Теория вероятности № 5 (2). Методические указания и контрольные задания по курсу теории вероятностей для студентов заочного факультета по направлениям 210700, 220700, 230400 Санкт петербург гут 2012 1

• Название: Методические указания и контрольные задания по курсу теории вероятностей для студентов заочного факультета по направлениям 210700, 220700, 230400 Санкт петербург гут 2012 1
• Анкор: Теория вероятности № 5 (2).pdf
• Дата: 17.05.2018
• Размер: 356.27 Kb.
• Имя файла: Теория вероятности № 5 (2).pdf
• Тип: Методические указания; #19337
• страница: 2 из 4

а) две шестерки б) более двух шестерок в) хотя бы одну шестерку г) от двух до пяти шестерок?
Решение
В каждом из испытаний вероятность успеха равна p=1/6 , вероятность неудачи равна
q
=5/6 . Таким образом а) P
6,2
=
6
!
2
!⋅4!
⋅
1 6

2
⋅
5 6

4
≈0.201
б) P
6.3
P
6,4
P
6,5
P
6,6
эту величину удобнее вычислять так:
1
−P
6,0
−P
6,1
−P
6,2
=1−0.335−0.402−0.201=0.062 . Переходим к противоположному событию: не более двух шестерок, его вероятность вычисляется по формуле:
P
6,0
P
6,1
P
6,2
=0.938 . А вероятность требуемого события равна 1−0.938=0.062 .
в) Противоположным для этого события будет: не получено ни одной шестерки (то есть 0 шестерок при шести бросаниях кости) . Вероятность противоположного события равна
P
6.0
=0.335 . Следовательно, вероятность требуемого события равна: 1−0.335=0.665 .
г) P
6,2
P
6,3
P
6,4
P
6,5
=1−P
6,0
−P
6,1
−P
6,6
=0.263 .
Интегральная теорема Лапласа позволяет приближенно вычислить вероятность того, что событие A появится в n независимых испытаниях не менее k
1
и не более k
2
раз, если вероятность наступления события A в каждом испытании постоянна и равна p , 0
Теорема используется в случае, когда число испытаний - n достаточно велико, а вероятность - p ни мала ни велика, npq9 .
11

P
n
k
1
, k
2
≈ x ' ' − x '
где x '
=
k
1
−np

npq
; x ' '
=
k
2
−np

npq
 x=
1

2

∫
0
x
e
−t
2 2
dt функция Лапласа
Таблица некоторых значений функции Лапласа приведена в приложении. Более полная таблица функции Лапласа имеется, например, в [1]. В ней указаны значения
 для положительных значений x ;
0x5 ; для x=5 полагают  x=0.5 для x<0 польуются той же таблицей, имея в виду, что
−x=−x (функция  x нечетная).
Пример 12.
Вероятность появления успеха в каждом из независимых испытаний равна 0.25 Найти вероятность того, что при 600 испытаниях число успехов находится между 140 и 175.
Решение
В нашем случае n=600, p=0.25,q=1− p=0.75. Следовательно
npq
=600⋅0.25⋅0.75=112.59, np=150,

npq
≃10.6
для вычисления вероятности указанного события используется формула Лапласа
P
600
140k 175≃
175
−150 10.6
−
140
−150 10.6
=2.36−−0.94≃0.490.33=0.82
Формула Пуассона может использоваться в качестве хорошего приближения формулы
Бернулли, если n велико, p мало (обычно p0.1 ; npq9 ). В этом случае
P
n
k =P  X w=k =C k
n
p
k
q
n
−k
≃

k
⋅e
−
k
!
где
=np . Таблица значений приведена в приложении.
Пример 13.
Телефонная станция обслуживает 800 абонентов. Для каждого абонента вероятность позвонить на коммутатор в течение часа равна 0.01 . Какова вероятность, что в течение часа позвонят не более двух абонентов?
Решение.
Событие A={позвонят не более двух абонентов} можно представить как сумму событий
A
0
 A
1
 A
2
-позвонят 0 или 1 или 2 абонента. В каждом из случаев имеем дело с формулой Бернулли. Число испытаний n=800 . «Успех» — звонок абонента. Вероятность
«успеха» p=0.01 . Число «успехов» i соответственно 0 или 1 или 2 . Следовательно
P
 A
i
=C i
800 0.01
i
⋅0.99 800
−i
Условия для использования приближенной формулы Пуассона выполняются:
p
=0.010.1 ; npq=800⋅0.01⋅0.999 , значит
P
 A=P  A
0
P  A
1
P  A
2
≃
e
−8
⋅8 0
0
!

e
−8
⋅8 1
1
!

e
−8
⋅8 2
2
!
≃0.00030.00270.0107=0.0137 12

ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Подводя итоги раздела «Случайные события», приведем два примера и упражнения для самопроверки. Советуем, прочитав условия примеров, решить их самостоятельно.После этого проконтролируйте себя, ознакомившись с предложенными решениями.
Пример 14.
На десяти карточках написаны буквы а, а, а, м, м, т, т, е, и, к. Найти вероятность того, что при случайном раскладывании карточек получим слово «математика».
Решить задачу по формуле по теореме умножения вероятностей.
Решение
Событие A — получение слова «математика». Опыт состоит в раскладывании карточек. Исходы опыта — всевозможные варианты расположения этих десяти букв. Число всех исходов равно числу перестановок из 10, т. е. n=10! . Благоприятных исходов будет ровно один — когда получится слово «математика». В этом слове три буквы «а», которые можно переставлять между собой 3! способами, и при этом исход останется благоприятным. Аналогично 2! способами можно менять положение буквы «м», 2! — буквы «т». Поскольку каждый благоприятный вариант для одной буквы комбинируется с каждым вариантом для двух других, имеем: m=3!2!2! . Окончательно получим:
P
 A=
3
!⋅2!⋅2!
10
!
=
1 5
⋅6⋅7⋅8⋅9⋅10
Решим задачу, используя теорему умножения вероятностей.
Введем событие
A
1
, состоящее в том, что на первое место положена карточка с буквой «м»; событие
A
2
, состоящее в том, что на второе место положена карточка с буквой «а»;
A
3
— на третье «т», и т. д. Тогда
A
=A
1
⋅A
2
⋅...⋅A
10
P
 A=P A
1
⋅P  A
2
/ A
1
⋅P  A
3
/ A
1
A
2
⋅...⋅P  A
10
/ A
1
... A
9

Так как всего букв 10, а букв «м» две, то m
1
=2 ;n
1
=10 ; P  A
1
=
2 10
После того, как одна карточка с буквой «м» положена, осталось 9 карточек, из них три с буквой «а»:
m
2
=3; n
2
=9 ; P  A
2
/ A
1
=
3 9
Аналогично:
P
 A
3
/ A
1
A
2
=
2 8
; P
A
4
/ A
1
A
2
A
3
=
1 7
; P
 A
5
/ A
1
A
2
A
3
A
4
=
1 6
,
(так как уже положены буквы «мате» и осталось 6 букв, из них одна «м»)
P
 A
6
/ A
1
⋅...⋅A
5
=
2 5
; P
 A
7
/ A
1
⋅...⋅A
6
=
1 4
; P
 A
8
/ A
1
⋅...⋅A
7
=
1 3
; P
 A
9
/ A
1
⋅...⋅A
8
=
1 2
и осталась одна буква «а»:
P
 A
10
/ A
1
⋅...⋅A
9
=1
Окончательно получим P
 A=
2 10
⋅
3 9
⋅
2 8
⋅
1 7
⋅
1 6
⋅
2 5
⋅
1 4
⋅
1 3
⋅
1 2
⋅1=
1 10
⋅9⋅8⋅7⋅6⋅5
Mногие задачи на определение вероятности могут быть решены не единственным способом. С помощью теоремы умножения самостоятельно решите упражнения
Пример 15.
Три стрелка выстрелили по одному разу по мишени. Вероятность попадания для каждого стрелка равна, соответственно, p
1
−0.3 ; p
2
=0.9 ; p
3
=0.6 1.
найти вероятность того, что попал только второй стрелок.
2. Найти вероятность того, что было ровно одно попадание.
3. Найти вероятность поражения мишени.
(В задачах 2. и 3. найти эти же вероятности для случая, когда каждый стрелок попадает в мишень с вероятностью p=0.6 ).
13

4. В мишень попала одна пуля. Найти вероятность того, что попал второй стрелок.
Решение
1. Пусть B
2
— событие, состоящее в том, что из трех стрелков попал только второй.
Обозначим через A
1
, A
2
, A
3
события, состоящие в том, что попали, соответственно, первый, второй и третий стрелки. Так как событие B
2
произойдет, если произойдет событие A
2
и не произойдут события A
1
, A
3
, то B
2
= 
A
1
⋅A
2
⋅A
3
События A
1
, A
2
, A
3
(а, следовательно, и 
A
1
, A
2
, 
A
3
) независимы, поэтому
P
B
2
=P  
A
1
⋅P  A
2
⋅P  
A
3
=1− p
1
⋅p
2
⋅1− p
3
=0.7⋅0.9⋅0.4=0.252 2. Только одно попадание (событие C ) будет иметь место, если попадет или только первый стрелок
 B
1
 , или только второй  B
2
 , или только третий  B
3
 . Следовательно,
C
=B
1
B
2
B
3
События
B
1
, B
2
, B
3
несовместны,
поэтому
P
C =P  B
1
P B
2
P B
3
=P  A
1
⋅ 
A
2
⋅ 
A
3
P  
A
1
⋅A
2
⋅ 
A
3
P  
A
1
⋅ 
A
2
⋅A
3

P
C = p
1
1− p
2
1− p
3
1− p
1
 p
2
1− p
3
1− p
1
1− p
2
 p
3
P
C =0.3⋅0.1⋅0.40.7⋅0.9⋅0.40.7⋅0.1⋅0.6=0.306 (*)
Это решение можно оформить, используя формулу полной вероятности. В качестве гипотез
H
i
i=1,2,3 рассмотрим события B
i
. При выполнении любой из этих гипотез событие
C произойдет обязательно, т. е. P
C / H
i
=1i=1,2,3 . Гипотезы H
1
, H
2
, H
3
не составляют полную группу событий. Полная группа событий получится, если учесть двух, трех и ни одного попаданий, но условные вероятности события C при этих гипотезах равны нулю. Окончательно получаем (*).
3. Мишень поражена, если есть хотя бы одно попадание. Обозначим это событие D .
Мишень может поразить или первый, или второй, или третий стрелок, т. е. D
=A
1
A
2
A
3
События A
i
i=1,2,3 совместны, так как каждый стрелок может попасть не один, а вместе с любым другим стрелком или может быть три попадания. В этом случае удобно перейти к противоположному событию (см. тема 4, замечание) . Событие 
D состоит в том, что попаданий не было, т. е. , что все стрелки промахнулись
P
D=1−P  D=1−P  
A
1
⋅ 
A
2
⋅
A
3
=1−P  
A
1
⋅P  
A
2
⋅P 
A
3
=1−0.7⋅0.1⋅0.4=0.972
. (**)
В случае, когда вероятности попаданий для всех стрелков одинаковы, например, p=0.6 , формулы (*) (**) упрощаются: P C =3⋅0.6⋅0.4 2
; P
D=1−0.4 3
Мы имеем возможность воспользоваться формулой Бернулли:
P
C =P
3,1
=C 1 3
p
⋅q
2
=3⋅0.6⋅0.4 2
. P
D=P
3, m
1
=1−P
3, m
1
=1−P
3,0
=1−q
3
=1−0.4 3
4. Сравните условия задач 1. и 4.
В задаче 1. вычисляется вероятность того, что из трех стрелков попал только второй, когда еще неизвестно, какой из множества возможных результатов будет реализован (до стрельбы).
В задаче 4. уже известно, что событие C произошло, и надо найти вероятность того, что при этом реализовалась вторая гипотеза.По формуле Байеса имеем:
P
H
2
/C =
P
H
2
⋅P C / H
2

P
C 
=
0.7
⋅0.9⋅0.4 0.306
=
14 17 14

Упражнения.
1) Найти вероятность прохождения тока через цепь, если вероятности исправной работы элементов указаны на схеме.
2) События A
1
, A
2
, A
3
составляют полную группу несовместных событий. Найти P
 A
3

, если P
 A
1
=0.1 ; P  A
2
=0.6 3) Радиолампа может принадлежать к одной из двух партий с вероятностями
p
1
=0.6 ; p
2
=0.4 . Вероятности того, что лампа перерабатывает заданное число часов, равны для этих партий, соответственно, 0.7 и 0.8 . Определить вероятность того, что взятая наудачу лампа проработает заданное число часов.
4) Считая равновероятными рождение мальчика и девочки, найти вероятность того, что в в семье, где пятеро детей, ровно два мальчика.
5) Имеется n радиолокационных станций, следящих за одним объектом. Каждая станция обнаруживает объект независимо от других станций с вероятностью p . Найти вероятность того, что объект будет обнаружен.
Ответы: 1) p=0.9⋅0.8 2
⋅0.7; p=1−0.1⋅0.2 2
⋅0.3 ; 2)
p
=0.3 ;
3)
p
=0.74 ;
4) p
=C 2 5

1 2

5
; 5) P=1−1− p
n
СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ
Тема 5.
Определение случайной величины. Дискретные и непрерывные случайные величины. Закон (ряд) распределения вероятностей дискретной случайной величины. Функция распределения случайной величины. Функция распределения дискретной случайной величины. Свойства функции распределения.
Необходимо помнить, что случайная величина X
 — это числовая функция случайного аргумента, заданная на пространстве всех элементарных исходов
 , т. е. каждому элементарному исходу
∈ случайная величина сопоставляет число X  .
Случайная величина X
 называется дискретной, если множество ее значений конечно или счетно (т. е. все возможные значения X  можно перенумеровать).
Среди остальных, т. е. недискретных случайных величин, выделяются непрерывные, т. е. такие, у которых возможные значения заполняют целый промежуток, и, кроме того, функция распределения F
 x (см. ниже) дифференцируема.
Дискретная случайная величина определяется своим рядом распределения. Ряд распределения — это таблица. В первой строке таблицы перечислены все значения
15 0.9 0.7 0.8 0.8 0.9 0.8 0.8 0.7

случайной величины X
 в порядке возрастания
x
1
, x
2
,... x
k
. Во второй строке каждому значению
x
i
i=1,2 ,... k 
сопоставляется вероятность
p
i
события X
=x
i
Таблица 1. Общий вид ряда распределения дискретной случайной величины X
x i
x
1
x
2
x i
x k
p i
p
1
p
2
p i
p k
Заметьте, что события {
X
=x
i
} (i=1,2,...k) попарно несовместны, и их объединение является достоверным событием, т. е.
{ X
=x
1
}+{ X
=x
2
}+...+{ X
=x
k
}=

Отсюда
p
1
 p
2
... p
k
= P  X =x
1
 P  X =x
2
...P  X =x
k
= P =1
Итак:
∑
i
=1
k
p
i
=1 — условие нормировки.
То, что p i
>0 , i=0,1,2,...k следует из определения p i.
Определение функции распределения F(x) случайной величины X:
F(x)=P{XДля дискретной случайной величины это определение означает, что F(x) равна сумме вероятностей тех значений случайной величины X , которые лежат на оси OX левее x . Из определения функции распределения вытекают ее свойства:
1. 0
F x1 2. F(x) — неубывающая функция
3. F ∞=lim
x
 ∞
F
x=1 ; F −∞= lim
x
−∞
F
x=0 4.
Функция F(x) непрерывна слева. Обратите внимание на равенство:
P
aX b=F b−F a
Из определения F(x) следует, что функция распределения дискретной случайной величиныX является неубывающей ступенчатой функцией, непрерывной слева и имеющей скачки в точках x
1
, x
2
,... x
k
. Величина скачка F(x) в точке x i
равна p i
. При x
x
1
F(x)=0, так как в этом случае интервал
−∞ , x не содержит ни одного значения случайной величины X .
При x>x k
F(x)=1, так как для таких x в промежутке
−∞ , x содержатся все значения случайной величины X .
Пример16.
Из урны, содержащей три белых и пять черных шаров, наугад извлекают три шара.
Пусть X — число вынутых черных шаров. Построить ряд и функцию распределения случайной величины X.
Решение.
Случайная величина может принимать следующие значения:
x
1
=0 ; x
2
=1 ; x
3
=2 ; x
4
=3.
Вычислим вероятности p
i
=P  X =x
i

p
1
=
C 3 3
C 3 8
=
1 56
- вероятность того, что извлечены три белых шара и ни одного черного;
p
2
=
C 1 5
⋅C 2 3
C 3 8
=
15 56
- вероятность того, что извлечен один черный шар и два белых;
16

p
3
=
C 2 5
⋅C 1 3
C 3 8
=
15 28
- вероятность того, что извлечены два черных шара и один белый;
p
4
=
C 3 5
C 3 8
=
5 28
- вероятность того, что все три извлеченных шара — черные.
В результате вычислений получим следующий ряд распределения:
x i
0 1
2 3
p i
1 56 15 56 15 28 5
28
Построим функцию распределения случайной величины X
при x0 , F(x)=P(X(так как в нашей задаче X не принимает отрицательных значений);
при 0x1 , F(x)=P(X1 56
;
при 1x2 , F(x)=P(X1 56

15 56
=
16 56
;
при 2x3 , F(x)=P(X=
16 56

15 28
=
46 56
;
при 3=P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)+P(X=3)=
46 56

5 28
=1
Окончательно получаем функцию распределения
F
x=
{
0, x
0 ;
1 56
, 0
x1 ;
16 56
, 1
x2 ;
46 56
,2
x3 ;
1, x
3.
}
График функции распределения имеет вид:
F(x)
рис. 2 17 1
1 2
3
x

Упражнения
1) Охотник, имевший пять патронов, стреляет в цель до первого попадания (или пока не кончатся патроны). Построить ряд распределения случайного числа израсходованных патронов, если вероятность попадания при каждом выстреле равна 0.4 .
Ответ:
x i
1 2
3 4
5
p i
0.4 0.24 0.144 0.0864 0.1296 2) Монету подбрасывают шесть раз. Составить ряд распределения и построить функцию распределения числа появлений герба.
Ответ:
x i
0 1
2 3
4 5
6
p i
1
/64 6
/64 15
/64 20
/64 15
/64 6
/64 1
/64
Тема 6.
Числовые характеристики дискретной случайной величины.
Математическим ожиданием (средним значением) дискретной случайной величины X
(обозначается M[X] )называется число, вычисляемое по формуле:
M
[ X ]=x
1
p
1
x
2
p
2
...x
i
p
i
...x
k
p
k
=
∑
i
=1
k
x
i
p
i
Дисперсия дискретной случайной величины (обозначается D[X] ) — это число, которое определяется формулой D[X]=M[(X-M[X])
2
] .
Величина X-M[X] называется отклонением X от среднего (математического ожидания).
Таким образом, дисперсия является мерой отклонения случайной величины X от своего среднего.
Из определения дисперсии вытекает формула для ее вычисления.
D
[ X ]=x
1
−M [ X ]
2
p
1
x
2
−M [ X ]
2
p
2
... x
i
−M [ X ]
2
p
i
... x
k
−M [ X ]
2
p
k
=
=
∑
i
=1
k
x
i
−M [ X ]
2
⋅p
i
От этой формулы с помощью несложных преобразований можно перейти к формуле:
D
[ X ]=M [ X
2
]−M [ X ]
2
=
∑
i
=1
k
x
i
2
⋅p
i
−M [ X ]
2
. (1)
Свойства математического ожидания и дисперсии
С — неслучайная величина.
1.
M[C]=C; D[C]=0;
2.
M[CX]=CM[X]; D[CX]=C
2
D[X];
3.
M[X+Y]=M[X]+M[Y]; D[X+Y]=D[X]+D[Y]+2K
xy
(K
xy и — корреляционный момент, определение далее в разделе «Система случайных величин»).
Пример 17.
Дан ряд распределения случайной величины x
i
-1/2 0
1
/2 1
3
/2
p i
0.10 0.25 0.10 0.15 0.40 18

Найти M[X], D[X] .
Решение
M
[ X ]=
∑
i
−1 5
x
i
p
i
=−
1 2
⋅0.10⋅0.25
1 2
⋅0.11⋅0.15
3 2
⋅0,4=0.75
При вычислении дисперсии воспользуемся формулой (1)
D
[ X ]=
∑
i
=1
k
x
i
2
p
i
−M [ X ]
2
=
= −
1 2

2
⋅0.10⋅0.25
1 2

2
⋅0.11 2
⋅0.15
3 2

2
⋅0.4−0.75
2
=1.1−0.5625=0.5375
Тема 7.
Непрерывные случайные величины. Плотность распределения и ее свойства. Числовые характеристики случайных величин (начальные и центральные моменты, математическое ожидание и дисперсия).
Непрерывная случайная величина, так же как и дискретная, определяется своей функцией распределения F(x)={XP
aX b=F b−F a
тоже выполняется в непрерывном случае. Функция распределения непрерывной случайной величины непрерывна. Вероятность P{X=x}=0 при любом значении x .
Для непрерывной случайной величины рассматривают функцию плотности распределения случайной величины f(x) , которая определяется равенством: f(x)=F'(x)
Основные свойства функции плотности распределения случайной величины:
1.
f
x0 при ∀ x∈−∞ ,∞
2.
F
x=
∫
−∞
x
f
udu
3.
P{ aX b }=
∫
a
b
f
xdx
4.
∫
−∞
∞
f
xdx=1 — условие нормировки.
Замечание. Из условия непрерывности случайной величины X вытекает, что
P(aaX b )=P( aX b )=P( aX b ).
Математическое ожидание и дисперсия непрерывной случайной величины вычисляются по формулам: M [ X ]=
∫
−∞
∞
x
⋅ f xdx D [ X ]=M  X −M [ X ]
2
=
∫
−∞
∞
 x−M [ X ]
2
⋅f  xdx
Из определения дисперсии с помощью простых преобразований можно получить удобную формулу:
D
[ X ]=M [ X
2
]−M [ X ]
2
=
∫
−∞
∞
x
2
⋅ f xdx−M [ X ]
2
Свойства математического ожидания и дисперсии указаны в теме 6.
Пример 18.
Случайная величина X имеет плотность распределения вероятности (закон Коши)
f
x=
a
1
x
2
Требуется : найти коэффициент a и функцию распределения F(x);
19

найти вероятность неравенства X 

3 ;
определить математическое ожидание случайной величины X.
Решение:
Коэффициент a определим по условию нормировки:
∫
−∞
∞
a
1
x
2
dx
=1 отсюда
a
=
1
∫
−∞
∞
dx
1
x
2
=
1

Функция распределения F(x) случайной величины X определяется по формуле
F
x=
∫
−∞
x
dx
1
x
2
= lim
N
−∞
∫
N
x
dx
1
x
2
= lim
N
−∞
1

arctan
x∣ x
N
=
1

arctan x 

2
=
1

arctan
x
1 2
Вероятность
P
 X 

3
= P 

3
X ∞=F ∞− F 

3
=1−
1

arctan


3

1 2
=1−
5 6
=
1 6
Математическое ожидание случайной величины X:
M
[ X ]=
∫
−∞
∞
x
 1x
2

dx
=0
Упражнения
1)
Найти математическое ожидание и дисперсию числа израсходованных патронов
(упражнение 1 предыдущей темы).
Ответ: M [ X ]≈2.3 ; D[ X ]≈1.99 .
2)
Функция распределения случайной величины F(x) имеет вид:
F
x=
{
0, x
0 ;
x
4
,0
x4 ;
1, x
4
}
Определить математическое ожидание и дисперсию случайной величины.
Ответ: M[X]=2; D[X]=4/3.
3)
График плотности вероятности случайной величины изображен на рисунке 3
(закон Симпсона). Написать выражение плотности и функцию распределения этой случайной величины; найти ее математическое ожидание и дисперсию.
y
1
-1 0 1 x рис. 3
Ответ: f  x=
{
x
1 ,−1x0
−x1,0x1 0, x
−1; x1
}
F
x=
{
0, x
−1
x1
2 2
,
−1x0,
1
−
1 2
1−x
2
,0
x1,
1 , x
1
}
M[X]=0 ; D[X]=1/6 20

Тема 8.
Специальные законы распределения случайных величин: биномиальный, равномерный, показательный, нормальный. Математические ожидания и дисперсии случайных величин, распределенных по указанным законам.
1.
Биномиальный закон распределения.
Пусть X равно числу «успехов» в n независимых испытаниях с вероятностью «успеха» p .
Тогда X — случайная величина, распределенная по биномиальному закону с параметрами
(n,p,q) , где 0
параметрами (n,p,q) — X принимает значения 0,1,2,...k,...n . Вероятности этих значений находятся по формуле: P
n
k =P  X =k =C k
n
p
k
q
n
−k
где k=0,1,...n ;
C k
n
=
n
!
k
!⋅n−k!
причем n!=n⋅n−1⋅...3⋅2⋅1 ;0!=1 по определению.
Ряд распределения случайной величины X , имеющей биномиальное распределение с параметрами (n,p,q)
x i
0 1
k n
p i
C 0
n
p
0
q
n
C 1
n
p
1
q
n
−1
C k
n
p
k
q
n
−k
C n
n
p
0
q
n
Заметим, что математическое ожидание биномиального распределения случайной величины X с параметрами (n,p,q) равно np , т. е. M[X]=np . Дисперсия случайной величины
X , имеющей биномиальное распределение с параметрами (n,p,q) равна npq , т. е. D[X]=npq .
2.
Непрерывная случайная величина X имеет равномерное распределение на отрезке
[a,b] , если ее плотность распределения
f
x=
{
0 ; x
∉[a , b]
1
b
−a
; x
∈[a , b]
}
график плотности f(x) равномерно распределеной случайной величины X построен на рис. 4
f(x)
1/b-a рис. 4
Самостоятельно определите вид функции распределения F(x) равномерно распределенной случайной величины X .
Математическое ожидание и дисперсия случайной величины X , распределенной равномерно на [a,b] равны, соответственно M [ X ]=
b
a
2
; D
[ X ]=
b−a
2 12 3.
Непрерывная случайная величина X имеет показательное распределение с параметром
 , если её плотность распределения:
f  x=
{
0 ; x
0
 e
− x
; x
0
}
где
 — положительное вещественное число.
Функция распределения для показательного закона определяется следующим образом:
21
a
0
b x

F
x=
∫
−∞
x
f
x dx=
{
0 ; x
0 1
−e
− x
; x
0
}
Графики плотности распределения и функции распределения случайной величины для показательного закона изображены на рис 5
рис. 5
Если непрерывная случайная величина X распределена по показательному закону с параметром
 , то M [ X ]=
1

; D
[ X ]=
1

2 4.
Непрерывная случайная величина X имеет нормалиное распределение с параметрами a ,
a∈−∞ ,∞, 0 если ее плотность
f
x=
1


2

e
−
x
−a 
2 2

2
, x
∈−∞ ,∞
Нормальное распределение встречается на практике чаще других. Если непрерывная случайная величина X имеет нормальное распределение с параметрами
a ,
 , то
M
[ X ]=a , D [ X ]=
2
. Величина
=

D
[ X ] называется среднеквадратическим отклонением случайной величины X .
Для выяснения влияния параметра
 на форму графика плотности нормального распределения сравните графики f(x) при a=0 и 1.=0.5 ; 2.=1; рис 6
рис. 6
Чем меньше значение
 ,тем кривая f(x) имеет большее значение максимума и падает круче. Это означает, что вероятность попасть в интервал
− , больше для той случайной величины, распределенной по нормальному закону (с параметром a=0), для которой величина
 меньше. Следовательно, среднеквадратическое отклонение  является характеристикой разбросанности значений случайной величины X . При
a
≠0 22

кривые плотностей имеют ту же форму, но сдвинуты на a вправо при a<0 и влево при a<0.
Найдем вероятность P

1
Y 
1
 в случае, когда Y — случайная величина, распределенная по нормальному закону с параметрами 0 , 1 . По свойству плотности распределения
P

1
Y 
1
=
1

2

∫

1

1
e
−
t
2 2
dt
Интеграл выразим через функцию Лапласа
 x=
1

2

∫
0
x
e
−
t
2 2
dt
(заметим, что
−x =− x ) получим
1

2

∫

1

1
e
−
t
2 2
dt
=
1
−
1

Приближенные значения

1

и

1

находятся по специальной таблице значений функции Лапласа (см. табл. 1 в приложении ).
Итак, если случайная величина Y имеет нормальное распределение с параметрами 0 , 1, то P

1
Y 
1
=
1
−
1
 , где  x — функция Лапласа.
Пусть требуется найти вероятность P
 X  для случайной величины X , имеющей нормальное распределение с параметрами a ,
 . Для этого сначала нужно перейти от случайной величины X к случайной величине Y =
X
−a

. Случайная величина
Y имеет нормальное распределение с параметрами 0 , 1. Следовательно,
P
 X =P 
−a

Y 
−a

=
−a

−
−a


Пример 19.
1. При передаче сообщения вероятность искажения одного знака равна 1/10 . Каково среднее значение дискретной случайной величины X — числа искаженных символов в сообщении из 8 знаков?
Решение
В данной задаче независимое испытание — это передача одного символа. Число независимых испытаний равно 8. «Успех» — искажение одного символа при передаче.
Вероятность «успеха» p=1/10 . Отсюда q=1-p=9/10 .Рассмотрим дискретную случайную величину X — число искаженных символов в сообщении из 8 символов. Эта случайная величина распределена по биномиальному закону с параметрами (8 , 1/10 , 9/10) .
Среднее значение случайной величины — это математическое ожидание случайной величины, а для биномиального закона M[X]=np . M
[ X ]=8⋅1/10=0.8 2.
Рост взрослых мужчин является случайной величиной, распределенной по нормальному закону. Пусть математическое ожидание ее равно 175 см. , а среднее квадратическое отклонение 6 см. Определить вероятность того, что хотя бы один из наудачу выбранных пяти мужчин будет иметь рост от 170 до 180 см.
Решение
Вероятность попадания нормально распределенной случайной величины X в интервал
 ; вычисляется по формуле
P
 X =
−a

−
−a

 (2)
где
 x=
1

2

∫
0
x
e
−
t
2 2
dt — функция Лапласа
Случайная величина X — рост взрослого мужчины. Применяя формулу (2), найдем
23

вероятность того, что рост взрослого мужчины будет принадлежать интервалу (170 ; 180),
P
170 X 180=
180
−175 6
−
170
−175 6
=
5 6
−−
5 6
=2 
5 6
=20.83=0.5935
Для вычисления вероятности того, что хотя бы один из наудачу выбранных пяти мужчин будет иметь рост от 170 до 180 см (событие А), перейдем к противоположному событию A
, т. е. к такому событию, когда рост пяти наудачу выбранных мужчин не попадет в интервал от 170 до 180 см.
Вероятность того, что рост одного мужчины выходит из интервала (170 ; 180), равна
P=1-P(170Применяя теорему умножения для независимых событий, найдем
P
 A=0.4065 5
≈0.01 и тогда P  A≈1−0.01=0.99 .
Упражнения
1) Детали, выпускаемые цехом, считаются высшего качества, если отклонения их размеров от номинала не превосходят по абсолютной величине 2.6 мм. Случайные отклонения размера детали от номинала подчиняется нормальному закону со средним квадратическим отклонением , равным 2 мм., а систематические отклонения отсутствуют.
Определить среднее число деталий высшего качества среди наудачу выбранных пяти деталей.
Ответ: 4 детали.