В.М. Волков Математика. Программа, контрольные работы №9, 10 и методические указания для студентов-заочников инженерно-техническ. В.М. Волков Математика. Программа, контрольные работы №9, 10 и м. Методические указания для студентов заочников инженернотехнических специальностей 2 курса Составитель В. М. Волков Утверждены на заседании кафедры
 Скачать 337.5 Kb.
|
|
10000 0 0002 , , , то используем формулу Пуассона. Введём событие A - не менее двух билетов выигрышных, противоположное к нему событие A - менее двух билетов выигрышных, то есть один билет выигрышный или ни одного. Тогда (((( )))) (((( )))) (((( )))) (((( )))) (((( )))) (((( )))) (((( )))) P A P A P P np e np e e e e np np ==== −−−− ==== −−−− ++++ ==== −−−− ++++ ==== ==== −−−− −−−− ==== −−−− ≈≈≈≈ −−−− ==== −−−− −−−− −−−− −−−− 1 1 0 1 1 0 1 1 2 1 2 1 1 3 1 0 41 0 59 10000 10000 0 1 0 2 1 2 2 ! ! , , . Законы распределения дискретных случайных величин, определение числовых характеристик (задачи № 91-120) рассмотрены в [1, гл.6-7; 2, гл.4, п.1,3]. Пример. Предполагая одинаковыми вероятности рождения мальчика и девочки, составить закон распределения случайной величины X , которая выражает число мальчиков в семье, имеющей четырёх детей. Найти её математическое ожидание, дисперсию, среднее квадратическое отклонение. Решение. Случайная величина X - число мальчиков в семье, имеющей четырёх детей, может принимать пять значений 0, 1, 2, 3, 4. Случайная величина X имеет биномиальное распределение, значит вероятности находятся по формуле Бернулли [1, гл.5, п.1; 2, гл.3, п.1]. при n p k q p ==== ==== ==== ==== −−−− ==== −−−− ==== 4 0 5 0 1 2 3 4 1 1 0 5 0 5 ; , ; , , , , , , , (((( )))) (((( )))) P X P C p q ==== ==== ==== ⋅⋅⋅⋅ ⋅⋅⋅⋅ ==== 0 0 1 16 4 4 0 0 4 ; (((( )))) (((( )))) P X P C p q ==== ==== ==== ⋅⋅⋅⋅ ⋅⋅⋅⋅ ==== ==== 1 1 4 16 1 4 4 4 1 1 3 ; (((( )))) (((( )))) P X P C p q ==== ==== ==== ⋅⋅⋅⋅ ⋅⋅⋅⋅ ==== ==== 2 2 6 16 3 8 4 4 2 2 2 ; (((( )))) (((( )))) P X P C p q ==== ==== ==== ⋅⋅⋅⋅ ⋅⋅⋅⋅ ==== ==== 3 3 4 16 1 4 4 4 3 3 1 ; ( ) ( ) . 16 1 q p C 4 P 4 X P 0 4 4 4 4 = ⋅ ⋅ = = = Запишем закон распределения случайной величины X X 0 1 2 3 4 P 1/16 1/4 3/8 1/4 1/16 Контроль: p i i ==== ∑ ∑ ∑ ∑ ==== ++++ ++++ ++++ ++++ ==== 1 5 1 16 1 4 3 8 1 4 1 16 1 . Закон составлен правильно. Так как случайная величина имеет биномиальное распределение, то математическое ожидание (((( )))) M X np ==== ==== ⋅⋅⋅⋅ ==== 4 0 5 2 , , дисперсия (((( )))) D X npq ==== ==== ⋅⋅⋅⋅ ⋅⋅⋅⋅ ==== 4 0 5 0 5 1 , , , среднее квадратическое отклонение (((( )))) (((( )))) σσσσ X D X ==== ==== 1 В некоторых задачах при подсчёте вероятностей возможных значений случайной величины следует использовать основные теоремы теории вероятностей. Пример. Студент с вероятностью 2/3 даёт правильный ответ на любой предложенный на экзамене вопрос. Студент может взять три вопроса, причём каждый следующий вопрос берётся только в том случае, если предыдущий ответ был неправильный. Составить закон распределения случайной величины X - числа взятых студентом вопросов. Найти её математическое ожидание, дисперсию, среднее квадратическое отклонение. Решение. Случайная величина X - число взятых студентом вопросов- может принимать значения 1, 2, 3. Для подсчёта вероятностей возможных значений введём события : A i - студент даёт правильный ответ на i -й вопрос; : A i - студент даёт неправильный ответ на i -й вопрос ( i =1, 2, 3). (((( )))) (((( )))) (((( )))) P A P A P A i i i ==== ==== −−−− ==== −−−− ==== 2 3 1 1 2 3 1 3 ; Определяем вероятности возможных событий (((( )))) (((( )))) P X P A ==== ==== ==== 1 2 3 1 ; (((( )))) (((( )))) (((( )))) (((( )))) P X P A A P A P A ==== ==== ⋅⋅⋅⋅ ==== ⋅⋅⋅⋅ ==== ⋅⋅⋅⋅ ==== 2 1 3 2 3 2 9 1 2 1 2 ; ( ) ( ) ( ) ( ) . 9 1 3 1 3 1 A P A P A A P 3 X P 2 1 2 1 = ⋅ = ⋅ = ⋅ = = Составляем закон распределения случайной величины X X 1 2 3 P 2/3 2/9 1/9 Контроль: p i i ==== ∑ ∑ ∑ ∑ ==== ++++ ++++ ==== 1 3 2 3 2 9 1 9 1 . Закон составлен правильно. Вычисляем числовые характеристики. Математическое ожидание (((( )))) M X x p i i i ==== ⋅⋅⋅⋅ ==== ⋅⋅⋅⋅ ∑ ∑ ∑ ∑ ++++ ⋅⋅⋅⋅ ++++ ⋅⋅⋅⋅ ==== ==== 1 2 3 2 2 9 3 1 9 13 9 1 3 Дисперсию определяем по формуле (((( )))) (((( )))) (((( )))) D X M X M X ==== −−−− 2 2 . Здесь (((( )))) M X x p i i i 2 1 3 1 2 3 4 2 9 9 1 9 23 9 ==== ⋅⋅⋅⋅ ==== ⋅⋅⋅⋅ ∑ ∑ ∑ ∑ ++++ ⋅⋅⋅⋅ ++++ ⋅⋅⋅⋅ ==== ==== (((( )))) D X ==== −−−− ==== 23 9 13 9 38 81 2 Среднее квадратическое отклонение (((( )))) (((( )))) σσσσ X D X ==== ==== ≈≈≈≈ 38 81 0 68 , В некоторых задачах следует производить непосредственный подсчёт вероятностей возможных значений случайной величины. Пример. В лотерее из десяти билетов три выигрышных. Наудачу взяты два билета. Составить закон распределения случайной величины X - числа невыигрышных билетов среди отобранных. Найти её математическое ожидание, дисперсию, среднее квадратическое отклонение. Решение. Случайная величина X - число невыигрышных билетов среди отобранных - может принимать значения: 0, 1, 2. Найдём соответствующие им вероятности. Событие X ==== 0 означает, что среди двух взятых билетов оба выигрышных. Тогда (((( )))) P X C C ==== ==== ==== ==== 0 3 45 1 15 3 2 10 2 Событие X ==== 1 означает, что среди двух взятых билетов один выигрышный и один невыигрышный. Тогда (((( )))) P X C C C ==== ==== ⋅⋅⋅⋅ ==== 1 7 15 3 1 7 1 10 2 Событие X ==== 2 означает, что среди двух взятых билетов оба невыигрышных. Тогда (((( )))) P X C C ==== ==== ==== 2 7 15 7 2 10 2 Составляем закон распределения случайной величины X X 0 1 2 P 1/15 7/15 7/15 Контроль: p i i ==== ∑ ∑ ∑ ∑ ==== ++++ ++++ ==== 1 3 1 15 7 15 7 15 1 . Закон составлен правильно. Вычисляем числовые характеристики. Математическое ожидание (((( )))) M X x p i i i ==== ⋅⋅⋅⋅ ==== ⋅⋅⋅⋅ ∑ ∑ ∑ ∑ ++++ ⋅⋅⋅⋅ ++++ ⋅⋅⋅⋅ ==== ==== ==== 0 1 15 1 7 15 2 7 15 21 15 1 4 1 3 , Дисперсию определяем по формуле (((( )))) (((( )))) (((( )))) D X M X M X ==== −−−− 2 2 . Здесь (((( )))) M X x p i i i 2 1 3 0 1 15 1 7 15 4 7 15 7 3 2 33 ==== ⋅⋅⋅⋅ ==== ⋅⋅⋅⋅ ∑ ∑ ∑ ∑ ++++ ⋅⋅⋅⋅ ++++ ⋅⋅⋅⋅ ==== ≈≈≈≈ ==== , (((( )))) (((( )))) D X ==== −−−− ==== 2 33 1 4 0 37 2 , , , Среднее квадратическое отклонение (((( )))) (((( )))) σσσσ X D X ==== ==== ≈≈≈≈ 0 37 0 61 , , Закон распределения непрерывной случайной величины может быть задан функцией распределения (((( )))) F x ( интегральная функция) или функцией плотности вероятностей (((( )))) f x (дифференциальная функция). Для решения задач № 121-150 надо знать определение функции плотности вероятностей, формулы, позволяющие находить числовые характеристики, а также уметь определять вероятность попадания случайной величины в заданный интервал. Соответствующие вопросы изложены в [1, гл.10-11; 2, гл.6, п.1-3]. Пример. Функция распределения случайной величины имеет вид (((( )))) F x x x x x ==== ≤≤≤≤ <<<< ≤≤≤≤ >>>> 0 0 3 0 3 1 3 , , , , , . Требуется найти плотность распределения, математическое ожидание, дисперсию и вероятность попадания случайной величины в интервал (((( )))) 2 4 , Решение. Найдём функцию плотности вероятностей по определению (((( )))) (((( )))) f x F x ==== ′′′′ . Для этого продифференцируем функцию (((( )))) F x , то есть (((( )))) f x x x x ==== ≤≤≤≤ <<<< ≤≤≤≤ >>>> 0 0 1 3 0 3 0 3 , , , , , . Числовые характеристики вычисляем по формулам (((( )))) (((( )))) (((( )))) (((( )))) (((( )))) (((( )))) M X x f x dx D X x M X f x dx ==== ⋅⋅⋅⋅ ∫∫∫∫ ==== −−−− ⋅⋅⋅⋅ ∫∫∫∫ −−−− ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ −−−− ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ; 2 Иногда для определения дисперсии удобно использовать формулу (((( )))) (((( )))) (((( )))) (((( )))) D X x f x dx M X ==== ⋅⋅⋅⋅ −−−− ∫∫∫∫ −−−− ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ 2 2 Так как (((( )))) f x задана на разных интервалах различными аналитическими выражениями, то несобственный интеграл при нахождении математи- ческого ожидания и дисперсии будет представлен в виде суммы интегралов (((( )))) M X x dx x dx x dx x dx x ==== ⋅⋅⋅⋅ ⋅⋅⋅⋅ ∫∫∫∫ ++++ ⋅⋅⋅⋅ ⋅⋅⋅⋅ ∫∫∫∫ ++++ ⋅⋅⋅⋅ ⋅⋅⋅⋅ ∫∫∫∫ ==== ⋅⋅⋅⋅ ∫∫∫∫ ==== ⋅⋅⋅⋅ ==== ⋅⋅⋅⋅ ==== −−−− ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ 0 1 3 0 1 3 1 3 2 1 3 9 2 3 2 0 0 3 3 0 3 2 0 3 Дисперсию вычисляем по второй формуле (((( )))) D X x dx x dx x dx x dx x ==== ⋅⋅⋅⋅ ⋅⋅⋅⋅ ∫∫∫∫ ++++ ⋅⋅⋅⋅ ⋅⋅⋅⋅ ∫∫∫∫ ++++ ⋅⋅⋅⋅ ⋅⋅⋅⋅ ∫∫∫∫ −−−− ==== ⋅⋅⋅⋅ ∫∫∫∫ −−−− ==== ==== ⋅⋅⋅⋅ −−−− ==== ⋅⋅⋅⋅ −−−− ==== −−−− ==== −−−− ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ 2 0 2 0 3 2 3 2 2 0 3 3 0 3 0 1 3 0 3 2 1 3 9 4 1 3 3 9 4 1 3 9 9 4 3 2 1 4 3 4 . Найдём вероятность попадания случайной величины в заданный интервал по формуле (((( )))) (((( )))) (((( )))) P X F F 2 4 4 2 1 2 3 1 3 <<<< <<<< ==== −−−− ==== −−−− ==== Для решения задач № 151-180 следует изучить закон нормального распределения. Соответствующий вопрос изложен в [1, гл.12, п.2,5; 2, гл.6, п.5]. Пример. Случайная величина X распределена по нормальному закону с математическим ожиданием a ==== 3 2 , и средним квадратическим отклонением σσσσ ==== 0 8 , . Записать плотность распределения . Найти веро- ятность попадания случайной величины в интервал (((( )))) 2 5 , Решение. Так как случайная величина X распределена по нормаль- ному закону, то её функция плотности имеет вид (((( )))) (((( )))) (((( )))) (((( )))) (((( )))) f x e f x e x a x ==== ⋅⋅⋅⋅ ==== ⋅⋅⋅⋅ −−−− −−−− −−−− −−−− 1 2 1 0 8 2 2 2 2 2 2 3 2 2 0 8 σσσσ ππππ ππππ σσσσ ; , , , Вероятность того, что случайная величина примет значение из интервала (((( )))) 2 5 , , определяется по формуле (((( )))) (((( )))) (((( )))) (((( )))) (((( )))) P X a a 2 5 5 3 2 0 8 2 3 2 0 8 2 25 1 5 2 25 1 5 <<<< <<<< ==== −−−− −−−− −−−− ==== −−−− −−−− −−−− ==== ==== −−−− −−−− ==== ++++ Φ Φ Φ Φ Φ Φ Φ Φ Φ Φ Φ Φ Φ Φ Φ Φ Φ Φ Φ Φ Φ Φ Φ Φ Φ Φ Φ Φ Φ Φ Φ Φ ββββ σσσσ αααα σσσσ , , , , , , , , . По прил. 2 «Таблица значений функции (((( )))) Φ Φ Φ Φ x e dx x x ==== ⋅⋅⋅⋅ ∫∫∫∫ −−−− 1 2 2 2 0 ππππ » [1, с. 462; 2, 326] определяем значения функции (((( )))) (((( )))) Φ Φ Φ Φ Φ Φ Φ Φ 2 25 0 4878 1 5 0 4332 , , , , , . ==== ==== (((( )))) P X 2 5 0 4878 0 4332 0 921 <<<< <<<< ==== ++++ ==== , , , . Контрольная работа № 10 Для выполнения работы следует изучить соответствующий материал по литературе [1, гл.15-17; 2, гл.9-13]. Одной из задач математической статистики является установление закономерностей массовых случайных явлений, основанное на изучении результатов наблюдений. Покажем на примере системати- зацию опытных данных и вычисление числовых характеристик. Пример 1. На угольных предприятиях определяли производитель- ность труда рабочих при проходке штрека (случайная величина |