Главная страница
Навигация по странице:

  • КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА

    		•

    Теория вероятности № 5 (2). Методические указания и контрольные задания по курсу теории вероятностей для студентов заочного факультета по направлениям 210700, 220700, 230400 Санкт петербург гут 2012 1


    Скачать 356.27 Kb.
    НазваниеМетодические указания и контрольные задания по курсу теории вероятностей для студентов заочного факультета по направлениям 210700, 220700, 230400 Санкт петербург гут 2012 1
    АнкорТеория вероятности № 5 (2).pdf
    Дата17.05.2018
    Размер356.27 Kb.
    Формат файлаpdf
    Имя файлаТеория вероятности № 5 (2).pdf
    ТипМетодические указания
    #19337
    страница3 из 4
    1   2   3   4
    СИСТЕМА СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН
    Теоретический материал темы «Непрерывный случайный вектор»
    1.
    Законы распределения
    Функция распределения F(x,y)=P(X
    F
    −∞ , y=F x ,−∞=F −∞ ,−∞=0
    F
    ∞ ,∞=1
    F
    x ,∞=F
    1
    x ; F ∞ , y=F
    2
    y
    F(x,y) — неубывающая по x и y
    F
    x , y=
    ∫
    −∞
    x
    ∫
    −∞
    y
    f
    x , y dxdy
    Плотность распределения
    f
    x , y =
    ∂
    2
    F
    x , y
    ∂ x ∂ y
    ; f x , y 0
    ∫
    −∞
    ∞
    f
    x , y dy= f
    1
    x;
    ∫
    −∞
    ∞
    f
    x , ydx= f
    2
    y
    Условие нормировки
    ∫
    −∞
    ∞
    ∫
    −∞
    ∞
    f
    x , ydxdy=1 2.
    Числовые характеристики
    Математическое ожидание
    M
    [ X , Y ]=
    ∫
    −∞
    ∞
    ∫
    −∞
    ∞
     x , yf x , ydxdy
    M
    [ X ]=
    ∫
    −∞
    ∞
    ∫
    −∞
    ∞
    xf
    x , ydxdy
    Дисперсия D [ X ]=M [ X −M [ X ]
    2
    ]=M [ X
    2
    ]−M [ X ]
    2
    Корреляционный момент K[X,Y]=M[(X-M[X])(Y-M[Y])]=M[XY]-M[X] M[Y]
    Коэффициент корреляции r
    [ X ,Y ]=
    K
    [ X , Y ]

    D
    [ X ] D [Y ]
    24

    3.
    Независимые случайные величины
    Условия независимости F x , y =F
    1
    x⋅F
    2
    y
    f
    x , y = f
    1
    x⋅f
    2
    y
    Свойства числовых характеристик
    M
    [ X⋅Y ]=M [ X ]⋅M [Y ]; D[ X Y ]=D[ X ]D[Y ]
    K
    [ X ,Y ]=0 ;r [ X ,Y ]=0 4.
    Зависимые случайные величины
    Условные законы распределения
    f
    2
    y / x=
    f
    x , y
    f
    1
    x
    ; f
    1
    x/ y =
    f
    x , y
    f
    2
    y
    Условные математические ожидания
    M
    [Y / X ]=
    ∫
    −∞
    ∞
    yf
    y/ xdy
    5.
    Свойства числовых характеристик
    Математическое ожидание
    x
    min
    M [ X ]x
    max
    M
    [aX b]=aM [ X ]b ;
    M
    [ X Y ]=M [ X ]M [Y ]
    M
    [ X⋅Y ]=M [ X ]⋅M [Y ]K [ X ,Y ]
    Дисперсия
    D
    [ X ]0
    D
    [aX b]=a
    2
    D
    [ X ]
    D
    [ X ±Y ]=D[ X ]D [Y ]±2K[ X ,Y ]
    D
    [ X ]=K [ X , X ]
    Корреляционный момент
    ∣K [ X ,Y ]∣

    D
    [ X ] D[Y ]
    K
    [aX b , cY d ]=ac⋅K [ X ,Y ]
    K[X,Y]=K[Y,X]
    K[Y,Y]=D[Y]
    Коэффициент корреляции
    ∣r [ X ,Y ]∣1
    r
    [aX b , cY d ]=
    ac
    ∣ac∣
    ⋅r [ X ,Y ]
    r
    [ X ,Y ]=r [Y , X ] ; r[ X , aX b]=
    a
    ∣a∣
    =±1
    Тема 9.
    Понятие о системе случайных величин. Функция распределения и плотность распределения системы двух случайных величин, их свойства. Связь между функцией распределения и плотностью распределения системы двух случайных величин и функцией распределения (соответственно, плотностью распределения) отдельных величин, входящих в систему. Зависимые и независимые сдучайные величины.
    Пример 20.
    Случайная точка (X,Y) распределена равномерно ( с постоянной плотностью) внутри квадрата R на рис. 7. Написать выражение плотности распределения f(x,y) . Найти выражения плотностей распределения f
    1
    x, f
    2
    y отдельных величин X,Y , входящих в систему (составляющих системы случайных величин). Написать выражения условных плотностей f
    1
    x/ y, f
    2
    y/ x  . Зависимы или независимы случайные величины X,Y ?
    y 1
    -1 0 1 x
    -1
    рис. 7 25

    Решение
    Используем условие нормировки
    ∫
    −∞
    ∞
    ∫
    −∞
    ∞
    f
    x , ydxdy=1
    Так как система случайных величин распределена равномерно в области R , что означает: f x , y =
    {
    const ;
    x , y∈R
    0 ;
    x , y∉R
    }
    , то
    ∬
    R
    cdxdy
    =1 ; c
    ∬
    R
    dxdy
    =c⋅S
    R
    Площадь квадрата равна 2 , поэтому c=1/2 ; f x , y =
    {
    1 2
    ;
    x , y∈ R
    0 ;
    x , y∉R
    }
    f
    1
    x=
    {
    0 ; x
    −1 1
    2
    ∫
    −1−x
    1
    −x
    dy
    =1−x ;0x1 1
    2
    ∫
    −1x
    1
    x
    dy
    =1x ;−1x0 0 ; x
    1
    }
    f
    1
    x=
    {
    0 ; x
    −1 1
    −
    ∣x∣;∣x∣1 0 ; x
    1
    }
    График закона выглядит так (закон Симпсона)
    y
    1
    -1 0 1 x рис. 8
    Аналогично f
    2
    y =
    {
    1
    −∣y∣;∣y∣1 0 ;
    ∣y∣1
    }
    Далее, выражение для условной плотности распределения
    f
    1
    x/ y
    при
    ∣y∣1
    f
    1
    x/ y=
    f
    x , y
    f
    2
    y
    =
    {
    1 2
    1−
    ∣y∣
    ;
    ∣x∣1−∣y∣
    0 ;
    ∣x∣1−∣y∣
    }
    График условной плотности распределения f
    1
    (x/y) имеет следующий вид:
    f
    1
    (x/y)
    |y|-1 0 1-|y| x рис. 9
    Аналогично, при |x|<1,
    26

    f
    2
    y / x=
    {
    1 2
    1−
    ∣x∣
    ;
    ∣y∣1−∣x∣
    0 ;
    ∣y∣1−∣x∣
    }
    Следовательно, случайные величины X и Y зависимы, так как
    f
    1
    x≠ f
    1
    x/ y; f
    2
    y ≠ f
    2
    y/ x
    Упражнение
    Система случайных величин (X,Y) имеет плотность вероятности
    f
    x , y =
    a
    1
    x
    2
    y
    2
    x
    2
    y
    2
    Требуется найти коэффициент а ; найти вероятность попадания в прямоугольник
    0Ответ: a=
    1

    2
    ; P
    0X 1,−1Y 1=
    1 8
    F
    x , y =
    1

    arctan
    x
    1 2
    
    1

    arctan
    y
    1 2

    f
    1
    x=
    1
    1x
    2

    ; f
    2
    y=
    1
    1y
    2

    F
    1
    x=
    1

    arctan
    x
    1 2
    ; F
    2
    y=
    1

    arctan
    y
    1 2
    X и Y являются независимыми случайными величинами:
    f
    x , y = f
    1
    x⋅f
    2
    y
    Тема 10.
    Числовые характеристики системы двух случайных величин (начальные и центральные моменты, математическое ожидание, корреляционный момент и коэффициент корреляции). Свойства коэффициента корреляции. Пример зависимых, но не коррелированных случайных величин.
    Пример 21.
    Докажем, что зависимые случайные величины X и Y , рассматриваемые в примере 20 темы 9 , не коррелированы.
    Решение
    Вычислим K[X,Y]: K[X,Y]=M[XY]-M[X] M[Y].
    В силу симметрии относительно начала координат плотностей
    f
    1
    x, f
    2
    y
    :
    M[X]=M[Y]=0.
    Найдем M[XY]
    y
    B
    A 0 C x
    D
    рис. 10 27

    AD: y=1-x; AB: y=1+x; DC: y=-1+x; BC: y=1-x;
    M
    [ XY ]=
    ∬
    −∞
    ∞
    x
    ⋅y⋅f x , ydxdy=
    1 2
    ∬
    R
    xydxdy
    =
    1 2
    ∫
    −1 1
    xdx

    ∫
    −1−x
    1
    x
    ydy

    ∫
    −1x
    1
    −x
    ydy
    =0
    X и Y — не коррелированы, так как K[X,Y]=0
    Замечание
    Независимые случайные величины не коррелированы. Рассмотренный пример показывает, что из некоррелированности не следует независимость случайных величин. По величине K[X,Y] можно судить о тесноте только линейной зависимости. Так, если рассмотреть коэффициент корреляции r [ X ,Y ]=
    K
    [ X , Y ]

    x

    y
    где

    x
    =

    D
    [ X ] ;
    y
    =

    D
    [Y ] , то
    ∣
    r
    xy
    ∣
    1 , причем для случайных величин, связанных линейной зависимостью Y=kX+b ,
    r
    xy
    =1
    при k>0 и
    r
    xy
    =−1
    при k<0 .
    Пример 22.
    Определить плотность вероятности и математические ожидания, дисперсии и корреляционный момент случайных величин X и Y , заданных в интервалах 0x

    2 
    и
    0 y

    2 
    , если функция распределения системы F
    x , y =sin x⋅sin y .
    Решение
    Для системы случайных величин находим плотность вероятности по формуле
    f
    x , y =
    ∂
    2
    F
    x , y
    ∂ x ∂ y
    Получим f x , y =cosx⋅cos y;0x

    2
    ;0
    y

    2 
    M
    [ X ]−
    ∫
    0

    2
    ∫
    0

    2
    x cos
    x⋅cos ydxdy=
    ∫
    0

    2
    cos
    ydy
    ∫
    0

    2
    x cos
    xdx=

    2
    −1
    D
    [ X ]=
    ∫
    0

    2
    ∫
    0

    2
    x
    2
    cos
    xcos ydxdy−

    2
    −2
    2
    =−3
    M{X]=M[Y] , D[X]=D[Y] .
    Корреляционный момент
    K [ X ,Y ]=
    ∫
    0

    2
    ∫
    0

    2
    xy cos
    xcos ydxdy−

    2
    −1
    2
    =

    2
    −1
    2
    −

    2
    −1
    2
    =0
    Докажите, что X и Y независимы.
    ЗАКЛЮЧЕНИЕ
    В заключение приведем несколько примеров, которые советуем решить самостоятельно, контролируя себя приведенными ниже решениями.
    Пример 23.
    Дан ряд распределения дискретной случайной величины x
    i
    -1 0 3 4
    p i
    0.2 0.3 0.1 p
    4 28

    Найти
    p
    4
    ; D
    [ X ]; F x; P 2 X 3.5; P X 3 ; P −2X
    Решение
    Из условия нормировки 0.2+0.3+0.1+p
    4
    =1 Отсюда p
    4
    =1-0.6=0.4;
    D[X]=M[X
    2
    }-M
    2
    [X]
    Найдем M[X]: M
    [ X ]=
    ∑
    i
    =1 4
    x
    i
    p
    i
    =−1⋅0.20⋅0.33⋅0.14⋅0.4=1.7
    M
    [ X
    2
    ]=
    ∑
    i
    =1 4
    x
    i
    2
    p
    i
    =1⋅0.20⋅0.39⋅0.116⋅0.4=7.5
    D
    [ X ]=7.5−1.7 2
    =7.5−2.89=4.61
    Найдем функцию распределения
    F
    x=
    {
    0 ; x
    −1 0.2 ;
    −1x0 0.2
    0.3=0.5 ;0x3 0.5
    0.1=0.6 ;3x4 0.6
    0.4=1 ; x4
    }
    Вычислим вероятности попадания в интервалы
    P
    2 X 3.5=F 3.5−F 2=0.6−0.5=0.1
    P
    X 3=F 3=0.5
    P
    −2X ∞=F ∞−F −2=1−0=1
    Пример 24.
    Дан ряд распределения дискретной случайной величины Y
    y i
    -100 0 300 400
    p i
    0.2 0.3 0.1 0.4
    Найти P
    1Y 300 M[Y]; D[Y]
    Решение
    Для вычисления вероятности события 1Y 300 в данном случае нельзя пользоваться формулой P
    aY b=F b−F a , Для того, чтобы пояснить данное положение, рассмотрим функцию распределения случайной величины Y, в частности, если значение аргумента функции распределения y находится в интервале 0y300 , то
    F
    y=P −∞Y y=P Y =−100P Y =0=0.20.3=0.5 , F 300=P Y 300=0.5 , как видно из определения функции распределения, значение случайной величины Y=300 не попадает в интервал, т. к. в формуле для определения значения функции распределения в точке, стоит строгое неравенство, таким образом, событие {Y=300}и вероятность этого события P(Y=300)=0.1 не учитывается в формуле F(300)-F(1)=0.5-0.5=0 .
    Для вычисления вероятности P
    1Y 300 необходимо использовать ряд распределения случайной величины Y . Надо определить, какие значения случайной величины Y попадают в указанный интервал, и сложить соответствующие вероятности.
    P
    1Y 300=P Y =300=0.1
    Рассмотрим случайную величину X , определенную рядом распределения x
    i
    -1 0 3 4
    p i
    0.2 0.3 0.1 0.4
    тогда Y=100X , следовательно M[Y]=100M[X]
    D[Y]=10000D[X]; M[X]=1.7; D[X]=4.61
    Окончательно M[Y]=170; D[Y]=46100 29

    Пример 25.
    Дана плотность вероятности непрерывной случайной величины
    f
    x=
    {
    0 ; x
    −

    2
    a cos
    x;−

    2
    x

    2 0 ; x


    2
    }
    Найти число «a» ; P − X

    6 
    ; F
    x
    Решение
    По условию нормировки
    ∫
    −∞
    ∞
    f
    xdx=
    ∫
    −

    2

    2
    a cos
    xdx=2a=1 Отсюда a=1/2;
    P
    − X

    6
    =
    ∫
    −

    2

    2
    f
    x.ydxdy=
    ∫
    −

    2

    6 1
    2
    cos
    xdx=
    1 2

    1 2
    1=
    3 4
    Найдем функцию распределения
    В нашем случае
    F
    x=
    {
    0 ; x

    −
    2
    ∫
    −
    2
    x
    1 2
    cos
    t dt ;−

    2
    x

    2 1;
    2
    x
    }
    Интегрируя, получим
    F
    x=
    {
    0 ; x
    −

    2 1
    2
    sin
    x
    1 2
    ;
    −

    2
    x

    2 1 ;
    2
    x
    }
    Пример 26.
    Дана функция распределения непрерывной случайной величины
    F
    x=
    {
    0 ; x
    −

    4
    a sin
    2xb ;−

    4
    x

    4 1 ;
    4
    x
    }
    Найти «a»,»b»
    30

    Решение
    В силу непрерывности функции F(x) для непрерывной случайной величины имеем:
    F

    −
    4 =
    0
    = lim
    x
    −

    4
    0
    F
    x=a sin2⋅−

    4 
    b ; 0
    =−ab
    F


    4 =
    1
    = lim
    x


    4
    −0
    F
    x=a sin 

    2 
    b ;1
    =ab
    Отсюда b=1/2; a=1/2 .
    Пример 27.
    Найти интервал, практически возможных значений случайной величины, плотность вероятности которой имеет вид
    f
    x=
    1

    2
    ⋅5
    ⋅e
    −
    x
    1
    2 50
    Решение
    Данная плотность вероятности определяет нормально распределенную случайную величину
    X со средним значением a=-1и среднеквадратическим отклонением
    =5 . Нормально распределенная случайная величина с вероятностью 0.997 попадает в интервал
    [ a−3  ; a3] (правило трех сигм). Следовательно, практически возможные значения этой величины заполняют интервал [-16;14]
    Упражнения
    1.
    Дан ряд распределения дискретной случайной величины x
    i
    -1 0 x
    3
    p i
    p
    1 0.3 0.4
    Известно, что M[X}=0.5 . Случайная величина Y связана с X равенством Y=1-3X
    Найти p
    1
    ; x
    3
    ; D[X]; F(0); F(7); F(-2); M[Y]; D[Y]
    2.
    Для случайных величин X и Y известны D[X]=4; D[Y]=25; D[X+Y]=33
    Найти r[X,Y]
    3.
    Дана функция распределения непрерывной случайной величины X
    F
    x=
    {
    0 ; x
    2
    x
    −2 ; 2xa
    1; a
    x
    }
    Найти a; M[X]; P(2.9Ответы:
    1. 0.3; 2; 1.65; 0.3; 1; 0; -0.5; 14.85 2.
    0.2 3.
    3; 2.5; 0.1; 0.7; 1 31

    КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА
    № 1. В партии из 7 изделий 2 бракованных. Наудачу взяты 4 изделия. Найти вероятность того, что среди них:
    а. одно бракованное;
    б. хотя бы одно бракованное;
    в. бракованных и небракованных поровну.
    № 2. В урне 6 белых и 2 черных шара. Наудачу взяты 4 шара. Найти вероятность того, что среди них:
    а. один белый;
    б. хотя бы один белый;
    в. белых и черных шаров поровну.
    № 3. Среди 10 приборов 3 бракованных. Наудачу взяты 6 приборов. Найти вероятность того, что среди них:
    а. два бракованных;
    б. хотя бы один бракованный;
    в. бракованных и небракованных поровну.
    № 4. В партии 5 исправных изделий и 2 бракованных. Наудачу взяты 4 изделия. Найти вероятность того, что среди них:
    а. одно бракованное;
    б. хотя бы одно бракованное;
    в. бракованных и небракованных поровну.
    № 5. В кошельке лежат 8 монет по 5 рублей и 2 монеты по 10 рублей. Наудачу взяты 4 монеты. Найти вероятность того, что среди них:
    а. одна монета по 10 рублей;
    б. хотя бы одна монета достоинством 10 рублей;
    в. монет по 5 и по 10 рублей поровну поровну.
    № 6. В партии 12 изделий, из них 3 бракованных. Наудачу взято 2 изделия. Найти вероятность того, что среди них:
    а. одно бракованное;
    б. хотя бы одно бракованное;
    в. бракованных и небракованных поровну.
    № 7. В урне 1 красный шар, 3 белых шара и 5 черных. Наудачу взяты 4 шара. Найти вероятность того, что среди них:
    а. один черный;
    б. хотя бы один черный;
    в. белых и черных поровну.
    № 8. В группе из 10 студентов 3 отличника. По списку выбраны наудачу 4 студента. Найти вероятность того, что среди них:
    а. три отличника;
    б. хотя бы один отличник;
    в. отличников и неотличников поровну.
    № 9. У причала стоят 9 катеров из них 4 шестиместных. Для прогулки туристы выбрали наудачу 4 катера. Найти вероятность того, что среди них:
    а. один шестиместный;
    б. хотя бы один шестиместный;
    в. шестиместных и нешестиместных поровну.
    № 10. В партии из 8 изделий 5 бракованных. Наудачу взяты 4 изделия. Найти вероятность того, что среди них:
    32
    а. три бракованных;
    б. хотя бы одно бракованное;
    в. бракованных и небракованных поровну.
    В задачах с 11 по 20 рассчитать надежность цепи. (Указаны вероятности работы элементов)
    №11
    №12
    №13
    №14
    №15 33
    P
    4
    P
    1
    P
    3
    P
    4
    P
    9
    P
    3
    P
    9
    P
    3
    P
    5
    P
    6
    P
    3
    P
    2
    P
    1
    P
    6
    P
    2
    P
    1
    P
    3
    P
    4
    P
    5
    P
    6
    P
    2
    P
    4
    P
    2
    P
    5
    P
    6
    P
    5
    P
    1
    P
    6
    P
    5
    P
    6
    P
    5
    P
    4
    P
    3
    P
    2
    P
    2
    P
    1
    P
    1
    P
    2
    P
    3
    P
    4
    P
    4
    P
    5
    P
    6
    P
    4
    P
    3
    P
    6
    P
    5
    P
    3
    P
    2
    P
    1
    P
    1
    №16
    №18
    №17

    № 19
    № 20
    № 21
    В первой урне находятся 1 белый 5 черных шаров, а во второй — 4 белых и 1 черный. Из первой урны удалили наугад один шар, а оставшиеся ссыпали в третью урну.
    а. Найти вероятность того, что шар, вынутый из третьей урны, окажется белым.
    б. Оказалось, что шар, вынутый из третьей урны, белого цвета. Найти вероятность, что шар, удаленный из первой урны, тоже черный.
    № 22
    Двигатель работает в нормальном режиме в 80% всего времени, а в форсированном — в оставшиеся 20%. Вероятность выхода его из строя в нормальном режиме равна 5%, а форсированном — 50%.

    1   2   3   4

    написать администратору сайта