Методические указания и индивидуальные задания для студентов технических специальностей
 Скачать 0.84 Mb.
|
|
Продолжение табл. 1.2
1.2.3. ЗАДАНИЕ 3 Даны три силы:  = P2· + 2· - 7· ,  = 3· + P3· + 4· и  = -2· + Р5·. Найти равнодействующую  сил  и работу, которую она производит, когда точка её приложения, двигаясь прямолинейно, перемещается из положения М0 (0;1; P7 ) в положение М (Р6; 0; 1 ). 1.2.4. ЗАДАНИЕ 4 Сила  = ( P3 ; P5 ; -2 ) приложена к точке С ( Р4 ; -1 ; P7 ). Определить величину ( модуль ) и направление (направляющие косинусы ) момента этой силы относительно начала координат.1.2.5. ЗАДАНИЕ 5 Найти ненулевой вектор ортогональный векторам  = ( 1 - Р4; P5 + 1; -3 ) и  = ( P3 – 1; 1; 4 – P7 ). Сделайте проверку. 1.2.6. ЗАДАНИЕ 6 Даны точки: А(-1; -P3; 2) , B(P5; 2; 0) и C(P5·(P3 +2); P32 + 3Р3 + 4; Р8 - 2·(Р3+1)). Образуют ли эти точки треугольник ? Если да, то чему равна его площадь ? Если нет, то запишите формулу для нахождения площади тре- угольника средствами векторной алгебры. 1.2.7. ЗАДАНИЕ 7 Даны точки: A(1; -P2; -1), B(1-P3 ; 0; 1), C(-1; 1; P5-2) , D(P2 ; P4 ; P8). Образуют ли эти точки пирамиду ? Если да, то чему равен объём пирамиды ? Если нет, то запишите формулу для нахождения объёма пирами- ды средствами векторной алгебры. 1.2.8. ЗАДАНИЕ 8 Даны точки А(-1 – Р7 ; P5 - 2) и В(Р5 – 2 ; P5 + 4). Найти: а) точку С(х1 ; y1) - середину отрезка АВ; б) точку D(x2 ; y2) , которая делит отрезок АВ в отношении (Р9 + 1) : (9 – P9). 1.2.9. ЗАДАНИЕ 9 На плоскости даны точки А(х1; y1), B(x2; y2), C(x3; y3). Координаты точек взять в табл. 1.3. Сделайте чертёж треугольника АВС и найдите: а) длину и уравнение стороны ВС (записать общее уравнение, ка- ноническое, параметрические и с угловым коэффициентом); б) косинус угла А и угол А (в градусах); в) уравнение прямой, проходящей через точку А параллельно стороне ВС; г) высоту, проведенную к стороне ВС, и её уравнение; д) уравнение медианы, проведенной к стороне ВС; е) уравнение биссектрисы угла А. Таблица 1.3 Координаты точек А, В, С к заданию 9
Продолжение табл. 1.3
Продолжение табл. 1.3
1.2.10. ЗАДАНИЕ 10 Решить задачу номер n .
10. Даны уравнения одной из сторон ромба x - 3y + 10 = 0 и одной из его диагоналей x + 4y - 4 =0. Диагонали ромба пересекаются в точке P(0;1). Найти уравнения трех остальных сторон ромба. 11. Уравнения двух сторон параллелограмма x + 2y + 2 = 0 и x + y - 4 = 0, а уравнение одной из его диагоналей x - 2 = 0. Найти координаты вершин. 12. Даны вершины A(-3;-2) и B(8;-4) трапеции ABCD (AD || BC). Известно, что диагонали трапеции pавны и точка пеpесечения диагоналей О(0,2). Найти координаты вершин C и D этой трапеции. 13. Даны вершины A(2;-2) и B(3;-1) и точка P(1;0) пересечения медиан треугольника. Составить уравнение высоты треуголь- ника, проведенной через третью вершину C. 14. Даны уравнения двух высот треугольника 3x + 2y - 34 = 0 и x + y - 1 = 0 и одна из вершин A(6;5). Составить уравнения сторон. 15. Даны уравнения медиан 2x - 11y + 28 = 0, 5x + 7y - 22 = 0 и одна из вершин (-2;-2) треугольника. Составить уравнения сторон. 16. Две стороны треугольника заданы уравнениями 2x + y - 1 =0 и x - 3y + 14 =0, а середина третьей стороны совпадает с нача- лом координат. Составить уравнение третьей стороны. 17. Даны уравнения сторон треугольника: (AB) 7x - 2y + 32 = 0; (AC) x +y + 2 = 0; (BC) 4x + y - 1 = 0. Найти точку пересечения его высот. 18. Составьте уравнения катетов прямоугольного равнобедренно- го треугольника, если уравнение гипотенузы 3x - y + 11 = 0 и C(4;3) - вершина прямого угла. 19. В равнобедренном треугольнике известны: уравнение основа- ния 5x + 3y - 53 = 0, уравнение одной из боковых сторон x + 4y - 14 = 0 и точка на второй боковой стороне (3;7). Найдите уравнение второй боковой стороны. 20. Одна из сторон квадрата лежит на прямой x - 5y + 32 = 0, а одна из вершин находится в точке (2;1). Найдите уравнения остальных сторон квадрата. 21. Составить уравнения трех сторон квадрата, если известно, что четвертой стороной является отрезок прямой 4x - 7y + 28 = 0, концы которого лежат на осях координат. 22. Точки K (1;3) и L (-1;1) являются серединами оснований равнобедренной трапеции, а точки P (3;0) и Q (-3;5) лежат на её боковых сторонах. Составить уравнения сторон трапеции. 23. Даны стороны треугольника: (AC) 2x - 15y - 55 = 0; (AB) 4x - 3y + 25 = 0; (BC) 14x + 3y - 61 = 0. Составить уравнение прямой, проходящей через вершину C и через точку на стороне AB, делящую ее (считая от вершины А) в отношении 1:4. 24. Точки B(7;1) и D(9;-3) являются противоположными вершинами квадрата. Определить координаты двух других вершин. 25. В треугольнике известны уравнения высоты x + y - 3 = 0 и медианы 11x - 4y + 10 = 0, проведенных из различных вершин. Написать уравнения сторон тpеугольника, зная одну его вершину (8;9). 26. Написать уравнение сторон треугольника, зная одну его вер- шину (6;3), уравнения высоты 11x - 9y + 75 = 0 и биссектрисы 11x - 13y + 79 = 0, проведенных из одной вершины. 27. Точка A (2;0) является вершиной правильного треугольника, а противолежащая ей сторона лежит на прямой x + y -1 = 0. Составить уравнения двух других сторон. 28. Длина стороны ромба с острым углом 60 равна 2. Диагонали ромба пересекаются в точке M(1;2), причем большая диагональ параллельна оси абсцисс. Составить уравнение сторон ромба. 29. Точка A(1;2) является серединой одного из оснований прямоугольной трапеции, а точка B(3;-1) - серединой средней линии. Боковая сторона, перпендикулярная основаниям, лежит на прямой 4x - 3y + 10 = 0. Составить уравнения остальных сторон трапеции. 30. Написать уравнения сторон треугольника, зная одну его вершину (9;2), уравнения биссектрисы x + y - 5 = 0 и медианы x - y = 0, проведенных из различных вершин. 31. Даны координаты двух вершин треугольника A(-1;3), B (2;5) и ортоцентр - точка H(1;4). Найти координаты третьей вершины треугольника. (Ортоцентром треугольника называется точка пересечения его высот). 32. Точка H(-3;2) является точкой пересечения высот треугольни- ка, две стороны которого лежат на прямых 2x - y = 0 и x + y - 3 =0. Составить уравнение третьей стороны. 33. Найти радиус и координаты центра окружности, проходящей через точку A(-1;3) и касающейся прямых 7x + y = 0 и x - y + 8 = 0. 34. Окружность проходит через точки M(1;0) и N(2;1). Найдите центр этой окружности, если известно, что он лежит на прямой 5x - y - 4 = 0. 35. Точки B(1;2) и C(3;-6) симметричны относительно некоторой прямой. Составить уравнение этой прямой. 36. Диагонали параллелограмма пересекаются в точке K(-2;4). Составить уравнение диагонали, не проходящей через точку пересечения сторон 4x - y + 4 = 0 и 4x + 3y + 20 = 0. 37. Площадь прямоугольного треугольника, катетами которого являются оси координат, равна 8. Составить уравнение гипоте- нузы, если известно, что она проходит через точку A (-4;8). 38. Составить уравнение прямой L1, параллельной прямой L2 : 2x + 3y - 23 = 0, если середина отрезка прямой L3: 5x+2y+3 = 0, заключенного между параллельными прямыми L1 и L2 лежит на прямой L4: 6x - y + 24 = 0. 39. Составить уравнение стороны треугольника, в котором известны точка пересечения медиан (-1;7) и уравнения двух других сторон x + 4y - 37 = 0, 2x - y + 16 = 0. 40. Даны две стоpоны x - y + 6 = 0 и x - y + 10 = 0 и диагональ 3x + y - 10 = 0 pомба. Найти вершины ромба. 41. В треугольнике известны две вершины A(-2;9), В(2;-3) и точка пересечения высот O(2;7). Написать уравнения сторон. 42. Точка A(3;-2) является вершиной квадрата, а точка M(1;1) - точкой пересечения его диагоналей. Составить уравнения сторон квадрата. 43. Даны уравнения одной из сторон ромба x + y - 39 = 0 и одной из его диагоналей x - 3y + 11 = 0. Найти уравнения остальных сторон ромба, если его центр - точка N(-2;3). 44. Найти координаты вершин параллелограмма, в котором известны две стороны 2x - 5y - 5 = 0 и 2x + 5y - 15 = 0 и диагональ 6x + 5y - 35 = 0. 45. Найти координаты точек C и D четырехугольника ABCD, в котором отрезки AB и DC параллельны, BD и AC перпенди- кулярны друг другу и заданы веpшины A(9;-1), B(5;5). 46. Даны две вершины (3;-1), (1;4) и центр тяжести (0;2) тре- угольника. Найти координаты третьей вершины треугольника и составить уравнения его сторон. 47. Даны уравнения двух высот треугольника 3x + 4y - 23 = 0 и 12x - 5y - 24 = 0 и одна из его вершин (1;1). Составить уравне- ния сторон. 48. Написать уравнения сторон треугольника, две медианы которого лежат на прямых x + y - 3 = 0 и 2x + 3y - 1 = 0, а точка A(1;1) является вершиной треугольника. 49. Две стороны треугольника заданы уравнениями, x +3y - 21 = 0 и 7x + y + 13 = 0, а середина третьей стороны - точка (2;3). Составить уравнение третьей стороны. 50. Даны уравнения сторон треугольника:(MN) 3x - 5y + 17 = 0, (NP) 8x + 6y - 32 = 0, (MP) 5x + 11y + 9 = 0. Найти ортоцентр треугольника. (Ортоцентром треугольника называется точка пересечения его высот). 51. Гипотенуза прямоугольного треугольника лежит на прямой 2x + у - 2 = 0, а точка C(3;-1) является вершиной прямого угла. Площадь треугольника равна 9/4. Составить уравнения прямых, на которых лежат катеты. 52. Основание равнобедренного треугольника лежит на прямой x +2y - 2 = 0, а одна из боковых сторон - на прямой y +2x -1= 0. Составить уравнение другой боковой стороны треугольника, зная, что её расстояние от точки пересечения данных прямых равно  .53. Составить уравнения сторон квадрата, в котором одна из вер- шин- точка (8;7) и одна из сторон лежит на прямой 5x+2у+4=0. 54. Составить уравнения трех сторон квадрата, если известно, что четвертой стороной является отрезок прямой 2x + y - 8 = 0, концы которого лежат на окружности (x - 3)2 + y2 = 4. 55. Точки M(3;7) и N(2;3) являются серединами оснований равнобедренной трапеции. Точки K(1;7 ) и P(4;6,5) лежат на её боковых сторонах. Составить уравнения сторон трапеции. 56. Даны стороны треугольника: (AB) 4x + 3y - 10 =0; (BC) 3x + 2y - 8 = 0; (AC) 8x + 5y - 18 = 0. Составить уравне- ние прямой, проходящей через точку C и делящей сторону АВ в отношении 2:3 (считая от вершины A). 57. Противоположными вершинами квадрата являются точки (-5;-3) и (3;17). Найти координаты двух других вершин. 58. Написать уравнения сторон треугольника, зная одну его вершину (2;7), уравнения медианы 9x + y + 4 = 0 и высоты x + 5y - 11 = 0, проведенных из различных вершин. 59. Написать уравнения сторон треугольника, зная одну его вершину (-5;4), уравнения высоты 6x + y - 61 = 0 и биссек- трисы 4x - 3y + 7 = 0. 60. Точка M(6;4) является вершиной правильного треугольника, а противолежащая ей сторона лежит на прямой 3x - y + 2 = 0. Найти уpавнения остальных стоpон тpеугольника. 61. Длина стороны ромба с тупым углом 120° равна 6  . Мень-шая диагональ параллельна биссектрисе 2 и 4 координатных углов. Диагонали пересекаются в точке (-4;6). Составьте уравнения сторон ромба. 62. Точка P(8;1) является серединой одного из оснований прямоугольной трапеции, а точка N(2;3) - серединой средней линии. Боковая сторона, перпендикулярная основаниям, лежит на прямой 4x + 3y +1 = 0. Составить уравнения сторон. 63. Составьте уравнения трех сторон треугольника, в котором медиана 3x + 2y - 6 =0 и биссектриса x - y = 0 проведены не из вершины (4;0), а из двух других вершин. 64. Даны стороны треугольника: 4x - 3y + 26 = 0 (AB); x + 2y + 1 = 0 (AC); 7x + 3y - 37 = 0 (BC). Найти точку пересечения медианы, проведенной из вершины B и высоты, проходящей через вершину C. 65. Найти радиус и координаты центра окружности, проходящей через точку A(-1;8) и касающейся прямых x + 10 = 0 и 4x - 3y + 10 = 0. 66. Точка K отстоит на одинаковых расстояниях от точек P(7;8) и Q(1;2). Найти координаты точки K, если известно, что она лежит на прямой 4x - 5y + 27 = 0. 67. Найти координаты точки N, симметричной точке M относи- тельно прямой x + y - 5 = 0. Точка M отстоит от прямой на расстоянии вдвое большем, чем точка K(-2;7) и находится с ней по одну сторону от прямой, пpичем отpезок KM пеpпендикуляpен пpямой. 68. В параллелограмме две стороны заданы уравнениями x - 5y + 7 = 0 и 5x - 3y - 9 = 0. Составить уравнение диагонали параллелограмма, не проходящей через точку пересечения этих сторон, если известно, что диагонали пересекаются в точке M(2;4). 69. Найти координаты вершин треугольника, симметричного треугольнику ABC относительно центра описанной около треугольника ABC окружности, если A(9;-1), B(5;1), C(0;-5). 70. Составить уравнение прямой, перпендикулярной прямой x + 3y - 13 = 0 и образующей с осями координат треугольник, площадь которого равна 6. 71. Составить уравнение прямой, проходящей через точку A(1;2) так, что отрезок этой прямой, заключённый между прямыми 3x + y + 2 = 0 и 4x + y - 1 = 0, в точке A делится пополам. 72. Центр тяжести треугольника - точка (  ;  ). Уравнения двух его сторон 4x + y + 14 = 0 и x- 6y- 9= 0. Составить уравнение третьей стороны. 73. Известны уравнения двух сторон ромба 7x - 9y - 39 = 0 и 3x + 11y - 91 = 0 и одной из его диагоналей 5x + y - 13 = 0. Вычислить координаты вершин ромба. 74. Составить уравнение тpетьей стороны треугольника, если известны уравнения двух его сторон 6x - y - 11 = 0 и 4x + 5y + 13 = 0 и ортоцентр - точка (-1;2). 75. Написать уравнения сторон квадрата, центр которого - точка (1;-3), а одна из вершин - точка (-4;7). 76. Написать уравнения сторон ромба, если известны диагональ x + y - 2 = 0, точка её пересечения с другой диагональю (0;2) и одна из сторон 3x - y - 10 = 0. 77. Вычислить координаты вершин параллелограмма, в котором две стороны лежат на прямых 2x - 5y - 5 = 0 и 2x + 5y - 15 = 0, а одна из диагоналей на прямой 6x + 5y - 35 = 0. 78. Диагонали трапеции ABCD (AD||BC) перпендикулярны друг другу и заданы веpшины A(4;-1) и B(13;6). Найти координаты вершин C и D трапеции. 79. Составить уравнения сторон треугольника, в котором даны две вершины (-7;6) и (7;4) и точка пересечения отрезков, соединяющих эти вершины с серединами противоположных сторон (  ;4).80. Даны уравнения двух высот треугольника x - 5y + 16 = 0 и 9x + 7y + 14 = 0 и одна из его вершин M(-5;-3) . Написать уравнения сторон треугольника. 81. Даны уравнения двух медиан x - 3y + 2 = 0 и 2x + 2y - 21 = 0 тpеугольника и одна из вершин (5;-1). Найти уpавнения стоpон тpеугольника. 82. Середина одной из сторон треугольника - точка (0;3). Две другие стороны лежат на прямых x - 9y + 52 = 0 и x + y - 8 = 0. Составить уравнение третьей стороны. 83. Найти точку пересечения высот треугольника, стороны которого лежат на прямых 6x + y - 23 = 0, 9x - 4y - 7 = 0, 3x - 5y - 17 = 0. 84. Точка C(6;1) - вершина прямого угла в треугольнике, а гипотенуза лежит на прямой 2x-3y+5 =0. Написать уравнения катетов, один из которых лежит на прямой, содержащей точку (-4;-25). 85. Точки A(1;2) и B(3;0) - вершины равнобедренного треуголь- ника ABC, углы A и B при основании равны arccos . Найти координаты вершины C, зная, что она лежит по ту же сторону от прямой AB, что и точка M(2;3). 86. Составить уравнения сторон квадрата по известному уравне- нию одной из сторон x + 8y - 17 = 0 и одной из вершин (2;9). 87. Даны уравнения сторон квадрата 4x +y - 9 = 0 и 4x +y +36 = 0. Составить уравнения двух других его сторон при условии, что точка A(6;2) лежит на стороне этого квадрата. 88. Точки M(5;-1) и N(-3;7) являются серединами оснований равнобедренной трапеции, а точки P(-1; ) и K(4;6) лежат на боковых сторонах. Составить уpавнения стоpон тpапеции. 89. Даны стороны треугольника 9x - 2y - 51 =0 (AC), 4x + 3y + 24 = 0 (AB), x + 2y + 1 = 0 (BC). Составить уравне- ние прямой, проходящей через веpшину C и точку K на сторо- не AB, делящую её в отношении 3:7 (считая от вершины B). 90. Точки A(9;8) и D(-1;4) являются противоположными вершинами квадрата. Определить координаты других вершин. 91. Известны одна из вершин треугольника (4;-5), уравнения высоты 7x - y + 17 = 0 и медианы 2x - 11y - 13 = 0. Составить уравнения сторон. 92. Составить уравнения сторон треугольника, зная одну его вершину (4;1), уравнения высоты 2x - y + 11 = 0 и биссектрисы 7x - 8y + 25 = 0, проведенных из одной вершины. 93. Стороны треугольника заданы уравнениями: 4x - 3y = 0 (AB); 3x - 4y = 0 (BC); 5x + 12y - 10 = 0 (AC). Найти радиус вписанной окpужности. 94. Известны уравнение одной из сторон правильного треугольника 5x - y + 1 = 0 и одна из вершин (5;-3). Составить уравнения двух дpугих стоpон тpеугольника. 95. Диагонали ромба пересекаются в точке K(3;-7). Большая диагональ образует с осью ординат угол 45º, а со сторонами угол 30º. Длина стороны равна 4 . Составить уравнения сторон pомба. 96. Точка M(6;1) является серединой одного из оснований прямо- угольной трапеции, а точка N(  ;1) - серединой средней линии.Боковая сторона, перпендикулярная основаниям, лежит на прямой x + 4y + 7 = 0. Составить уравнения остальных сторон тpапеции. 97. Из одной вершины треугольника проведена биссектриса 3x + y - 1 = 0, из другой - медиана 11x - 5y - 25 = 0, а третья вершина - точка A(-3;-2). Составить уравнения сторон тpеугольника. 98. Ортоцентр треугольника АВС - точка О(-1;5). Составить уравне- ния сторон треугольника, если известны вершины A(2;1),B(2;11). 99. Даны уравнения сторон треугольника x +2y +1=0, 2x - y - 2 = 0, 2x + y + 2 = 0. Найти точку пересечения высот. 100. Найти координаты центра окружности, проходящей через точку A(-3;5) и касающейся прямых x - 3y - 2 = 0 и 13x - 7y + 102 = 0. 1.2.11. ЗАДАНИЕ 11 В пространстве даны точки А(-2; -1- P7 ; 1), B(3; P5 ; -1), C(5 ; 3 - P3 ; 1), D(1 ; -1 – P7 ; 0). Сделать чертёж пирамиды АВСD и найти : а) длину и уравнение ребра АВ; б) уравнение грани АВС; в) высоту, проведенную из вершины D, и её уравнение; г) проекцию вершины D на плоскость АВС; д) уравнение прямой, проходящей через вершину D параллельно ребру АВ; е) уравнение плоскости, проходящей через вершину D параллельно грани АВС; ж) уравнение плоскости, проходящей через ребро АD перпендикулярно грани АВС; з) уравнение проекции ребра АD на грань АВС; и) угол между ребрами АВ и АD; к) угол между ребром АD и гранью АВС; л) угол между гранями АВС и АВD. 1.2.12. ЗАДАНИЕ 12 Дана точка М(1;0;-2). Найти: а) точку М1(х1;y1;z1), симметричную точке М относительно точки S(-1-P7;P5;3-P3); б) точку М2(х2;y2;z2), симметричную точке М относительно прямой  в) точку М3(х3;y3;z3), симметричную точке М относительно плос- кости  2. ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ЭВМ Задания раздела 1 можно выполнять с помощью ЭВМ, используя, например, пакет Mathcad, а также совместимые с ним программные разработки кафедры. Однако ЭВМ дает готовые ответы и не отражает процесс вычислений. Поэтому в целях усвое-ния темы, предполагается подробное "ручное" решение заданий и применение ЭВМ ограничивается проверкой правильности ответов и использованием калькулятора. Рассмотрим решение некоторых задач с помощью пакета Mathcad. |
= (1;-5;Р3), 
= (-2;Р7;-3), В(Р5;0;7)
= (8;12;-4), 
= (-2;-3;1),
= (5;0;7)