МУ_ЗЕМ математика курс 2 заочн.. Методические указания для выполнения контрольной и самостоятельной работы по дисциплине (модулю) для обучающихся 2 курса заочной формы обучения по направлению подготовки 21. 03. 02 Землеустройство и кадастры
![]()
|
Общее решения 1. 2 действительные различные x k x k e C e C Y 2 1 2 1 2. 2 1 0 k k D - действительные равные 1 2 1 2 2 2 3 i k i k D 2 комплексные сопряженные Частное решение неоднородного уравнения находим по виду правой части уравнения, при этом если x n e x P x f 2 , где многочлен ой степени с неопределенными коэффициентами, то частное решение будет иметь вид 1. x n e x Q y 2 , где x Q n - многочлен ой степени с неопределенными коэффициентами 2. x n e x Q x y 2 , если совпадает с одним из корней характеристического уравнения 2 или. 2 1 2 если 28 Если то В нашем примере x e x f 3 10 , 2 3 k имеем второй случай, множитель перед x e 3 - многочлен нулевой степени, частное решение записываем в виде x xAe y 3 , где А неопределенный коэффициент, чтобы найти значение А решение подставляем в данное уравнение, для этого найдем y и y x x x x x x x x x Axe Ae Axe Ae y e x A Ae xe e A e xA y 3 3 3 3 3 3 3 3 3 9 6 9 3 Подставляем в данное уравнение значение y y y , , 2 2 10 5 10 5 10 6 9 6 3 3 3 3 3 3 3 3 уравнения ого неоднородн линейного решение частное xe y A A e Ae e Axe Ae Axe Ae x x x x x x x x x x x e x e c e c y 3 3 2 2 1 2 - общее решение данного уравнения. Чтобы найти частное решение, удовлетворяющее начальным условиям 1 0 y , 4 0 y , найдем x x x x e x e e c e c y 3 3 3 2 2 1 6 2 3 Используя начальные условия, получим систему уравнений 5 4 5 1 6 3 1 2 1 6 3 2 1 0 6 2 3 2 4 0 2 1 2 1 2 2 2 1 2 1 2 1 0 0 0 2 0 1 0 0 2 0 1 c c c c c c c c c c e e e c e c e e c e с Следовательно, x x e x e e y 3 5 4 2 2 5 4 5 1 - частное решение неоднородного уравнения. 29 Тема Числовые и степенные ряды. Применение рядов к приближенным вычислениям (задачи 71-100). Перед выполнением задач необходимо изучить разделы 24,25,26 ДЕ (ряды). 71-75.Исследовать сходимость рядов, используя признак Даламбера. 71. 1 3 6 n n n 74. 1 4 1 n n n n 72. 1 ! 1 3 n n n 75. 1 2 ! n n n 73. 1 5 1 n n n 76-80. Исследовать сходимость рядов, пользуясь интегральным признаком сходимости Коши. 76. 1 2 4 1 n n 79. 1 2 1 n n e 77. 1 3 4 1 n n 80. 1 1 2 1 n n 78. 1 1 7 1 n n 81-90. Дан степенной ряд. Написать первые три члена ряда и найти интервал сходимости, определить тип сходимости ряда на концах интервала сходимости. 81. 1 1 3 n n n n x 86. 1 7 2 4 n n n n x 82. 1 2 7 ) 1 ( n n n n x 87. 1 4 6 n n n n x 83. 1 2 2 3 n n n n x 88. 1 2 5 4 n n n n x 30 84. 1 6 1 2 n n n n x 89. 1 1 n n n n x 85. 1 2 8 3 1 n n n n x 90. 1 Решение типового примера Дан степенной ряд 1 3 9 n n n n x . Написать первые три члена ряда и найти интервал сходимости, определить тип сходимости ряда на концах интервала сходимости. Решение. Беря последовательность n=1,2,3,…., запишем данный ряд в виде 243 27 81 8 9 1 3 Общий член ряда n n n n x U 9 3 , тогда 1 3 1 Для нахождения интервала сходимости воспользуемся признаком Даламбера. n n n U U 1 lim 1 3 3 1 9 1 9 lim n n n n n n x n x x 9 1 3 3 1 lim n n n x 9 1 3 1 lim n n n x 9 1 3 1 1 1 lim n n 1 9 1 x x 9 Данный ряд абсолютно сходится при тех значениях x, которые удовлетворяют условию 1 9 1 x , или 9 x , или 9 9 x - интервал сходимости степенного ряда. Исследуем сходимость ряда на концах полученного интервала. 1) При x=-9 заданный ряд принимает вид 31 1 3 9 9 n n n n 1 3 9 1 9 n n n n n 1 Полученный числовой ряд является знакочередующимся. Этот ряд сходится по признаку Лейбница, так как выполняются два условия признака Лейбница. а) Члены ряда убывают по абсолютной величине, те. 64 1 27 1 8 б) Предел общего члена ряда стремится к нулю при n n n U lim 0 1 1 Следовательно, x=-9 входит в интервал сходимости. 2) При x=9 ряд примет вид 1 3 9 9 n n n n 1 3 1 n n . Получим знакоположительный числовой ряд, исследуем его по интегральному признаку Коши. Вычислим несобственный интеграл 1 3 x dx b b dx x 1 3 lim 1 2 2 1 lim b b x 2 1 2 1 0 2 1 1 2 1 2 1 2 lim Несобственный интеграл сходится, следовательно, сходится и исследуемый ряди значение x=9 принадлежит интервалу сходимости . Таким образом 9 9 x - интервал сходимости степенного ряда. 91-100. Требуется вычислить определенный интеграл с точностью до 0,001 путем предварительного разложения подынтегральной функции вряд и почленного интегрирования этого ряда. 91. 5 , 0 0 dx e x x 96. 1 0 sin dx x x 92. 3 , 0 0 3 dx e x x 97. 1 , 0 0 1 ln dx x x 93. 1 0 2 cos dx x x 98. 5 , 0 0 3 1 dx x 32 94. 4 , 0 0 5 3 dx xe x 99. 1 0 sin dx x x 95. 1 0 2 cos xdx x 100. 1 , 0 При решении задач 91-100 воспользуйтесь разложением следующих элементарных функций в степенной ряд ! 4 ! 3 ! 2 ! 1 1 4 3 2 x x x x e x ; x ! 7 ! 5 ! 3 ! 1 sin 7 5 3 x x x x x ; x ! 6 ! 4 ! 2 1 cos 6 4 2 x x x x ; x 4 3 2 1 ) 1 ln( 4 3 2 x x x x x 1 ; 1 x ! 4 3 2 1 ! 3 2 1 ! 2 1 1 1 4 Решение типового примера. Требуется вычислить определенный интеграл 5 , 0 0 2 sin dx x x с точностью до 0,001 путем предварительного разложения подынтегральной функции вряд и почленного интегрирования этого ряда. Решение. Для решения задачи необходимо подынтегральную функцию представить в виде степенного ряда. Используем известное разложение в степенной ряд тригонометрической функции sinx ! 7 ! 5 ! 3 ! 1 sin 7 Заменим переменную x на 2x. 33 Получим разложение функции sin2x, ! 7 ) 2 ( ! 5 ) 2 ( ! 3 ) 2 ( ! 1 2 2 sin 7 Разделим почленно на x. ! 7 2 ! 5 2 ! 3 2 2 2 sin 6 7 4 5 2 Проинтегрируем полученный ряд. 0 5 , 0 6 7 4 5 2 3 5 , 0 0 6 7 4 5 2 3 5 , 0 0 ! 7 2 ! 5 2 ! 3 2 2 ! 7 2 ! 5 2 ! 3 2 2 2 sin x x x x dx x x x dx x x 35280 1 600 1 18 1 1 7 ! 7 1 5 ! 5 1 3 ! 3 1 1 x x 2 sin 5 , 0 0 35280 1 600 1 18 Получен знакочередующийся ряд. Абсолютные величины членов ряда монотонно убывают, при этом предел общего члена ряда равен нулю при n . Выполняются условия теоремы Лейбница. Следовательно, ряд сходится и имеет конечную сумму. Так как в этом ряде четвертый член по абсолютной величине меньше 0,001, то для достижения заданной степени точности можно ограничиться первыми тремя членами. 946 , 0 0017 , 0 0556 , 0 1 600 1 18 1 1 2 sin 5 , 0 0 x x 34 Методическое издание Савельева Екатерина Владимировна МАТЕМАТИКА Методические указания для выполнения контрольной и самостоятельной работы по дисциплине (модулю) для обучающихся 2 курса заочной формы обучения по направлению подготовки 21.03.02 - Землеустройство и кадастры Электронное издание |