерительного прибора, представлен в таблице. Каждое i x -е число повторяется i m раз. Постройте гистограмму, дающую представление о плотности распределения результатов наблюдений. i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 i x 90,1 90,11 90,12 90,13 90,14 90,15 90,16 90,17 90,18 90,19 90,2 i m 1 2 5 10 20 24 19 11 5 2 1 |