МУ_ЗЕМ математика курс 2 заочн.. Методические указания для выполнения контрольной и самостоятельной работы по дисциплине (модулю) для обучающихся 2 курса заочной формы обучения по направлению подготовки 21. 03. 02 Землеустройство и кадастры

• Название: Методические указания для выполнения контрольной и самостоятельной работы по дисциплине (модулю) для обучающихся 2 курса заочной формы обучения по направлению подготовки 21. 03. 02 Землеустройство и кадастры
• Дата: 16.02.2023
• Размер: 0.86 Mb.
• Имя файла: МУ_ЗЕМ математика курс 2 заочн..pdf
• Тип: Методические указания; #939458
• страница: 3 из 3

Общее решения
1.
2 действительные различные
x
k
x
k
e
C
e
C
Y
2 1
2 1


2.
2 1
0
k
k
D


- действительные равные 1
2 1
2 2
2




3










i
k
i
k
D




2 комплексные сопряженные Частное решение неоднородного уравнения находим по виду правой части уравнения, при этом если
 
 
x
n
e
x
P
x
f
2

, где
 многочлен ой степени с неопределенными коэффициентами, то частное решение будет иметь вид
1.
 
x
n
e
x
Q
y
2

, где
 
x
Q
n
- многочлен ой степени с неопределенными коэффициентами
2.
 
x
n
e
x
Q
x
y
2



, если

совпадает с одним из корней характеристического уравнения


2 или.
 
2 1
2 если

28 Если
 
 то В нашем примере
 
x
e
x
f
3 10

,
2 3
k



имеем второй случай, множитель перед
x
e
3
- многочлен нулевой степени, частное решение записываем в виде
x
xAe
y
3

, где А неопределенный коэффициент, чтобы найти значение А решение подставляем в данное уравнение, для этого найдем

y и

y




x
x
x
x
x
x
x
x
x
Axe
Ae
Axe
Ae
y
e
x
A
Ae
xe
e
A
e
xA
y
3 3
3 3
3 3
3 3
3 9
6 9
3 Подставляем в данное уравнение значение
y
y
y
,
,


2 2
10 5
10 5
10 6
9 6
3 3
3 3
3 3
3 3
уравнения
ого
неоднородн
линейного
решение
частное
xe
y
A
A
e
Ae
e
Axe
Ae
Axe
Ae
x
x
x
x
x
x
x
x











x
x
x
e
x
e
c
e
c
y
3 3
2 2
1 2





- общее решение данного уравнения. Чтобы найти частное решение, удовлетворяющее начальным условиям
 
1 0

y
,
 
4 0



y
, найдем
x
x
x
x
e
x
e
e
c
e
c
y
3 3
3 2
2 1
6 2
3 Используя начальные условия, получим систему уравнений




















































5 4
5 1
6 3
1 2
1 6
3 2
1 0
6 2
3 2
4 0
2 1
2 1
2 2
2 1
2 1
2 1
0 0
0 2
0 1
0 0
2 0
1
c
c
c
c
c
c
c
c
c
c
e
e
e
c
e
c
e
e
c
e
с
Следовательно,
x
x
e
x
e
e
y
3 5
4 2
2 5
4 5
1





- частное решение неоднородного уравнения.

29 Тема Числовые и степенные ряды. Применение рядов к приближенным вычислениям (задачи 71-100). Перед выполнением задач необходимо изучить разделы 24,25,26 ДЕ (ряды).
71-75.Исследовать сходимость рядов, используя признак Даламбера.
71.



1 3
6
n
n
n
74.






1 4
1
n
n
n
n
72.






1
!
1 3
n
n
n
75.



1 2
!
n
n
n
73.




1 5
1
n
n
n
76-80. Исследовать сходимость рядов, пользуясь интегральным признаком сходимости Коши.
76.




1 2
4 1
n
n
79.



1 2
1
n
n
e
77.




1 3
4 1
n
n
80.




1 1
2 1
n
n
78.




1 1
7 1
n
n
81-90. Дан степенной ряд. Написать первые три члена ряда и найти интервал сходимости, определить тип сходимости ряда на концах интервала сходимости.
81.





1 1
3
n
n
n
n
x
86.





1 7
2 4
n
n
n
n
x
82.





1 2
7
)
1
(
n
n
n
n
x
87.







1 4
6
n
n
n
n
x
83.







1 2
2 3
n
n
n
n
x
88.







1 2
5 4
n
n
n
n
x

30 84.







1 6
1 2
n
n
n
n
x
89.







1 1
n
n
n
n
x
85.







1 2
8 3
1
n
n
n
n
x
90.







1 Решение типового примера Дан степенной ряд




1 3
9
n
n
n
n
x
. Написать первые три члена ряда и найти интервал сходимости, определить тип сходимости ряда на концах интервала сходимости. Решение. Беря последовательность n=1,2,3,…., запишем данный ряд в виде
243 27 81 8
9 1
3 Общий член ряда
n
n
n
n
x
U
9 3


, тогда
1 3
1 Для нахождения интервала сходимости воспользуемся признаком Даламбера.




n
n
n
U
U
1
lim












1 3
3 1
9 1
9
lim
n
n
n
n
n
n
x
n
x


x
9 1






3 3
1
lim
n
n
n


x
9 1










3 1
lim
n
n
n



x
9 1














3 1
1 1
lim
n
n
1 9
1


x



x
9 Данный ряд абсолютно сходится при тех значениях x, которые удовлетворяют условию
1 9
1


x
, или
9

x
, или
9 9



x
- интервал сходимости степенного ряда. Исследуем сходимость ряда на концах полученного интервала.
1) При x=-9 заданный ряд принимает вид

31
 





1 3
9 9
n
n
n
n
   








1 3
9 1
9
n
n
n
n
n
 




1 Полученный числовой ряд является знакочередующимся. Этот ряд сходится по признаку Лейбница, так как выполняются два условия признака Лейбница. а) Члены ряда убывают по абсолютной величине, те.
64 1
27 1
8 б) Предел общего члена ряда стремится к нулю при


n



n
n
U
lim
0 1
1 Следовательно, x=-9 входит в интервал сходимости.
2) При x=9 ряд примет вид
 




1 3
9 9
n
n
n
n




1 3
1
n
n
. Получим знакоположительный числовой ряд, исследуем его по интегральному признаку Коши. Вычислим несобственный интеграл



1 3
x
dx





b
b
dx
x
1 3
lim









1 2
2 1
lim
b
b
x
2 1
2 1
0 2
1 1
2 1
2 1
2
lim






 







 Несобственный интеграл сходится, следовательно, сходится и исследуемый ряди значение x=9 принадлежит интервалу сходимости . Таким образом
9 9



x
- интервал сходимости степенного ряда.
91-100. Требуется вычислить определенный интеграл с точностью до
0,001 путем предварительного разложения подынтегральной функции вряд и почленного интегрирования этого ряда.
91.



5
,
0 0
dx
e
x
x
96.


1 0
sin
dx
x
x
92.


3
,
0 0
3
dx
e
x
x
97.




1
,
0 0
1
ln
dx
x
x
93.


1 0
2
cos
dx
x
x
98.


5
,
0 0
3 1
dx
x

32 94.


4
,
0 0
5 3
dx
xe
x
99.

1 0
sin
dx
x
x
95.


1 0
2
cos xdx
x
100.

1
,
0 При решении задач 91-100 воспользуйтесь разложением следующих элементарных функций в степенной ряд
!
4
!
3
!
2
!
1 1
4 3
2






x
x
x
x
e
x






;
x
!
7
!
5
!
3
!
1
sin
7 5
3





x
x
x
x
x






;
x
!
6
!
4
!
2 1
cos
6 4
2





x
x
x
x






;
x
4 3
2 1
)
1
ln(
4 3
2






x
x
x
x
x


1
;
1


x











!
4 3
2 1
!
3 2
1
!
2 1
1 1
4 Решение типового примера. Требуется вычислить определенный интеграл

5
,
0 0
2
sin
dx
x
x
с точностью до
0,001 путем предварительного разложения подынтегральной функции вряд и почленного интегрирования этого ряда. Решение.
Для решения задачи необходимо подынтегральную функцию представить в виде степенного ряда. Используем известное разложение в степенной ряд тригонометрической функции
sinx
!
7
!
5
!
3
!
1
sin
7 Заменим переменную x на 2x.

33 Получим разложение функции sin2x,
!
7
)
2
(
!
5
)
2
(
!
3
)
2
(
!
1 2
2
sin
7 Разделим почленно на x.
!
7 2
!
5 2
!
3 2
2 2
sin
6 7
4 5
2 Проинтегрируем полученный ряд.




























0 5
,
0 6
7 4
5 2
3 5
,
0 0
6 7
4 5
2 3
5
,
0 0
!
7 2
!
5 2
!
3 2
2
!
7 2
!
5 2
!
3 2
2 2
sin
x
x
x
x
dx
x
x
x
dx
x
x
35280 1
600 1
18 1
1 7
!
7 1
5
!
5 1
3
!
3 1
1












x
x
2
sin
5
,
0 0
35280 1
600 1
18 Получен знакочередующийся ряд. Абсолютные величины членов ряда монотонно убывают, при этом предел общего члена ряда равен нулю при


n
. Выполняются условия теоремы Лейбница. Следовательно, ряд сходится и имеет конечную сумму. Так как в этом ряде четвертый член по абсолютной величине меньше 0,001, то для достижения заданной степени точности можно ограничиться первыми тремя членами.
946
,
0 0017
,
0 0556
,
0 1
600 1
18 1
1 2
sin
5
,
0 0








x
x

34 Методическое издание
Савельева Екатерина Владимировна МАТЕМАТИКА Методические указания для выполнения контрольной и самостоятельной работы по дисциплине (модулю) для обучающихся 2 курса заочной формы обучения по направлению подготовки 21.03.02 - Землеустройство и кадастры
Электронное издание