В.М. Волков Математика. Программа, контрольные работы №9, 10 и методические указания для студентов-заочников инженерно-техническ. В.М. Волков Математика. Программа, контрольные работы №9, 10 и м. Методические указания для студентов заочников инженернотехнических специальностей 2 курса Составитель В. М. Волков Утверждены на заседании кафедры
 Скачать 337.5 Kb.
|
|
X ) и скорость проходки (случайная величина Y , м/мес). Результаты наблюдений приведены в табл. 1. Таблица 1 Исходные данные (выборка) X Y X Y X Y X Y X Y 0,31 136 0,19 110 0,16 70 0,15 118 0,15 100 0,16 76 0,16 87 0.33 300 0,18 152 0,19 64 0,27 160 0,14 75 0,23 185 0,21 155 0,31 150 0,25 170 0,21 120 0,36 311 0,26 151 0,22 150 0,23 101 0,18 97 0,20 97 0,29 230 0,23 126 0,17 87 0,24 100 0,17 120 0,22 215 0,36 280 0,18 72 0,12 123 0,25 201 0.23 202 0.31 154 0,22 100 0,24 103 0.20 152 0,16 120 0,21 120 0,29 194 0,21 100 0,18 118 0,18 101 0,16 120 0,25 190 0.23 103 0,17 158 0,17 100 0.28 125 По данным X - производительности труда рабочего (табл.1) необходимо: а) составить вариационный ряд; б) вычислить выборочную среднюю x , выборочную дисперсию D b , выборочное среднее квадратическое отклонение σσσσ x Решение. А. Систематизация результатов наблюдения. Для построения интервального вариационного ряда определим оптимальную величину интервала (шаг) по формуле Стерджеса h x x n ==== −−−− ++++ max min , lg 1 3 2 , где x x max min , - соответственно максимальные и минимальные значения X n , - объём выборки. h ==== −−−− ++++ ==== ≈≈≈≈ 0 36 0 12 1 3 2 50 0 24 6 44 0 04 , , , lg , , , Величину интервала определяем с той же точностью, с какой заданы исходные данные. Составим таблицу распределения случайной величины или признака X , называаемую вариационным рядом. Таблица 2 Вариационный ряд производительности труда рабочих Интервалы J Частота m i Частость p i * Накопленная частость (((( )))) F x * [0,12;0,16) 4 0,08 0,08 [0,16;0,20) 16 0,32 0,40 [0,20;0,24) 14 0,28 0,68 [0,24;0,28) 7 0,14 0,82 [0,28;0,32) 6 0,12 0,94 [0,32;0,36] 3 0,06 1,00 ∑ ∑ ∑ ∑ 50 1 Замечания к составлению табл. 2 1. Запись интервалов начинается с x min и продолжается до тех пор, пока не войдёт x max 2. Просматривая по табл. 1 исходные данные признака X в порядке записи, проставляют (во втором столбце табл. 2) точки в интервале, которому соответствует данное значение X . Подсчитав количество проставленных точек, определим частоту, соответствующую данному интервалу. 3. В интервал включаются значения большие или равные нижней границе и меньшие верхней границы интервала. 4. Отношение частоты к общему числу наблюдений определяет частость p m n i i * ==== 5. Накопленная частость интервала определяется как сумма частостей предшествующих и данного интервала [1, гл.15, п.7; 2, гл.9, п.2]. Б. Вычисление числовых характеристик Таблица 3 Расчёт числовых характеристик x i m i x m i i ⋅⋅⋅⋅ x x i −−−− (((( )))) x x i −−−− 2 (((( )))) x x m i i −−−− ⋅⋅⋅⋅ 2 0,14 4 0,56 -0,08 0,0064 0,0256 0,18 16 2,88 -0,04 0,0016 0,0256 Продолжение табл. 3 Расчёт числовых характеристик 0,22 14 3,08 0 0 0 0,26 7 1,82 0,04 0,0016 0,0112 0,30 6 1,80 0,08 0,0064 0,0384 0,34 3 1,02 0,12 0,0144 0,0432 ∑ ∑ ∑ ∑ 50 11,16 0,1440 Замечания к табл. 3 1. В первом столбце записаны середины интервалов, например, для первого интервала x 1 0 12 0 16 2 0 14 ==== ++++ ==== , , , 2. В третьем столбце результаты перемножения соответствующих значений первого и второго столбца. Вычисляем выборочную среднюю x x m n i i ==== ⋅⋅⋅⋅ ∑ ∑ ∑ ∑ ==== ==== ≈≈≈≈ 11 16 50 0 2238 0 22 , , , 3. В четвёртом столбце разности между значениями x i и выборочным средним x 4. В пятом столбце записываются квадраты значений четвёртого столбца. 5. В шестом столбце записаны результаты перемножения соответству- ющих значений второго и пятого столбцов. Вычислим выборочную дисперсию (((( )))) D x x m n b i i ==== −−−− ⋅⋅⋅⋅ ∑ ∑ ∑ ∑ ==== ≈≈≈≈ 2 0 1440 50 0 0029 , , и среднее квадратическое отклонение σσσσ x b D ==== ==== ≈≈≈≈ 0 0029 0 053 , , Пример 2. Построить теоретическую кривую нормального распреде- ления по данным примера 1. Проверить по критерию Пирсона правиль- ность выбранной гипотезы при уровне значимости αααα ==== 0 05 , Решение. Для построения нормальной кривой рассчитываем теоретические частоты m i по формуле (((( )))) m nh t i x i ==== ⋅⋅⋅⋅ σσσσ ϕϕϕϕ , где (((( )))) t x x t e n i i x t ==== −−−− ==== ⋅⋅⋅⋅ −−−− σσσσ ϕϕϕϕ ππππ , , 1 2 2 2 - объём выборки, h - шаг интервала. Составим расчётную таблицу Таблица 4 Расчёт теоретических частот x i m i t x i i ==== −−−− 0 22 0 053 , , (((( )))) ϕϕϕϕ t i (((( )))) m t i i ==== ⋅⋅⋅⋅ 50 0 04 0 053 , , ϕϕϕϕ 0,14 4 -1,51 0,1276 5 0,18 16 -0,75 0,3011 11 0,22 14 0 0.3989 15 0,26 7 0,75 0,3011 11 0,30 6 1,51 0,1276 5 0,34 3 2,26 0,0310 1 ∑ ∑ ∑ ∑ 50 48 Замечания к табл. 4 1. Значения (((( )))) ϕϕϕϕ t i находят по прил. 1 [1, с. 461; 2, с. 324] «Таблица значений функции (((( )))) ϕϕϕϕ ππππ x e x ==== ⋅⋅⋅⋅ −−−− 1 2 2 2 ». При этом учитывают, что (((( )))) (((( )))) ϕϕϕϕ ϕϕϕϕ −−−− ==== x x . Для (((( )))) x x >>>> ⇒ ⇒ ⇒ ⇒ ==== 3 99 0 , ϕϕϕϕ 2. Теоретические частоты округляют до целых значений. Построим полигоны эмпирических и теоретических частот производительности труда рабочих i m 4 8 12 16 0 14 , 0 18 , 0 22 , 0 26 , 0 3 , 0 34 , x i i m i m i m Пунктирной линией построен полигон теоретических частот, а сплошной линией - полигон эмпирических частот. Проверим согласованность теоретического и эмпирического распределения по критерию Пирсона (((( )))) χχχχ p i i i i r m m m 2 2 1 ==== −−−− ∑ ∑ ∑ ∑ ==== Таблица 5 Расчёт величины χχχχ p 2 x i m i m i m m i i −−−− (((( )))) m m i i −−−− 2 (((( )))) m m m i i i −−−− 2 0,14 0,18 4 16 20 5 11 16 4 16 1 0,22 14 15 -1 1 0,07 0,26 7 11 -4 16 1,45 0,30 0.34 6 3 9 5 1 6 1 1 0,166 ∑ ∑ ∑ ∑ 50 48 2,686 Замечание к табл. 5 Если число наблюдений (частота m i ) в интервале меньше 5, то интервал объединяется с соседним и их частоты складываются. В этом случае и соответствующие им теоретические частоты m i также надо сложить. По прил. 5 « Критические точки распределения χχχχ 2 » [1, с. 465; 2, с. 329] находим (((( )))) χχχχ αααα табл k 2 , , где αααα ==== 0 05 , - уровень значимости, k - число степеней свободы, k r ==== −−−− ==== −−−− ==== 3 4 3 1 ( r - число интервалов после объединения), (((( )))) χχχχ табл 2 1 0 05 3 8 ; , , ==== Так как χχχχ p 2 2 686 ==== , меньше (((( )))) χχχχ табл 2 1 0 05 3 8 ; , , ==== , то различия между теоретическими и эмпирическими частотами незначимы. Вывод. Производительность труда рабочих при проходке штрека распределяется по нормальному закону и имеет функцию плотности (((( )))) (((( )))) (((( )))) f x e x ==== ⋅⋅⋅⋅ −−−− −−−− 1 0 053 2 0 22 2 0 053 2 2 , , , ππππ Пример 3. Найти доверительный интервал для оценки математического ожидания нормального распределения с надёжностью γγγγ ==== 0 95 , по значениям x n x ==== ==== ==== 0 22 0 053 50 , ; , ; σσσσ , полученным в первом примере. Решение. Доверительный интервал для оценки математического ожидания нормального распределения при неизвестной дисперсии генеральной совокупности определяется по формуле x s n t a x s n t n n −−−− ⋅⋅⋅⋅ <<<< <<<< ++++ ⋅⋅⋅⋅ , , γγγγ γγγγ Для γγγγ ==== ==== 0 95 50 , , n по прил. «Таблица значений (((( )))) t t n γγγγ γγγγ ==== , » [1, с. 464; 2, с. 328] определяем (((( )))) t t γγγγ ==== ==== 0 95 50 2 009 , ; , Определяем исправленную дисперсию s 2 : s D n n b 2 1 0 0029 50 50 1 0 00295 ==== ⋅⋅⋅⋅ −−−− ==== ⋅⋅⋅⋅ −−−− ==== , , ; s s ==== ==== ==== 2 0 00295 0 054 , , ; s n t n ⋅⋅⋅⋅ ==== ⋅⋅⋅⋅ ≈≈≈≈ , , , , ; γγγγ 0 054 50 2 009 0 015 0 22 0 015 0 22 0 015 0 205 0 235 , , , , ; , , −−−− <<<< <<<< ++++ <<<< <<<< a a Пример 4. При уровне значимости αααα ==== 0 08 , проверить нулевую гипотезу (((( )))) (((( )))) H M X M Z 0 : ==== при конкурирующей гипотезе (((( )))) (((( )))) H M X M Z 1 : ≠≠≠≠ , если (((( )))) z D Z m ==== ==== ==== 0 24 0 01 60 , ; , ; взяты из генеральной совокупности Z , а (((( )))) x D X n ==== ==== ==== 0 22 0 029 50 , ; , ; берём из первого примера. Решение. Вычисляем расчётное значение Z - критерия. Так как дисперсии генеральных совокупностей известны, то (((( )))) (((( )))) Z x z D X n D Z m p ==== −−−− ++++ ==== −−−− ++++ ≈≈≈≈ 0 22 0 24 0 0029 50 0 01 60 1 33 , , , , , Определяем критическую точку из равенства (((( )))) Φ Φ Φ Φ Z kp ==== −−−− ==== −−−− ==== 1 2 1 0 08 2 0 46 αααα , , По прил. 2 «Таблица значений функции (((( )))) Φ Φ Φ Φ x e dz z x ==== ⋅⋅⋅⋅ −−−− ∫∫∫∫ 1 2 2 2 0 ππππ » [2, с. 462] по значению функции 0,46 определяем табличное (критичес- кое) значение аргумента Z kp ==== 1 75 , . Сравним Z p ==== 1 33 , и Z kp ==== 1 75 , . Так как Z Z p kp <<<< , то гипотеза о равенстве средних принимается, то есть справедлива нулевая гипотеза (((( )))) (((( )))) H M X M Z 0 : ==== [1, гл.19, п. 11; 2, гл. 13, п. 4]. Пример 5. Вычислить выборочный коэффициент корреляции между случайными величинами X (производительность труда) и Y (скорость проходки) по данным, приведённым в табл. 1 (пример 1). Найти выборочное уравнение прямой линии регрессии (((( )))) y y r x x x b y x −−−− ==== ⋅⋅⋅⋅ ⋅⋅⋅⋅ −−−− σσσσ σσσσ Решение. Определим величину интервала для интервального вариационного ряда признака Y : h y y n y ==== −−−− ++++ ==== −−−− ≈≈≈≈ max min , lg , 1 3 2 311 64 6 44 38 Составим таблицу для расчёта выборочного коэффициента корреляции (табл. 6). Замечания к табл. 6 1. В первой строке приведены интервалы для признака X , полученные в примере 1. В скобках указаны середины интервалов. 2. В первом столбце приведены интервалы для признака Y . В скобках указаны середины интервалов. 3. Просматривая по табл. 1 исходные данные ( парами (((( )))) x y i i , ), проставляем точки в тех клетках табл. 6, которым соответствуют данные значения (((( )))) x y i i , . Число точек в клетке определяет частоту m i j ( i - номер строки, j - номер столбца). 4. В столбце m y указана частота по данной строке. 5. В каждой клетке столбца y m i y записаны произведения середины интервала на соответствующую частоту. 6. В каждой клетке столбца y m i y 2 записаны произведения y i и y m i y 7. В каждой клетке столбца y i 2 записаны квадраты середин интервалов для признака Y 8. Каждую клетку строк m x m x m x i x i x , , 2 заполняем по аналогии с пунктами 4,5,6. 9. В строке y x записываем групповые средние признака Y Например, для столбца с интервалом [0,20;0,24) и его серединой 0,22 получаем Таблица 6 Расчёт коэффициента корреляции X Y 0,12-0,16 (0,14) 0,16-0,2 (0,18) 0,2-0,24 (0,22) 0,24-0,28 (0,26) 0,28-0,32 (0,30) 0,32-0,36 (0,34) m y y m i y y m i y 2 y i 2 64-101 (83) 2 10 4 1 17 1411 117113 6889 102-140 (121) 2 4 4 1 2 13 1573 190333 14641 140-178 (159) 2 3 3 2 10 1590 252810 25281 178-216 (197) 3 2 1 6 1182 232854 38809 216-254 (235) 1 1 235 55225 55225 254-292 (273) 1 1 273 74529 74529 292-330 (311) 2 2 622 193442 96721 x m 4 16 14 7 6 3 50 6886 1116306 312095 x i m x 0,56 2,88 3,08 1,82 1,8 1,02 11,16 x m i x 2 0.0784 0,5184 0,6776 0,4732 0,54 0,3468 2,6344 y x 102 102 134,57 153,57 165,33 298,33 955,80 x m y i x x 57,12 293,76 414,48 279,5 297,594 304,297 1646,75 |