Методические указания и индивидуальные задания для студентов технических специальностей
Скачать 0.84 Mb.
|
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ЮГО-ЗАПАДНЫЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ КАФЕДРА ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ Р ейтинговая И нтенсивная Т ехнология М одульного О бучения ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ Методические указания и индивидуальные задания для студентов технических специальностей МОДУЛЬ – 2 КУРСК 2001 Составитель А.В.Бойков УДК 519Векторная алгебра. Аналитическая геометрия: Методическиеуказания и индивидуальные задания для студентов техническихспециальностей / Курск.гос.техн.ун-т; Сост. А.В.Бойков. Курск,2001. 37с.Методические указания отражают требования образователь-ного стандарта уровня подготовки специалистов по техническимспециальностям. Работа содержит теоретические индивидуаль- ные упражнения, практические индивидуальные задания, кон-трольные вопросы, указания к использованию ЭВМ, указания квыполнению заданий, рекомендуемую литературу по темам“Векторная алгебра” и “Аналитическая геометрия”.Предназначены для студентов технических специальностей. Табл. 3. Ил. 2. Библиогр.: 8 назв. Рецензент канд. физ.-мат. наук, доцент кафедры высшейматематики В.И. ДмитриевТекст печатается в авторской редакции ЛР №020280 от 09. 12. 96. ПЛД № 50-25 от 1. 04.97. Подписано в печать ________. Формат 60х84 1/16. Печать офсет- ная. Усл. печ. л…… Уч.-изд. л…… Тираж 100 экз. Заказ ………... Бесплатно. Курский государственный технический университет. Подразделение оперативной полиграфии Курского Государствен- ного технического университета. Адрес университета и подразделения оперативной полиграфии: 305040 Курск, ул. 50 лет Октября, 94. СОДЕРЖАНИЕ Введение…………………………………………………….4 1. Индивидуальные задания……………………………….5
2. Использование ЭВМ…………………………………...25
Список рекомендуемой литературы…………………….37 ВВЕДЕНИЕЦель преподавания математики в вузе – ознакомить студен-тов с основами математического аппарата, необходимого для решения теоретических и практических задач; привить студентам умение самостоятельно изучать учебную литературу по матема-тике и ее приложениям; развить логическое мышление и повы-сить общий уровень математической культуры; выработать навыки математического исследования прикладных вопросов и умение перевести задачу на математический язык. Важным фактором усвоения математики и овладения ее методами является самостоятельная работа студента. Одной из форм организации самостоятельной работы студен-тов является система РИТМО – система рейтинговой интенсив-ной технологии модульного обучения. Как показывает опыт ряда вузов нашей страны эта система активизирует самостоятельную работу студентов и способствует более глубокому изучению курса математики. Предлагаемые методические указания являются пособием к одному из модулей системы РИТМО, используемой в течении десяти лет в преподавании математики в Курском Государствен-ном техническом университете. Методические указания посвяще-ны разделам “Векторная алгебра” и “Аналитическая геометрия” (до тем кривые и поверхности второго порядка) и содержат индивидуальные задания (теоретическое упражнение и практи-ческие задания), контрольные вопросы, рекомендуемую литера-туру, указания к использованию ЭВМ (Маthcad) при выполнении заданий модуля, образцы выполнения некоторых (наиболее труд-ных) заданий. Предусмотрены три уровня сложности заданий модуля. Студент должен выполнить одно теоретическое упражнение и некоторое количество практических заданий, в зависимости от выбранного им (или преподавателем) уровня сложности: первый уровень - №№ 3-5, 8, 9(а,б), 11(а,б); второй уровень - №№ 1-9, 11(а-е,и-л); третий уровень - №№ 1-12. 1. ИНДИВИДУАЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ Выбор индивидуального задания к модулю-2 осуществляет-ся по номеру варианта студента n. При этом используются параметр Рк - остаток от деления номера варианта n на число к, и выражение [n / k] - целая часть от деления n на k. Например, если n = 7, то Р2=1, Р3=1, Р4=3, Р5=2, Р6=1, Р7=0, Р8=7, Р9=7 и т.д. Если n = 7 и к = 4, то [n/k] = [7/4] = 1. При выполнении индивидуальных заданий модуля рекомен- дуется использовать следующую литературу: [1, гл. 1, §§ 1-4; гл. 2, §§ 4-5; 2, §§ 5-14; 3, гл. 3, §§3-9; 4, гл. I-III; 5, гл.2, §§ 1-3; 6-8].
Выполнить теоретическое упражнение номер m, где m=P30 +1. 1. Сформулировать и доказать свойства проекции вектора на ось. 2. Записать и доказать соотношения между координатами вектора и координатами точек “начала” и “конца” вектора. 3. Сформулировать и доказать необходимое и достаточное усло- вие коллинеарности векторов. 4. Записать и доказать формулы, выражающие координаты точки, делящей отрезок в заданном отношении, через координаты кон- цов этого отрезка. 5. Записать и доказать формулы для длины и направляющих коси- нусов вектора, выражающие эти величины через декартовы ко- ординаты вектора. 6. Доказать свойства скалярного произведения векторов. 7. Записать и доказать формулу, выражающую скалярное произ- ведение векторов через их декартовы координаты. 8. Сформулировать и доказать необходимое и достаточное усло- вие ортогональности векторов. 9. Записать и доказать формулы для косинуса угла между двумя векторами в пространствах V2 и V3. 10. Доказать свойство [] = - [] векторного произведе- ния векторов. 11. Используя свойства векторного произведения, доказать фор- мулу, выражающую векторное произведение векторов через их декартовы координаты. 12. Записать и доказать формулы для вычисления площади парал- лелограмма и треугольника с помощью векторного произведе- ния векторов. 13. Записать и доказать формулу, выражающую смешанное про- изведение векторов через их декартовы координаты. 14. Доказать свойства смешанного произведения векторов. 15. Записать и доказать формулы для вычисления объема парал- лелепипеда и треугольной пирамиды с помощью смешанного произведения векторов. 16. Сформулировать и доказать необходимое и достаточное усло- вие компланарности векторов пространства V3. 17. Доказать, что любая прямая на плоскости имеет уравнение Ах + Ву + С = 0, где = (A;B) нормальный вектор этой прямой. 18. Вывести уравнение прямой на плоскости, проходящей через точку М0(х0;у0) с угловым коэффициентом k. 19. Доказать, что любая прямая на плоскости имеет параметри- ческие уравнения , где (), - произвольная точка прямой, а вектор () – направляющий вектор этой прямой. Записать каноническое уравнение прямой. 20. Доказать, что любая прямая в пространстве имеет параметри- ческие уравнения где (), - произвольная точка прямой, а вектор () - направляющий вектор этой прямой. Записать каноническое уравнение прямой. 21. Вывести формулу для косинуса угла между двумя прямыми на плоскости, заданными общими уравнениями. Доказать условия параллельности и перпендикулярности прямых. 22. Вывести формулу для тангенса угла между двумя прямыми на плоскости, заданными уравнениями с угловым коэффициен- том. Сформулировать и доказать условия параллельности и перпендикулярности прямых. 23. Вывести формулу для косинуса угла между двумя прямыми на плоскости, заданными каноническими (параметрическими ) уравнениями. Сформулировать и доказать условия параллель- ности и перпендикулярности прямых. 24. Записать и доказать формулы для расстояния от точки до пря- мой на плоскости и от точки до плоскости в пространстве. 25. Записать и доказать формулу для расстояния от точки до пря- мой в пространстве. 26. Доказать, что любая плоскость в пространстве имеет уравне- ние Ах + Ву + Сz + D = 0, где = (A;B;C) нормальный век- тор этой плоскости. 27. Вывести уравнение плоскости проходящей через три заданные точки, не лежащие на одной прямой. 28. Вывести формулу для косинуса угла между двумя плоскостя- ми. Сформулировать и доказать условия параллельности и перпендикулярности плоскостей. 29. Вывести формулу для косинуса угла между двумя прямыми в пространстве, заданными каноническими (параметрическими) уравнениями. Сформулировать и доказать условия параллель- ности и перпендикулярности прямых. 30. Вывести формулу для синуса угла между прямой и плос- костью. Сформулировать и доказать условия параллельности и перпендикулярности прямой и плоскости. 1.2. ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАДАНИЯ 1.2.1. ЗАДАНИЕ 1 Решить задачу номер m из табл.1.1, где m = Р4 +1. Таблица 1.1 Индивидуальные условия к заданию 1
Продолжение табл. 1.1
1.2.2. ЗАДАНИЕ 2 Решить задачу номер m из табл.1.2, где m = Р5 + 1 Таблица 1.2 Индивидуальные условия к заданию 2
|