МУ_ЗЕМ математика курс 2 заочн.. Методические указания для выполнения контрольной и самостоятельной работы по дисциплине (модулю) для обучающихся 2 курса заочной формы обучения по направлению подготовки 21. 03. 02 Землеустройство и кадастры
 Скачать 0.86 Mb.
|
|
Тема:3 Криволинейные интегралы (задачи 31-40). Перед выполнением задач необходимо изучить раздел 20 ДЕ рабочей программы. 31-35. Вычислить криволинейный интеграл L dy y x Q dx y x P K ; ) ; ( от точки О до точки С по двум различным путям 1) L – ломаная ОАС, где А 2) L- дуга параболы 2 x 2 1 y . Полученные результаты сравнить и объяснить их совпадение. 31. L dy y x dx y x 2 2 5 34. L dy y x dx y x 3 4 4 2 32. L dy y x dx y x 4 3 3 2 35. L dy y x dx y x 6 5 5 33. L dy y x dx y x 2 18 36-40. Вычислить криволинейный интеграл L dy y x Q dx y x P K ; ) ; ( от точки О до точки С по двум различным путям 1) L – ломаная ОВС, где В 2) L- дуга параболы 2 x 2 1 y . Полученные результаты сравнить и объяснить их совпадение. 36. L dy x dx y x 1 2 2 3 39. L dy y x dx y x 5 4 37. L dy x dx y x 7 4 4 40. L dy y x dx y x 6 2 2 5 38. L dy y x dx y x 4 Решение типового примера Вычислить криволинейный интеграл L dy xy dx y x K 4 1 2 2 от точки О до точки С потрем различным путям 1) L – ломаная ОАС, где А 2) L – ломаная ОВС, где В 3) L- дуга параболы Полученные результаты сравнить и объяснить их совпадение. Решение Построим область интегрирования, рисунок 4. 1) Вычислим интеграл по ломаной ОАС. Интеграл равен сумме интегралов на отрезках ОА и АС АС ОА ОАС К К K y 0 2 4 A C B x Рисунок 4 19 На отрезке ОА: , 2 следовательно L OA dy xy dx y x K 4 1 2 2 2 0 2 2 2 2 0 2 2 2 0 x xdx На отрезке АС 4 0 , 0 , 2 y dx x , следовательно AC K 68 64 4 4 8 1 0 4 2 4 Тогда 70 68 2 АС ОА ОАС К К K 2) Вычислим интеграл по ломаной ОВС. Интеграл равен сумме интегралов на отрезках ОВ и ВС: ВС ОВ ОВС К К K На отрезке ОВ: , 4 следовательно OB K 4 0 4 На отрезке ВС: , 2 следовательно 66 64 2 32 2 32 0 2 2 2 Тогда 70 66 4 BС ОB ОBС К К K 3) Вычислим интеграл по дуге параболы 2 x y 2 0 , 2 x xdx dy , 70 64 6 32 2 2 3 2 2 3 10 3 8 2 2 2 4 1 2 0 2 5 2 2 0 2 0 4 4 4 2 2 0 4 x x dx x x dx x x x x xdx x x dx x х K Как видно во всех случаях получено одно и тоже значение криволинейного интеграла. Совпадение результатов объясняется тем, что выполняется условие независимости криволинейного интеграла от пути интегрирования 20 Р, где 2 2 ; y x y x P , xy y x Q 4 1 ; В нашем случае y y x y P y 4 2 ' 2 , y xy x Q x 4 4 1 ' 41-50. Вычислить работу, совершаемую переменной силой j y x Q i y x P F ; ; на криволинейном участке пути L , соединяющем заданные точки 1 1 ; y x A и 2 2 ; y x B . 41. j xy i y x F 2 3 2 2 0 ; 0 A 3 ; 1 B L- дуга параболы x x y 2 2 42. j xy i y x F 5 2 4 ; 0 A 0 ; 2 B L- отрезок прямой,соединяющей точки Аи В 43. j y x i xy F 2 1 3 1 ; 1 A 0 ; 0 B L- дуга параболы 3 x y 44. j xy i y x F 3 5 2 9 ; 1 A 32 ; 2 B L- дуга параболы x x y 2 7 2 45. j y x i y xy F 2 2 1 ; 0 A 1 ; 1 B L- отрезок прямой,соединяющей точки Аи В 46. j y x i xy F 2 3 7 1 ; 1 A 4 ; 2 B L- отрезок прямой,соединяющей точки Аи В 47. j xy i y x F 8 2 2 2 2 ; 1 A 6 ; 2 B L- дуга параболы x x y 2 48. j y x i xy F 2 4 4 2 5 ; 1 A 14 ; 2 B L- дуга параболы 2 3 2 x y 49. j y x i xy F 4 3 5 2 4 ; 1 A 6 ; 1 B L- дуга параболы x x y 5 2 50. j xy i y x F 8 3 3 2 3 ; 1 A 2 ; 0 B L- отрезок прямой,соединяющей точки Аи В 21 Решение типового примера Вычислить работу, совершаемую переменной силой j xy i y x F 7 4 4 на криволинейном участке пути L , соединяющем заданные точки 1 ; 0 A и 7 ; 2 B : Решение. Переменная силана криволинейном участке АВ производит работу, которая находится по формуле dy y x Q dx y x P A AB ; ; . Таким образом, для нахождения работы необходимо вычислить криволинейный интеграл dy xy dx y x A AB 7 4 4 2 Найдем уравнение прямой АВ ( пути интегрирования) по формуле 1 2 1 1 2 1 x x x x y y y y 0 2 0 1 7 1 x y 1 4 8 1 2 2 8 1 x y x y x y - уравнение прямой АВ. Следовательно dx dy 4 , при этом 2 0 x , тогда 2 0 2 2 2 28 16 64 4 16 4 7 ) 1 4 ( 4 ) 1 4 ( 4 dx x x x x dx x x dx x x A AB 2 0 0 2 3 2 ) ( 33 , 109 0 64 8 3 65 32 3 65 32 65 работы ед x x dx x Тема:4 Дифференциальные уравнения.(задачи 51-60). Перед выполнением задач необходимо изучить разделы 21,22,23 ДЕ-5(дифференциальные уравнения) 22 51-60. Найти общее решение (общий интеграл) дифференциальных уравнений первого порядка. 51. 0 ln x y y y x 56. x e x y y x 1 52. 0 3 2 2 x y y xy 57. x x y y x 53. 2 2 y x y y x 58. 2 2 6 y x y xy 54. x e y y 59. 0 2 2 2 x y y x 55. 5 4 5 x e y x y 60. Решение типового примера Найти общее решение (общий интеграл) дифференциальных уравнений первого порядка. а) Решение. Данное уравнение является линейным уравнением первого порядка, те. уравнением вида x Q y x P y Для решений уравнений такого типа полагают v u y , где u, v – независимые функции от x, v u v u y . Подставляем y ив данное уравнение в нашем случае будем иметь x ctgx uv v u v u sin 1 или Подберем функцию x u u так, чтобы выражение в скобке, обращалось в нуль. Для нахождения функций x u и получим систему 23 * sin 1 0 x v u uctgx u Из первого уравнения системы определяем функцию x u , имеем дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными x u x u dx x x u du dx ctgx u du ctgx u dx du uctgx u sin sin ln ln sin cos 0 Для определения функции x v , найденное значение функции подставляем во второе уравнение системы Записываем общее решение данного уравнения в виде v u y или c ctgx x y sin ; c x x x y sin cos sin ; x c x y sin cos - общее решение. б) Решение Разделим обе части уравнения на x: x y e y x y 2 Данное уравнение является однородным, т.к. содержит функции одного итого же измерения относительно переменных x и y. Применяем подстановку x t t y t x y t x y , тогда уравнение примет вид 0 Получили уравнение с разделяющими переменными относительно x и t . Разделяем переменные и интегрируем dx e xdt t 2 24 x dx e dt t 2 x dx e dt t 2 c x e c x e t t 2 ln ln Возвращаясь к исходной переменной, получим c x e x y 2 ln - общий интеграл. 61-70. Даны дифференциальные уравнения второго порядка. Найти а) общее решение дифференциального уравнения, допускающего понижение порядка б) частное решение линейного неоднородного уравнения, удовлетворяющее начальным условиям. 61. а) 2 баба баба баба) баба баб Решение типового примера Решить дифференциальные уравнения второго порядка. а) y x y x 2 3 3 Решение. Данное дифференциальное уравнение допускает понижение порядка, не содержит явно функцию y. Положим p y , тогда dx dp p y и уравнение примет вид p x dx dp x 2 3 3 Получили уравнение первого порядка с разделяющимися переменными, разделим переменные и проинтегрируем обе части dx x x p dp 1 3 3 2 , dx x x p dp 1 3 3 2 , 1 3 ln 1 ln ln c x p , где интеграл, стоящий в правой части решаем подстановкой 1 3 x t и приводим к табличному c t t dt ln Применяя свойство логарифма, получим 1 ) 1 ( ln ln 3 1 1 3 x c p с x p Возвращаясь к подстановке, получим dx x c dy dx x c dy x c y 1 1 1 3 1 3 1 3 1 , тогда 2 4 1 4 c x x c y - общее решение. 26 б) 1 Решение. Данное уравнение также допускает понижение порядка, в нем явно отсутствует переменная x. Положим p y , тогда Подставляя, получим уравнение с разделяющимися переменными 1 2 2 y p dy dp p Разделяя переменные и интегрируя, получим 2 1 1 1 ln 1 ln 2 ln 1 Возвращаясь к переменной y, имеем dx c y dy y c y 1 2 2 1 1 1 dx c y dy 1 2 1 , где интеграл, стоящий в левой части подстановкой 1 y t приведем к табличному c t t dt 1 2 , тогда получим 2 1 1 1 c x c y , откуда 2 1 1 1 c x c y - общее решение. в) x e y y y 3 10 6 ; 1 0 y , 4 Решение. Имеем линейное неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами вида x f q y p y , где p,q – числа. 27 Общее решение этого уравнения состоит из суммы общего решения соответствующего однородного уравнения 0 q y p y и частного решения неоднородного уравнения те. y Y y Чтобы найти общее решение однородного уравнения Y, составляют характеристическое уравнение 0 2 q pk k , по корням этого уравнения записывают вид общего решения Y В нашем примере 0 6 y y y - соответствующее однородное уравнение. 0 характеристическое уравнение, найдем его корни 3 ; 2 25 2 1 k k D . Корни действительные различные, следовательно, общее решение однородного уравнения имеет вид x x e c e c Y 3 2 2 Корни характеристического уравнения 0 2 q pk k |