В.М. Волков Математика. Программа, контрольные работы №9, 10 и методические указания для студентов-заочников инженерно-техническ. В.М. Волков Математика. Программа, контрольные работы №9, 10 и м. Методические указания для студентов заочников инженернотехнических специальностей 2 курса Составитель В. М. Волков Утверждены на заседании кафедры
 Скачать 337.5 Kb.
|
|
x m i x и y x 11. В конце каждой строки и столбца записываем суммы значений данной строки и столбца. Для определения коэффициента корреляции вычисляем значения x x m n i i ==== ==== ==== ∑ ∑ ∑ ∑ 11 16 50 0 22 , , ; y y m n i i ==== ==== ==== ∑ ∑ ∑ ∑ 6886 50 137 72 , ; xy x m y n i i x _ , , ; ==== ==== ==== ∑ ∑ ∑ ∑ 1646 75 50 32 935 x x m n i i 2 2 2 6344 50 0 0527 _ , , ; ==== ==== ==== ∑ ∑ ∑ ∑ y y m n i i 2 2 1116306 50 22326 12 _ , ; ==== ==== ==== ∑ ∑ ∑ ∑ (((( )))) (((( )))) (((( )))) σσσσ x b D X x x ==== ==== −−−− ==== −−−− ==== 2 2 2 0 0527 0 22 0 054 _ , , , ; (((( )))) (((( )))) (((( )))) σσσσ y b D Y y y ==== ==== −−−− ==== −−−− ==== 2 2 2 22326 12 137 72 57 96 _ , , , Определяем коэффициент корреляции r xy x y b x y ==== −−−− ⋅⋅⋅⋅ ⋅⋅⋅⋅ ==== −−−− ⋅⋅⋅⋅ ⋅⋅⋅⋅ ≈≈≈≈ _ , , , , , , σσσσ σσσσ 32 935 0 22 137 72 0 054 57 96 0 7 Так как r b ==== 0 7 , , то связь между признаками X и Y тесная, то есть скорость проходки зависит от производительности труда. Определим коэффициент регрессии ρρρρ σσσσ σσσσ y x b y x r ==== ⋅⋅⋅⋅ ==== ⋅⋅⋅⋅ ≈≈≈≈ 0 7 57 96 0 054 751 3 , , , , Запишем уравнение прямой регрессии (((( )))) y x x −−−− ==== −−−− 137 72 751 3 0 22 , , , или y x x ==== −−−− 751 3 17 57 , , Построим на одном чертеже полученную прямую регрессии и эмпирическую линию регрессии, отложив точки с координатами ( ) x y i x , ( x i -середины интервалов, y x - условные средние, вычислен- ные в табл. 6 в предпоследней строке) и соединив их ломаной. 0 14 , 0 18 , 0 22 , 0 26 , 0 3 , 0 34 , 100 150 200 300 Контрольная работа № 9 Теория вероятностей 1-30. Непосредственный подсчёт вероятностей 1. Из партии изготовленных шестерён, среди которых 20 годных и 5 бракованных, для контроля наудачу взято 8 штук. Определить вероятность того, что среди них будет 3 бракованных. 2. В партии из 50 деталей 5 нестандартных. Определить вероятность того, что среди выбранных наудачу 3 деталей все детали нестандартные. 3. На карточках написаны буквы А, Е, К, Р. Карточки тщательно перемешиваются и раскладываются в ряд. Какова вероятность того, что получится слово «РЕКА»? 4. Из карточек с буквами А, Б, В, Д наудачу последовательно выбирают три и раскладывают в ряд. Какова вероятность того, что получится слово «ДВА»? 5. Определить вероятность того, что серия наудачу выбранной облигации не содержит одинаковые цифры, если номер серии может быть любым пятизначным числом, начиная с 00001. 6. В ящике 12 писем, из них 7 иногородних и 5 городских. Какова вероятность того, что среди взятых наудачу 3 писем все письма будут городскими? 7. В партии из 20 телефонов 3 неисправных. Какова вероятность того, что из двух случайно взятых аппаратов оба будут хорошими? 8. Ребёнок играет с разрезной азбукой (33 буквы). Определить вероятность того, что при случайном вынимании 7 букв и расположении их в ряд он получит слово «самолёт». 9. Из 10 билетов выигрышными являются два. Определить вероят- ность того, что среди взятых наудачу 5 билетов оба выигрышных. 10. Слово «интеграл» составлено из букв разрезной азбуки. Наудачу случайно берут 4 карточки и раскладывают в ряд. Какова вероятность того, что получится слово «игра»? 11. Абонент забыл последнюю цифру телефона и поэтому набирает её наудачу. Какова вероятность того, что он сразу позвонит нужному лицу? Какова эта вероятность, если он вспомнит, что последняя цифра нечётная? 12. Имеется 5 букв разрезной азбуки К, Л, О, О, С. Какова вероятность того, что при случайном расположении букв в ряд получится «КОЛОС»? 13. Монета бросается дважды. Какова вероятность того, что хотя бы раз выпадет герб? 14. Набирая номер телефона абонент забыл две последние цифры и, помня лишь, что эти цифры различны, набрал их наудачу. Какова вероятность того, что номер набран правильно? 15. Три человека задумали по одной цифре каждый. Какова вероятность того, что они задумали разные цифры? 16. Три человека задумали по одной цифре каждый. Какова вероятность того, что они задумали одинаковые цифры? 17. Подсчитать вероятность того, что в выбранном наудачу телефонном номере, содержащем 4 цифры, все цифры различны. Предполагается, что номером может быть любое четырёхзначное число, начиная с 0001. 18. Задумано двузначное число. Найти вероятность того, что заду- манным числом окажется случайно названное двузначное число. 19. Каждая из букв Т, М, Р, О, Ш написана на одной из 5 карточек. Карточки перемешиваются и раскладываются наугад в ряд. Какова вероятность того, что образуется слово «ШТОРМ»? 20. На столе лежат 36 экзаменационных билетов с номерами от 1 до 36. Преподаватель берёт любые 3 билета. Какова вероятность того, что они из первой четвёрки? 21. Первенство по баскетболу оспаривают 18 команд, которые путём жеребьёвки распределяются на две группы по 9 команд в каждой. Какова вероятность того, что 9 лучших команд попадут в одну группу? 22. Какова вероятность того, что три друга попадут в комиссию, состоящую из трёх человек, если комиссию можно избрать из 10 человек? 23. Из 10 собранных узлов карданной передачи 2 получили высокую оценку. Определить вероятность того, что среди взятых наудачу двух узлов оба высокого качества. 24. В партии содержится 70 деталей, из которых 10 нестандартных. Какова вероятность того, что среди извлечённых наугад 7 деталей две нестандартные? 25. Четырёхтомное сочинение расположено на полке в случайном порядке. Какова вероятность того, что тома стоят в должном порядке справа налево или слева направо? 26. В пачке 20 перфокарт с номерами от 101 до 120, расположенны- ми в случайном порядке. Перфоратор наудачу извлекает две перфокарты. Определить вероятность того, что извлечены перфокарты с номерами 101 и 120. 27. Ящик содержит 100 деталей, из которых 10 нестандартных. Определить вероятность того, что среди трёх наудачу взятых из ящика деталей нет нестандартных. 28. Профессор вызвал через старосту на консультацию трёх студен- тов из шести отстающих. Староста забыл фамилии вызванных студентов и послал наудачу трёх отстающих студентов. Опреде- лить вероятность того, что староста послал именно тех студентов, которых вызвал профессор. 29. Числа 1, 2, 3, 4, 5 написаны на 5 карточках. Наудачу последовательно вынимают 3 карточки и раскладывают слева направо в порядке появления. Какова вероятность того, что получится число 324? 30. Куб, все грани которого окрашены, распилен на 1000 кубиков одинакового размера. Полученные кубики тщательно перемеша- ны. Какова вероятность того, что наудачу извлечённый кубик будет иметь две окрашенных грани? 31-60. Основные теоремы теории вероятностей (сложения, умножения, формулы полной вероятности и Байеса) 31. Два токаря обрабатывают одинаковые детали. Вероятность брака первого - 0,03; второго - 0,04. Обработанные детали складываются в одно место. Причём первый токарь изготавливает деталей в 2 раза больше, чем второй. Какова вероятность того, что взятая наудачу деталь не будет бракованной? 32. Рабочий у конвейера при сборке механизма устанавливает в него две одинаковые детали. Берёт он их случайным образом из имеющихся у него 10 штук. Среди деталей находятся две уменьшенного размера против номинала. Механизм не будет работать, если обе установленных детали окажутся уменьшенного размера. Найти вероятность того, что механизм будет работать. 33. Процесс изготовления детали состоит из нескольких операций. После первой и второй операции производится контроль качества, и при обнаружении брака деталь отбрасывается. Вероятность того, что деталь окажется бракованной после первой операции равна 0,02, а после второй - 0,1. Определить вероятность того, что деталь окажется отбракованной до третьей операции. 34. Для участия в студенческих отборочных спортивных соревнованиях выделено из первой группы курса - 4, из второй - 6, из третьей -5 студентов. Вероятности того, что студент первой, второй и третьей групп попадёт в сборную института, равны 0,9; 0,7; 0,8. Наудачу выбранный студент в итоге соревнования попал в сборную. К какой из групп вероятнее всего принадлежал студент? 35. Через остановку возле вокзала проходят трамваи маршрутов 5, 6, 7, 8. Пассажир ждёт трамвай 6 или 7. Известно, что среди 45 трамваев, идущих через эту остановку шесть трамваев маршрута номер 6 и де- вять маршрута номер 7. Найти вероятность того, что первый, подо- шедший к остановке трамвай, будет нужного пассажиру маршрута. (Предполагается равновероятным появление любого трамвая). 36. На складе готовой продукции находится пряжа, изготовленная двумя цехами фабрики, причём 20 % пряжи составляет продукция цеха № 2, а остальная - цеха № 1. Продукция цеха № 1 содержит 90%, а цеха № 2 - 70 % пряжи первого сорта. Взятый наудачу со склада моток пряжи оказался первого сорта. Определить вероятность того, что моток является продукцией цеха № 1. 37. Производится бомбометание по 3 складам боеприпасов, причём сбрасывается одна бомба. Вероятность попадания в первый склад - 0,01; во второй - 0,008; в третий - 0,025. При попадании в один из складов взрываются все три. Найти вероятность того, что склады будут взорваны. 38. Рабочий обслуживает три станка, работающие независимо друг от друга. Вероятность того, что в течение часа первый станок не потребует внимания рабочего, равна 0,9, для второго - 0,8 и для третьего - 0,85. Какова вероятность того, что в течение часа ни один станок не потребует внимания рабочего? 39. Из 60 вопросов, входящих в билеты, студент подготовил 50. Какова вероятность того, что вытянутый студентом билет, содержащий 2 вопроса, будет состоять из подготовленных им вопросов? 40. В ящике лежит 10 заклёпок, отличных друг от друга только мате- риалом: 5 - железных, 3 - латунных, 2 - медных. Наугад берут две за- клёпки. Какова вероятность того, что они будут из одного материала? 41. На распределительной базе находятся электрические лампочки, произведённые двумя заводами. Среди них 70 % изготовлены первым заводом и 30 % - вторым. Известно, что из каждых 100 лампочек, произведённых первым заводом, 90 штук удовлетворяют стандарту, а из 100 штук, произведённых вторым заводом, удовлетворяют стандарту 80 штук. Определить вероятность того, что взятая наудачу с базы лампочка будет удовлетворять требованиям стандарта. 42. В электрическую цепь последовательно включены приборы A 1 и A 2 , не взаимодействующие друг с другом. Вероятность выхода из строя прибора A 1 равна 0,1, а прибора A 2 - 0,2. Цепь выключается, если выйдет из строя хотя бы один прибор. Найти вероятность выхода из строя цепи. 43. Из 25 кинескопов, имеющихся в телевизионном ателье, 5 штук произведены заводом № 1, 12 штук - заводом № 2 и 8 штук - заводом № 3. Вероятность того, что кинескоп, изготовленный заводом № 1 в течение гарантийного срока не выйдет из строя, равна 0,95. Для кинескопа завода № 2 такая вероятность равна 0,9, а для кинескопа завода № 3 - 0,8. Найти вероятность того, что наудачу взятый кинескоп выдержит гарантийный срок. 44. Для разрушения моста достаточно одной авиационной бомбы. Найти вероятность того, что мост будет взорван, если на него будут сброшены 4 бомбы с вероятностями попадания, соответственно равными 0,3; 0,4; 0,6; 0,7. 45. Прибор может быть собран из высококачественных деталей или изделий обычного качества. 40 % приборов собирается из высокока- чественных деталей. Если прибор собран из высококачественных деталей, то его надёжность за время T равна 0,95, а если из деталей обычного качества, то - 0,7. Прибор испытывался в течение времени T и работал безотказно. Найти вероятность того, что он собран из высококачественных деталей. 46. Вероятность того, что при одном измерении некоторой физической величины будет допущена ошибка, превышающая заданную точность, равна 0,4. Произведены три независимых измерения. Найти вероятность того, что только в одном из них допущенная ошибка превышает заданную точность. 47. Вероятности того, что формула содержится в первом, втором, третьем, четвёртом справочниках, соответственно равны 0,6; 0,7; 0,8; 0,9. Найти вероятность того, что формула содержится не более чем в трёх справочниках. 48. Студент разыскивает нужную ему формулу в трёх справочниках. Вероятность того, что формула содержится в первом справочнике - 0,6, во втором - 0,7, в третьем - 0,8. Найти вероятность того, что формула содержится: а) только в двух справочниках; б) во всех трёх справочниках. 49. Рабочий обслуживает три станка. Вероятность того, что в течение часа станок не потребует внимания рабочего, равна для первого станка 0,3, для второго - 0,5, для третьего - 0,6. Найти вероятность того, что в течение часа хотя бы один станок не потребует внимания рабочего. 50. В электрическую цепь последовательно включены приборы A 1 и A 2 , не взаимодействующие друг с другом. Вероятность выхода из строя прибора A 1 равна 0,1, а прибора A 2 - 0,2. Цепь выключается, если выйдет из строя хотя бы один прибор. Найти вероятность того, что цепь будет работать. 51. Из 18 стрелков 5 попадают в мишень с вероятностью 0,8; 7 - с вероятностью 0,7; 4 - с вероятностью 0,6 и 2 - с вероятностью 0,5. Наудачу выбранный стрелок произвёл выстрел, но в мишень не попал. К какой из групп вероятнее всего принадлежал стрелок? 52. Вероятность поражения цели при одном выстреле первым стрелком 0,8; вторым - 0,7. Найти вероятность поражения цели, если оба стрелка стреляют одновременно. 53. Стрелок производит один выстрел в мишень, состоящую из центрального круга и двух концентрических колец. Вероятности попадания в круг и кольца соответственно равны 0,2; 0,15; 0,1. Определить вероятность непопадания в мишень. 54. В тире имеется 5 ружей, вероятности попадания из которых соответственно равны 0,5; 0,6; 0,7; 0,8; 0,9. Определить вероятность попадания при одном выстреле, если стреляющий берёт одно из ружей наудачу. 55. Радиолампа принадлежит к одной из трёх партий с вероятностями 0,25; 0,5; 0,25. Вероятности того, что лампа проработает заданное число часов, равны для этих партий соответственно 0,1; 0,2; 0,4. Определить вероятность того, что наудачу взятая радиолампа проработает заданное число часов. 56. Вероятность того, что стрелок выбьет 10 очков, равна 0,4; 9 очков - 0,2; 8 очков - 0,2; 7 очков - 0,1; 6 или менее - 0,1. Найти вероятность того, что стрелок выбьет не менее 8 очков. 57. Для трёх аппаратов вероятность остановки в течение 1 часа составляет: для первого - 0,2; для второго - 0,15; для третьего - 0,12. Какова вероятность того, что все три аппарата будут бесперебойно работать в течение 1 часа. 58. В лотерее 100 билетов. Из них 25 выигрышных. Определить вероятность того, что каждый из двух приобретённых билетов окажется выигрышным. 59. Химический завод получает сырьё из трёх рудников. Причём сырьё доставляется из каждого рудника в среднем одинаково часто. Для завода желательно получить очередную партию сырья либо из первого, либо из второго рудника. Найти вероятность этого события. 60. Из полного набора костей домино (28 штук) наугад берут две кости. Определить вероятность того, что вторую кость можно приставить к первой. 61-90. Повторные испытания (формулы Бернулли, Пуассона. Локальная и интегральная теоремы Муавра - Лапласа) 61. Монету бросают 5 раз. Найти вероятность того, что герб выпадет не менее двух раз. 62. 30 % изделий предприятия - продукция высшего сорта. На испытание взято 6 изделий. Какова вероятность того, что из них более одного изделия высшего сорта? 63. Вероятность того, что изделие не выдержит испытание, равна 0,001. Найти вероятность того, что из 1000 изделий более чем одно не выдержит испытание. 64. Всхожесть семян растения составляет 90 %. Найти вероятность того, что из четырёх посеянных семян взойдёт не менее трёх. 65. Вероятность поражения мишени при одном выстреле равна 0,8. Найти вероятность того, что при 100 выстрелах мишень будет поражена ровно 75 раз. 66. Вероятность того, что изделие не выдержит испытание, равна 0,001. Найти вероятность того, что из 5000 изделий хотя бы одно не выдержит испытание. 67. Два равносильных противника играют в шахматы. Какова вероят- ность того, что один из них выиграет не менее двух партий из четырёх? 68. Счётчик Гейгера регистрирует частицы, вылетающие из некоторого радиоактивного источника, с вероятностью 0,0001. За время наблю- дения из источника должно было вылететь 30000 частиц. Найти ве- роятность того, что счётчик зарегистрировал хотя бы одну частицу. 69. Вероятность рождения мальчика равна 0,51. Найти вероятность того, что среди 100 новорождённых окажется 50 мальчиков. 70. Вероятность позвонить любому абоненту на коммутатор в течение часа равна 0,01. Телефонная станция обслуживает 300 абонентов. Какова вероятность того, что в течение часа позвонят четыре абонента? 71. Завод отправил на базу 500 изделий. Вероятность повреждения изделия в пути 0,002. Найти вероятность того, что в пути будет повреждено более одного изделия. 72. Вероятность появления события в каждом из 2100 независимых испытаний равна 0,7. Найти вероятность того, что событие появится не менее 1470 раз. 73. Учебник издан тиражом 100000 экземпляров. Вероятность того, что учебник сброшюрован неправильно, равна 0,0001. Найти вероятность того, что тираж содержит ровно три бракованных книги. |