В.М. Волков Математика. Программа, контрольные работы №9, 10 и методические указания для студентов-заочников инженерно-техническ. В.М. Волков Математика. Программа, контрольные работы №9, 10 и м. Методические указания для студентов заочников инженернотехнических специальностей 2 курса Составитель В. М. Волков Утверждены на заседании кафедры
 Скачать 337.5 Kb.
|
|
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ КУЗБАССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ Кафедра прикладной математики МАТЕМАТИКА Программа, контрольные работы № 9,10 и методические указания для студентов - заочников инженерно-технических специальностей 2 курса Составитель В.М.Волков Утверждены на заседании кафедры Протокол № 3 от 30.08.2000 Рекомендованы к печати учебно- методической комиссией ИЭФ Протокол № 2 от 01.09.2000 Электронная копия находится в библиотеке главного корпуса КузГТУ Кемерово 2000 Контрольные работы № 9,10 составлены в соответствии с програм- мой курса высшей математики для студентов-заочников инженерно- технических специальностей. В составлении работ и методических указаний к ним принимали участие преподаватели: В.М.Волков, Е.А.Волкова, В.А.Гоголин, И.А.Ермакова, Л.Е.Мякишева, Е.В.Прейс, В.А.Похилько, С.М.Швыдко. Номера задач контрольных работ студент должен выбрать по таблице «Выбор номеров контрольных задач» следующим образом: !" найти строку, соответствующую первой букве фамилии; !" найти столбец, соответствующий последней цифре шифра; !" на пересечении найденных строки и столбца взять номера задач контрольной работы № 9, и номер первой задачи соответствует номеру столбца X в контрольной работе № 10. Контрольные работы, выполненные не по своему варианту, возвра- щаются непроверенными. ПРОГРАММА курса «Высшая математика» для инженерно- технических специальностей (IY семестр) 1. Случайные события 1.1. Основные понятия теории вероятностей. Испытания и события. Классическое определение вероятности. Формулы комбинаторики. 1.2. Теорема сложения вероятностей несовместных событий. Теорема сложения вероятностей совместных событий. Полная группа событий. Противоположные события. 1.3. Теорема умножения вероятностей. Теорема умножения вероятностей для независимых событий. Вероятность появления хотя бы одного события. 1.4. Формула полной вероятности. Вероятности гипотез. Формулы Бейеса. 1.5. Повторные испытания. Формула Бернулли. Локальная теорема Лапласа. Интегральная теорема Лапласа. Формула Пуассона. 2. Случайные величины 2.1. Дискретная случайная величина. Закон распределения дискретной случайной величины. Биномиальное распределение. Распределение Пуассона. Выбор номеров задач контрольных работ 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 А,Ж, Л,Х 1 31 61 119 131 151 11 32 72 120 132 158 21 33 71 118 134 173 1 34 62 117 135 175 11 35 61 116 136 154 21 36 72 115 137 164 1 37 82 114 138 174 11 38 72 113 133 165 21 39 82 112 139 153 1 40 62 111 140 163 Б,М, С,Ц 2 41 62 110 141 151 12 42 73 109 142 152 22 43 82 108 143 166 2 44 63 107 144 174 12 45 63 106 146 155 22 46 73 106 147 165 2 47 83 104 148 175 12 48 73 103 149 154 22 49 83 102 145 176 2 50 83 101 150 164 Н,Ч, В,Ю 3 51 63 100 130 160 13 52 74 99 121 159 23 53 83 98 122 167 3 54 64 97 123 175 13 55 64 96 124 177 23 56 74 95 125 156 3 57 84 94 126 166 13 58 74 93 127 176 23 59 84 92 128 155 3 60 84 91 129 165 З,О, Ш,Г 7 31 64 91 130 152 17 32 75 92 131 160 27 33 84 93 132 168 4 34 65 94 133 176 14 35 65 95 134 178 24 36 75 96 135 157 4 37 85 97 136 167 14 38 75 98 137 177 24 39 85 99 138 156 4 40 65 100 139 166 Д,П, Т,Щ 8 41 65 120 130 153 18 42 76 119 129 160 28 43 85 118 128 169 8 44 66 117 127 177 15 45 66 116 126 179 25 46 76 115 125 158 5 47 86 114 124 168 15 48 76 113 123 178 25 49 86 112 122 169 5 50 66 111 121 179 Е,Р, Э,Я 6 51 66 110 140 161 16 52 77 109 141 161 26 53 86 108 142 170 6 54 67 107 143 178 16 55 67 106 144 180 26 56 77 105 145 159 9 57 87 104 146 169 19 58 77 103 147 179 29 59 87 102 148 158 8 60 67 101 149 168 И,К, У,Ф 10 31 70 100 150 157 20 32 81 99 121 164 30 33 90 98 122 173 10 34 71 97 123 172 20 36 71 96 124 153 30 35 81 95 125 163 10 37 61 94 126 174 20 38 81 93 127 152 30 39 61 92 128 162 10 40 71 91 129 172 2.2. Числовые характеристики дискретной случайной величины. Математическое ожидание. Дисперсия. Среднее квадратическое отклонение. 2.3. Непрерывная случайная величина. Функция распределения вероятностей непрерывной случайной величины. Плотность распределения вероятностей непрерывной случайной величины. 2.4. Числовые характеристики непрерывной случайной величины. Математическое ожидание. Дисперсия. Среднее квадратическое отклонение. 2.5. Виды распределений. Равномерное распределение. Показательное распределение. Нормальное распределение. 3. Элементы математической статистики 3.1. Статистическое распределение выборки. Эмпирическая функция распределения. Полигон и гистограмма. 3.2. Статистические оценки параметров распределения. Выборочная средняя. Выборочная дисперсия. Выборочное среднее квадратическое отклонение. 4. Элементы теории корреляции 4.1.Функциональная, статистическая и корреляционная зависимости. 4.2. Выборочный коэффициент корреляции. Корреляционная таблица. 4.3. Выборочные уравнения регрессии. Отыскание параметров выборочного уравнения регрессии по сгруппированным данным. 5. Статистическая проверка статистических гипотез 5.1. Нулевая и конкурирующая гипотезы. Ошибки первого и второго рода. Критическая область. Область принятия гипотезы. 5.2. Проверка гипотезы о нормальном распределении генеральной совокупности. Критерий Пирсона. 5.3. Сравнение двух средних нормальных генеральных совокупностей, дисперсии которых известны. 6. Статистические оценки параметров распределения 6.1. Точность оценки. Доверительная вероятность. Доверительный интервал. 6.2. Доверительный интервал для оценки математического ожидания нормального распределения при неизвестной дисперсии. МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К КОНТРОЛЬНЫМ РАБОТАМ Контрольная работа № 9 В данную работу включены задачи по теории вероятностей [1, гл.1; 2, гл.1-4]. При вычислении вероятностей событий по классической формуле [1, гл.1, п. 3; 2, гл.1, п.1, с. 7] в задачах № 1-30 выбор нужного элемента комбинаторики удобно производить по схеме: !" если все элементы входят в соединение, то это число перестановок P k k k ==== ==== ⋅⋅⋅⋅ ⋅⋅⋅⋅ ! 1 2 3! ; !" если не все элементы входят в соединение и порядок элементов в соединении не важен, то это число сочетаний (((( )))) C k r k r k r ==== ⋅⋅⋅⋅ −−−− ! ! ! ; !" если не все элементы входят в соединение и порядок элементов в соединении важен, то это число размещений (((( )))) A k k r k r ==== −−−− ! ! Пример. На семи карточках написаны буквы а,з,е,к,м,н,э. Карточки тщательно перемешиваются и случайным образом раскладываются в ряд. Какова вероятность того, что получится слово «экзамен»? Обозначим событие А - в ряду получится слово «экзамен». Так как все семь элементов (карточек) входят в соединение, то общее число исходов n P ==== ==== ==== 7 7 5040 ! . Число благоприятных исходов m ==== 1 - среди букв нет одинаковых. Тогда (((( )))) P A m n ==== ==== ≈≈≈≈ 1 5040 0 0002 , Пример. Какова вероятность того, что наугад названное трёхзначное число, все цифры которого различны и начинается с цифры 2, будет то, что мы задумали? При составлении трёхзначных чисел, начинающихся с цифры 2, используют три цифры, то есть к цифре 2 добавляются оставшиеся две из девяти (0, 1, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9), и так как важен порядок, то общее число исходов находится как число размещений (((( )))) n A ==== ==== −−−− ==== ==== ⋅⋅⋅⋅ ==== 9 2 9 9 2 9 7 9 8 72 ! ! ! ! Благоприятный исход один, то есть m ==== 1 (((( )))) P A m n ==== ==== ≈≈≈≈ 1 72 0 014 , , Пример. Из 17 студентов группы, в которой 8 девушек, отобраны 7 человек для работы на овощной базе. Какова вероятность того, что среди отобранных будут 4 девушки? Решение. Введём событие A - среди 7 отобранных студентов 4 девушки. Общее число исходов (((( )))) n C ==== ==== −−−− ==== 17 7 17 7 17 7 17 7 10 ! ! ! ! ! ! Случай, благоприятствующий событию A , представляет собой группу из 4 девушек и 3 юношей. Число подгрупп по 4 девушки из 8 равно C 8 4 -число сочетаний из 8 по 4. Число всевозможных подгрупп по 3 юноши из 9 равно C 9 3 -число сочетаний из 9 по 3, так как порядок внутри групп не важен. Каждая подгруппа из 4 девушек может быть объединена с любой подгруппой из 3 юношей, следовательно, число благоприятных исходов равно (((( )))) (((( )))) m C C ==== ⋅⋅⋅⋅ ==== −−−− ⋅⋅⋅⋅ −−−− ==== ⋅⋅⋅⋅ 8 4 9 3 8 4 8 4 9 3! 9 3 8 4 4 9 3!6 ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! , (((( )))) P A C C C ==== ⋅⋅⋅⋅ ==== ⋅⋅⋅⋅ ⋅⋅⋅⋅ ⋅⋅⋅⋅ ⋅⋅⋅⋅ ⋅⋅⋅⋅ ⋅⋅⋅⋅ ⋅⋅⋅⋅ ==== ≈≈≈≈ 8 4 9 3 17 7 8 9 7 10 4 4 3 6 17 735 2431 0 3 ! ! ! ! ! ! ! ! ! , Для решения задач № 31-60 необходимо сложное событие представить в виде суммы или произведения более простых событий и использовать соответствующие теоремы теории вероятностей [1, гл.2- 4; 2, гл.2]. Пример. Из 10 изделий цеха 7 изделий первого сорта. Какова вероятность того. что наугад взятые два изделия будут изделиями первого сорта? Решение. Введём события: A - два наудачу взятых изделия будут изделиями первого сорта; B - первое взятое изделие первого сорта; C - второе взятое изделие первого сорта. Тогда A B C ==== ⋅⋅⋅⋅ . Так как B C , зависимые события, то (((( )))) (((( )))) (((( )))) (((( )))) P A P B C P B P C B ==== ⋅⋅⋅⋅ ==== ⋅⋅⋅⋅ ==== ⋅⋅⋅⋅ ≈≈≈≈ 7 10 6 9 0 47 , Пример. Определить вероятность того, что два носка, взятые наудачу из ящика, содержащего 6 красных и 3 синих носка, будут одного цвета. Используем теорему сложения несовместных событий. Введём события: A - два наудачу взятых носка одного цвета; B - взяты два красных носка; C - взяты два синих носка. Тогда A B C ==== ++++ . Так как B C , несовместные, то (((( )))) (((( )))) (((( )))) (((( )))) P A P B C P B P C C C C C ==== ++++ ==== ++++ ==== ++++ ==== ++++ ==== 6 2 9 2 3 2 9 2 5 12 1 12 1 2 Если событие A может наступить лишь после наступления одного из нескольких событий H H H n 1 2 , , , " , образующих полную группу, то следует использовать формулу полной вероятности или формулу Бейеса [1, гл.4, п. 2-3; 2, гл.2, п.3-4]. Пример. Партия деталей изготовлена двумя рабочими. Первый изготавливает деталей в два раза больше, чем второй. Вероятность брака для первого рабочего 1 %, а для второго 10 %. На контроль взяли одну деталь. Какова вероятность того, что она бракованная? Введём события: A - взятая деталь бракованная, H 1 - деталь изготовлена первым рабочим, H 2 - деталь изготовлена вторым рабочим. (((( )))) (((( )))) (((( )))) (((( )))) P H P H P A P A H H 1 2 2 3 1 3 1 100 1 10 1 2 ==== ==== ==== ==== ; ; ; ; (((( )))) (((( )))) (((( )))) (((( )))) (((( )))) P A P H P A P H P A H H ==== ⋅⋅⋅⋅ ++++ ⋅⋅⋅⋅ ==== ⋅⋅⋅⋅ ++++ ⋅⋅⋅⋅ ==== ==== 1 2 1 2 2 3 1 100 1 3 1 10 4 100 0 04 , Здесь мы применили формулу полной вероятности. Предположим, что в предыдущей задаче деталь, взятая на контроль, оказалась бракованной. Определим вероятность того, что она изготовлена вторым рабочим. Для этого применяем формулу Бейеса (((( )))) (((( )))) (((( )))) (((( )))) P H P H P A P A A H 2 2 2 1 3 1 10 4 100 5 6 ==== ⋅⋅⋅⋅ ==== ⋅⋅⋅⋅ ==== Решение задач № 61-90 следует начинать с изучения условий, в которых используются формулы Бернулли, Пуассона, локальная и интегральная теоремы Муавра-Лапласа [1, гл.5, п. 1-3; 2, гл.3, п.1-3]. Если число n повторных испытаний мало, то вероятность появления события k раз следует определять по формуле Бернулли. Пример. Найти вероятность того, что из 5 изготовленных рабочим деталей не менее 4 годных, если известно, что рабочий изготавливает на станке однотипные детали , вероятность брака для каждой 0,1. Решение. Так как число независимых испытаний n ==== 5 мало и q p q ==== ≠≠≠≠ ==== −−−− ==== −−−− ==== 0 1 0 1 1 0 1 0 9 , , , , , то применяем формулу Бернулли. Событие A - из 5 деталей не менее четырёх годных - наступит, если среди 5 деталей 4 годные или все 5 годные, то есть (((( )))) (((( )))) (((( )))) (((( )))) P A P k P P C p q C p q ==== ≤≤≤≤ ==== ++++ ==== ++++ ==== 4 4 5 5 5 5 4 4 1 5 5 5 0 (((( )))) (((( )))) ==== ⋅⋅⋅⋅ ⋅⋅⋅⋅ ++++ ≈≈≈≈ 5 0 9 0 1 0 9 0 93 4 5 , , , , . Если число n независимых испытаний велико, а вероятность появления события не близка к нулю, то следует использовать локальную или интегральную теорему Муавра - Лапласа. Пример. В мартеновском цехе не каждая плавка отвечает требованиям, обусловленным в заказе. По заказу нужно выплавить 90 плавок, а запланировано 100. Какова вероятность того, что заказ будет полностью выполнен, если вероятность получения каждой плавки по заказу равна 0,9? Решение. Заказ будет полностью выполнен, если из 100 плавок будут соответствовать заказу 90 плавок и более, то есть нужно определить (((( )))) P 100 90 100 , n ==== 100 (велико), и так как нас интересует вероятность появления события не менее 90 раз, то применим интегральную теорему Муавра - Лапласа (((( )))) (((( )))) (((( )))) P x x 100 2 1 90 100 , ==== −−−− Φ Φ Φ Φ Φ Φ Φ Φ , где x k np npq x k np npq 1 1 2 2 90 100 0 9 100 0 9 0 1 0 100 100 0 9 100 0 9 0 1 10 3 3 33 ==== −−−− ==== −−−− ⋅⋅⋅⋅ ⋅⋅⋅⋅ ⋅⋅⋅⋅ ==== ==== −−−− ==== −−−− ⋅⋅⋅⋅ ⋅⋅⋅⋅ ⋅⋅⋅⋅ ==== ≈≈≈≈ , , , ; , , , , По [2, прил. 2] определяем (((( )))) (((( )))) Φ Φ Φ Φ Φ Φ Φ Φ 0 0 3 33 0 4995 ==== ==== ; , , (((( )))) (((( )))) (((( )))) P 100 90 100 3 33 0 0 4995 0 0 4995 , , , , ==== −−−− ==== −−−− ==== Φ Φ Φ Φ Φ Φ Φ Φ Замечание. При определении функции Лапласа, следует учитывать, что она нечётная, то есть (((( )))) (((( )))) Φ Φ Φ Φ Φ Φ Φ Φ −−−− ==== x x , и что при (((( )))) x x >>>> ⇒ ⇒ ⇒ ⇒ ==== 5 0 5 Φ Φ Φ Φ , Формулу Пуассона следует применять, если n велико, а вероятность p близка к нулю. Пример. Какова вероятность того, что из 10000 лотерейных билетов не менее двух выигрышных, если вероятность выигрыша по одному лотерейному билету 0,0002? Решение. Так как n p ==== ==== |