МУ_ЗЕМ математика курс 2 заочн.. Методические указания для выполнения контрольной и самостоятельной работы по дисциплине (модулю) для обучающихся 2 курса заочной формы обучения по направлению подготовки 21. 03. 02 Землеустройство и кадастры
 Скачать 0.86 Mb.
|
|
3 Министерство сельского хозяйства Российской Федераций ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ Приморская государственная сельскохозяйственная академия Институт землеустройства и агротехнологий МАТЕМАТИКА Методические указания для выполнения контрольной и самостоятельной работы по дисциплине (модулю) для обучающихся 2 курса заочной формы обучения по направлению подготовки 21.03.02 - Землеустройство и кадастры Электронное издание Уссурийск, 2016 4 Составитель Савельева Е.В., канд. техн. наук, доцент кафедры физики и высшей математики ПГСХА. Математика. Электронный ресурс Методические указания для выполнения контрольной и самостоятельной работы по дисциплине (модулю) для обучающихся 2 курса заочной формы обучения по направлению подготовки 21.03.02 - Землеустройство и кадастры / сост. Е.В. Савельева; ФГБОУ ВО Приморская ГСХА».- Электрон. текст. дан. - Уссурийск, 2016.- 34 с. - Режим доступа www.elib.primacad.ru. Рецензент ГМ. Сидорова , к.с.х..н., доцент кафедры землеустройства ИЗиАТ ФГБОУ ВО ПГСХА. Издается по решению методического совета ФГБОУ ВО Приморская государственная сельскохозяйственная академия. 5 Общие методические указания Перед выполнением каждой контрольной работы студент должен изучить указанные темы рабочей программы, используя литературу и лекции. При выполнении контрольных работ студент должен руководствоваться следующими указаниями 1. Контрольные задачи следует располагать в порядке номеров, указанных в заданиях. Перед решением каждой задачи надо полностью переписать ее условие. 2. Peшение задач следует излагать подробно, делая соответствующие ссылки на вопросы теории с указанием необходимых формул, теорем. Решение задач геометрического, содержания должно сопровождаться чертежами. 3. Студент выполняет тот вариант контрольной работы, который совпадает с последней цифрой его учебного шифра. При этом, если предпоследняя цифра учебного шифра есть число нечетное те, то номера задач соответствующего варианта даны в таблице 1. Если предпоследняя цифра учебного шифра есть число четное или ноль те, то номера задач для соответствующего варианта даны в таблице 2. 6 Таблица №1 № Контрольная работа №2 предпоследняя цифра учебного шифра есть число нечетное те 53 63 74 84 94 3 4 14 24 34 44 54 64 75 85 95 4 5 15 25 35 45 55 65 76 86 96 5 6 16 26 36 46 56 66 77 87 97 6 7 17 27 37 47 57 67 78 88 98 7 8 18 28 38 48 58 68 79 89 99 8 9 19 29 39 49 59 69 80 90 100 9 10 20 30 40 50 60 70 71 81 91 0 1 11 21 31 41 51 61 72 82 92 Таблица №2 № Контрольная работа №2 предпоследняя цифра учебного шифра есть число четное или ноль те 52 67 78 89 94 3 7 12 25 36 42 53 68 79 90 95 4 8 11 26 33 43 56 69 80 81 96 5 1 18 27 39 49 60 65 71 82 97 6 2 19 28 38 48 57 70 72 83 98 7 3 20 29 40 50 52 61 73 84 99 8 4 11 30 34 43 58 62 74 86 100 9 10 16 21 35 44 55 63 80 85 91 0 9 17 22 37 41 54 64 75 87 92 7 Литература Основная литература Курс высшей математики. Введение в математический анализ. Дифференциальное исчисление учеб пособие / под ред. ИМ. Петрушко. – СПб.: Лань, 2008. – 608 с. МО Курс высшей математики. Интегральные исчисления. Функции нескольких переменных. Дифференциальные уравнения учеб. пособие / под ред. ИМ. Петрушко. – СПб.: Лань, 2008. – 608 с. МО Письменный, Д.Т. Конспект лекций по высшей математике полный курс / Д.Т. Письменный. – е изд. – М Айрис-пресс, 2013. – 608 с. Сборник задач по высшей математике 1 курс / КН. Лунгу и др. – е изд. – М Айрис-пресс, 2011. – 576 с. 5. Михеев, В.И. Высшая математика. Краткий курс Электронный ресурс учеб. пособие / В.И. Михеев. – Электрон. дан. – М Физматлит, 2007. – 200 с. - Режим доступа www.e.lanbook.com. 6. Кузнецова, ТА. Высшая математика учеб. пособие Электронный ресурс / ТА. Кузнецова, Е.С. Мироненко, С.А. Розанова. – М Физматлит, 2009. – 168 с. - Режим доступа www.e.lanbook.com. Дополнительная литература 1. Зайцев И.А. Высшая математика учеб. для вузов И.А. Зайцев. – е изд, стереотип. – М Дрофа, 2005.- с. 2. Лунгу КН. Сборник задач по высшей математике / КН. Лунгу, В.П. Норин, Д.Т.Письменный, Ю.А.Шевченко. – под ред. С.Н. Федина. – 4 е изд. – М Айрис – пресс, 2006. – 592 сил (Высшее образование. 8 Дисциплина и ее основные разделы, изучаемые на 2 курсе № ДЕ Наименование дидактической единицы № те м ы Основные разделы ДЕ 4. Математический анализ Функция нескольких переменных. Определение функции нескольких переменных, область определения, график. Частные производные 1 и 2 порядка, их геометрический смысл. Дифференциал функции двух переменных, применение к приближенным вычислениям. Экстремум функции. 19 Кратные интегралы. Задачи, приводящие к понятию двойного интеграла (об объеме цилиндрического бруса. Определение двойного интеграла, его свойства, вычисление путем сведения к кратным. Тройной интеграл, его вычисление. Геометрические и физические приложения кратных интегралов(вычисление площадей, объемов, массы , моментов инерции и статических моментов, координат центра тяжести ) 20 Криволинейные интегралы. Задача о вычислении работы переменной силы. Определение криволинейного интеграла по координатам, его свойства, вычисление путем сведения к определенному. Формула Грина. Условия независимости криволинейного интеграла от пути интегрирования. Приложения криволинейного интеграла (нахождение функции по ее полному дифференциалу, вычисление работы переменной силы по криволинейному участку пути. 5 Дифференциальные уравнения Дифференциальные уравнения – основные понятия. Задачи. приводящие к понятию дифференциальных уравнений. Порядок дифференциального уравнения, общее и частное решения. Геометрический смысл. 22 Дифференциальные уравнения 1 порядка. Типы с разделяющимися переменными, линейные, однородные, в полных дифференциалах. Методы их решения. 23 Дифференциальные уравнения 2 порядка. Дифференциальные уравнения второго порядка, допускающие понижение порядка. Линейные однородные и неоднородные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами. характеристическое уравнение. Структура общего решения. дифференциальные уравнения второго порядка. 9 6 Ряды Числовые ряды. Определение сходимости и расходимости рядов. Необходимый признак сходимости. Признаки сходимости положительных числовых рядов (признаки сравнения, признак Даламбера, интегральный признак).Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница. Абсолютная и условная сходимость. 25 Степенной ряд. Радиус и интервал сходимости степенного ряда. Исследование степенных рядов. 26 Разложение функции в степенной ряд. Ряд Тейлора, Маклорена. Условия разложимости функции в степенной ряд. Разложение основных элементарных функций вряд Маклорена. Биномиальный ряд. Применение рядов к приближенным вычислениям . 10 Тема Функция двух переменных (задачи 1 - 10). Перед выполнением задач необходимо изучить раздел 18 ДЕ (математический анализ. 1-10. Дана функция двух переменных z =f(x,y). Требуется исследовать данную функцию на экстремум 2. найти градиент функции в точке А 3. найти производную функции в точке А по направлению градиента. Решение типового примера Дана функция 6 2 2 x y xy x z , точка Требуется исследовать данную функцию на экстремум 2. найти градиент функции в точке А 3. найти производную функции в точке А по направлению градиента Решение. 1) Чтобы исследовать данную дважды дифференцируемую функцию на экстремум необходимо выполнить следующие действия 1. y x y xy x z 3 2 2 А 2. 1 А 3. 2 2 3 А 4. 27 9 3 А 5. y x y xy x z 10 2 2 А 6. y x y xy x z 2 6 3 3 2 А 7. 10 3 3 А 8. 1 2 6 2 3 А 9. 2 8 2 А 10. 4 2 2 3 2 А 11 а) Найдем частные производные первого порядка и y z , приравнять к нулю и решить систему уравнений, решением которой являются стационарные точки 6 2 y x x z ; y x y z 2 4 2 2 6 3 2 6 4 0 2 0 6 2 0 0 x y y x y y x y y y x y x y z x z Следовательно, заданная функция имеет только одну стационарную точку P(4,-2). б) Найдем частные производные второго порядка и их значения в стационарной точке 2 2 2 x z ; 1 2 y x z ; 2 Частные производные второго порядка не зависят от переменных x и y, следовательно, постоянны в любой точке. Поэтому для точки P(4,-2) имеем А=-2;В=-1;С=-2. в) составить и вычислить определитель второго порядка 3 1 2 2 2 2 В АС С В В А г) Если в исследуемой стационарной точке 0 , то функция z=f(x,y) в этой точке имеет максимум при A<0 и минимум при A>0; если 0 , тов этой точке нет экстремума. Если 0 , то вопрос об экстремуме требует дополнительного исследования. Для данной функции и A<0, следовательно, в точке P(4,-2) имеем максимум. д) Найдем значение функции 8 4 4 6 2 2 4 ) 4 ( 2 ; 4 2 2 max z z 12 2) Градиент функции находится по формуле j y z i x z y x z grad ) ; ( (1) Подставим в формулу (1) найденные частные производные, получим j y x i y x y x z grad 2 Вычислим градиент в точке 2 ; 1 A j i A grad 2 2 1 6 2 1 2 j i A grad 3 6 3) Производная по направлению в точке, выражается через частные производные функции, следующим образом cos cos A y z A x z A s z . (2) cos и cos - направляющие косинусы вектора s , в нашем случае вектор s совпадает с z grad . Найдем направляющие косинусы 5 2 45 6 3 6 6 cos 2 х ; 5 1 45 Подставим полученные выражения в формулу (2), получим 5 1 3 5 2 6 A s z 5 3 5 15 5 3 5 12 A s Тема Кратные интегралы (задачи 11-20,21-30). Перед выполнением задач необходимо изучить раздел 19 ДЕ (математический анализ. 11-20. Дан двойной интеграл по области D. Требуется 13 1) изобразить область интегрирования D; 2) вычислить двойной интеграл при заданном порядке интегрирования 3) изменить порядок интегрирования и вычислить интеграл при измененном порядке. 11. D yxdxdy 2 ; 2 0 2 0 : x x y D 16. D xdxdy ; 2 2 4 : 2 x x y D 12. D xdxdy 2 ; 3 0 0 : x x y D 17. D xydxdy ; 7 3 3 0 : x x y D 13. D ydxdy ; 3 0 0 : 2 x x y D 18. D xdxdy 4 ; 4 1 1 0 : x x y D 14. D yxdxdy 3 ; 5 1 1 0 : x x y D 19. D ydxdy 2 ; 1 0 : 2 x x y x D 15. D ydxdy 2 ; 2 2 4 : 2 x y x D 20. D xdxdy 6 ; 2 Решение типового примера Дан двойной интеграл по области D: D dxdy x 2 3 ; 2 2 6 Требуется 1) изобразить область интегрирования D; 2) вычислить двойной интеграл при заданном порядке интегрирования 3) изменить порядок интегрирования и вычислить интеграл при измененном порядке. Решение. 1) Построим линии 2 6 x y , 2 y на отрезке 2 ; 2 , получим область D на рисунке 1. 2) Вычислим двойной интеграл при заданном порядке интегрирования x y 0 -2 2 6 2 y=2 D Рисунок 1 14 2 2 2 2 4 2 2 2 2 2 6 2 2 2 2 6 2 2 2 3 12 2 6 3 3 3 3 2 2 dx x x dx x x y dx x dy dx x dxdy x x x D 6 , 25 5 128 5 192 64 32 5 3 8 4 32 5 3 8 4 5 3 3 12 2 2 5 3 x x 3) Изменим, порядок интегрирования, для этого установим пределы интегрирования для внешнего интеграла попеременной. Пределы внешнего интеграла найдем как ординаты самой нижней и самой верхней точек области D: y=2 и y=6. Решая уравнение границы области D (парабола) относительно x, найдем пределы внутреннего интеграла. 6 , 6 6 2 предел нижний y x предел верхний y x x y Подставим найденные пределы в интеграл 6 2 3 3 6 6 6 6 3 6 2 2 6 2 2 6 6 3 3 3 3 dy y y x dy dx x dy dxdy x y y y y D 6 , 25 5 128 32 5 4 4 0 5 4 2 / 5 6 2 6 2 5 6 2 2 6 2 / 5 2 / 3 y dy y 21-25. Неоднородная пластина ограничена линиями ) ( 1 x f y и ) ( 2 x f y . Найти массу пластины, если в каждой точке поверхностная плотность равна y x; . № ) ( 1 x f y ) ( 2 x f y y x; 21 2 3 x y 2 x y x 5 22 8 7 x y 2 x y y 5 23 7 8 x y 2 x y x 2 15 24 14 5 x y 2 x y y 2 25 Решение типового примера Вычислить массу неоднородной пластины, ограниченной линиями 3 и 3 2 x y . Поверхностная плотность в каждой точке пластины равна Решение находится по формуле Следовательно, в нашем случае нужно вычислить двойной интеграл D xdxdy m 6 Построим область D , ограниченную 3 3 x y - прямой 3 2 x y - параболой с вершиной О, рисунок 2. Для этого найдем точки пересечения 6 y , 3 y 3 x , 0 x 0 x 3 x 3 x 3 3 x 3 x 3 y 3 x y 2 1 2 1 2 2 2 Пределы внешнего интеграла попеременной числа 0 и 3 – указывают на то, что пластина ограничена слева прямой x=0 и справа прямой x=3. Пределы внутреннего интеграла попеременной указывают на то, что пластина ограничена снизу параболой 3 2 x y и сверху прямой 3 3 x y x y D 3 6 0 -3 Рисунок 2 16 Таким образом 3 0 3 0 2 3 3 3 3 0 3 3 3 3 3 3 6 6 6 6 2 2 x x xdx y xdx dy xdx xdxdy m x x x x D 3 0 0 3 4 3 3 2 ). ( 5 , 40 5 , 121 162 5 , 1 6 6 18 массы ед x x dx x x 26-30. С помощью двойного интеграла вычислить объем тела, ограниченного заданными поверхностями и расположенного в первом октанте. 26. 25 2 2 y x ; 25 2 2 z x ; 27. 16 2 2 y x ; 16 2 2 z x ; 28. 4 2 2 y x ; 4 2 2 z x ; 29. 1 2 2 y x ; 4 2 2 z x ; 30 2 2 2 y x z ; 2 x y ; Решение типового примера Найти объем тела, ограниченного поверхностями 9 2 2 y x ; 9 и расположенного в первом октанте. Решение. Объем цилиндрического тела, ограниченного сверху поверхностью ) ; ( y x f z , Рисунок 3 3 3 3 y x z 0 17 снизу плоскостью z=0 и по бокам прямой цилиндрической поверхностью, вырезающей на плоскости xOy область D, вычисляется по формуле D dxdy y x f V ) ; ( В данном случае заданное тело ограничено двумя круговыми цилиндрами, область D – это часть круга радиуса 3, расположенная в первом квадранте рис. Искомый объем выразится интегралом 3 0 9 0 2 9 0 3 0 9 0 2 2 3 0 2 2 2 9 9 9 dx y x dx dy x dy x dx V x x x ). ( 18 9 27 3 9 3 3 0 3 ед x x |