Теория вероятности № 5 (2). Методические указания и контрольные задания по курсу теории вероятностей для студентов заочного факультета по направлениям 210700, 220700, 230400 Санкт петербург гут 2012 1
 Скачать 356.27 Kb.
|
|
а. Какова вероятность выхода двигателя из строя? б. Двигатель вышел из строя. Какова вероятность, что в этот момент он работал в форсированном режиме? № 23 Программа экзамена содержит 20 вопросов. Студент знает 10 из них. Для сдачи экзамена требуется ответить на два предложенных вопроса или на один из них и один вопрос дополнительно. а. Какова вероятность, что студент сдаст экзамен? б. Студент сдал экзамен. Какова вероятность, что ему пришлось отвечать на дополнительный вопрос? № 24 В магазин поступило 500 телевизоров, из них 200 отмечены знаком качества. Известно, что среди телевизоров со знаком качества 5% — бракованных, а среди остальных телевизоров бракованных — 20%. а. Найти вероятность того, что случайно выбранный телевизор оказался бракованным. б. Случайно выбранный телевизор оказался бракованным. Найти вероятность того, что он имеет знак качества. № 25 Имеется две партии деталей из 3 и 7 штук. В каждой партии одна деталь бракованная. Вторую партию увеличили, добавив в нее одну деталь, случайно выбранную в первой партии, а затем из второй партии одну деталь, выбранную наугад, отправили на проверку. а. Нати вероятность того, что эта деталь годна. б. Деталь оказалась годной. Найти вероятность, что из первой партии во вторую была переложена годная деталь. 34 P 1 P 2 P 3 P 4 P 1 P 2 P 3 P 6 P 5 P 5 P 4 P 7 P 6 № 26 Программа зачета содержит 10 вопросов. Студен знает 7 из них. Для сдачи зачета требуется ответить на предложенный вопрос или, в случае незнания этого вопроса, на два дополнительных. а. Какова вероятность, что студент сдаст зачет? б. Студент сдал зачет. Какова вероятность, что ему пришлось отвечать на дополнительные вопросы? № 27 В трех урнах имеются белые и черные шары: в первой — 9 белых и 1 черный; во второй — 3 белых и 1 черный; в третьей — 6 белых и 4 черных. Из наугад выбранной урны случайно выбирают шар. а. Найти вероятность, что он белый. б. Достали белый шар, найти вероятность, что он из третьей урны. № 28 Радиоаппаратура работает при нормальном напряжении в сети в 95% времени, а в 5% времени — при повышенном напряжении. Вероятность отказа радиоаппаратуры при нормальном напряжении равна 0.04 , а при повышенном — 0.4 . а. Какова полная вероятность отказа аппаратуры? б. Произошел отказ аппаратуры. Какова вероятность, что в этот момент напряжение в сети было повышенным? № 29 В ящике лежат 100 радиодеталей первого, 200 — второго и 300 — третьего сорта. Доля нестандартных деталей среди первосортных составляет 5%, среди второсортных — 10% , а среди третьесортных — 25%. а. Найти вероятность,что случайно выбранная из ящика деталь стандартная. б. Найти вероятность, что выбранная деталь первого сорта, если известно, что она оказалась стандартной. № 30 В трех ящиках лежат детали: в первом — 6 годных, 4 бракованных; во втором — 3 годных, 1 бракованная; в третьем — 9 годных, 1 бракованная Из случайно выбранного ящика наугад выбирается деталь. а. Найти вероятность, что она оказалась бракованной. б. Найти вероятность, что она из третьего ящика, если известно, что она бракованная. Для решения задач 31-40 воспользуйтесь формулой Бернулли или формулой Пуассона. № 31 Будем считать, что вероятности появления на свет мальчика и девочки равны между собой. В семье пятеро детей. а. Найти вероятность того, что в семье ровно 2 мальчика. б. Найти вероятность того, что в семье хотя бы 1 мальчик. № 32 Вероятность брака при производстве диодов равна 0.05 . В партии 100 диодов. а. Какова вероятность, что среди них ровно два бракованных? б. Какова вероятность что в партии хотя бы 2 бракованных диода? 35 № 33 Стрелок попадает в мишень с вероятностью 0.6 . Производится серия из 4 выстрелов. а. Какова вероятность того, что число промахов будет равно числу попаданий? б. Найти вероятность хотя бы одного промаха. № 34 Вероятность того что в заданный срок электрическая лампочка перегорит равна 0.02 . В доме 300 лампочек. а. Какова вероятность, что в доме в заданный срок перегорит ровно 4 лампочки? б. Какова вероятность того, что в доме в тот же срок перегорит не менее двух из них? № 35 Баскетболист попадает в корзину с вероятностью 0.75 . а. Какова вероятность того, что он промахнется ровно 2 раза в 4 бросках? б. Какова вероятность того, что он промахнется хотя бы 1 раз? № 36 Среди резисторов, прошедших контроль, 2% — нестандартные. В партии 200 резисторов. а. Какова вероятность того, что в партии хотя бы 2 нестандартных? б. Какова вероятность того, что в партии от 2 до 5 нестандартных? № 37 Монета бросается 4 раза. а. Какова вероятность того, что число выпавших гербов не менее одного и не более трех? б. Найти вероятность того, что выпадет ровно три герба. № 38 В результате проведения опыта событие А появляется с вероятностью 0.001 . Опыт повторяется 2000 раз. а. Какова вероятность того, что событие А появится от 2 до 4 раз? б. Какова вероятность того, что событие А появится хотя бы один раз? № 39 Прибор состоит из трех узлов. Вероятность отказа в течение времени t для каждого узла равна 0.2 . а. Какова вероятность того, что за время t откажет хотя бы один узел? б. Найти вероятность того, что за время t откажет ровно один узел. № 40 Вероятность того, что любая деталь в партии бракованная, равна 0.001 . Партия состоит из 5000 деталей. а. Найти вероятность того, что среди них хотя бы одна бракованная. б. Найти вероятность того, что среди них от 2 до 4 бракованных деталей. В задачах дискретная случайная величина задана рядом распределения. № 41 x i -1 0 2 p i 0.5 0.1 p 3 Найти p 3 ; M [ X ]; D[ X ] ; P X 2; F x. Начертить график F x № 42 x i -20 0 20 p i 0.3 p 2 0.4 Найти p 2 ; M [ X ] ; D [ X ]; P X 2; F x. Начертить график F x 36 № 43 x i -2 0 2 p i p 1 0.1 0.5 Найти p 1 ; M [ X ]; D [ X ] ; P 0 X 2; F x. Начертить график F x № 44 x i -1 0 x 3 p i 0.2 0.3 p 3 Известно, что M [ X ]=0.8 . Найти x 3 ; p 3 ; D [ X ] ; P X 1 ; F x. Начертить график F x № 45 x i 0 1 5 p i 0.3 0.5 p 3 Найти p 3 ; M [ X ]; D [ X ] ; P X 3; F x. Начертить график F x № 46 x i -1 1 x 3 p i 0.1 p 2 0.3 Известно, что M [ X ]=1.1 Найти p 2 ; x 3 ; D [ X ]; P X 1; F x . Начертить график F x № 47 x i -2 0 1 p i 0.2 p 2 0.1 Найти p 2 ; M [ X ] ; D [ X ]; P X 1 ; F x . Начертить график F x № 48 x i -1 x 2 2 p i 0.2 0.1 p 3 Известно, что M [ X ]=1.3 Найти p 3 ; x 2 ; D [ X ]; P X 1.5 ; F x . Начертить график F x № 49 x i -10 0 20 p i 0.2 p 2 0.2 Найти p 2 ; M [ X ] ; D [ X ]; P X −1 ; F x. Начертить график F x № 50 x i 0 1 x 3 p i 0.5 p 2 0.1 Известно, что M [ X ]=0.7 Найти p 2 ; x 3 ; D [ X ]; P X 0.5; F x . Начертить график F x В задачах 51—60 непрерывная случайная величина X задана функцией распределения F(x). № 51 F x= { 0 ; x 0 ax 2 ;0 x1 1 ; x 1 } Найти a ; f x ; M [ X ]; D[ X ] ; P −1x0.5. Начертить графики функций f(x);F(x) 37 № 52 F x= { 0 ; x 1 ax ь ;1x2 1 ; x 2 } Найти a ;b ; f x; M [ X ]; D[ X ]; P −1x2. Начертить графики функций f(x);F(x) № 53 F x= { 0 ; x 0 ax 4 ;0 x1 1 ; x 1 } Найти a ; f x; M [ X ]; D [ X ] ; P x0.2. Начертить графики функций f(x);F(x) № 54 F x= { 0 ; x −1 ax b ;−1x0 1; x 0 } Найти a ;b ; f x; M [ X ]; D[ X ]; P −0.5x0. Начертить графики функций f(x);F(x) № 55 F x= { 0 ; x 0 x a−x; 0x1 1 ; x 1 } Найти a ; f x; M [ X ]; D [ X ] ; P 0.5x1. Начертить графики функций f(x);F(x) № 56 F x= { 0 ; x 1 a x 2 −1;1x2 1 ; x 2 } Найти a ; f x; M [ X ]; D [ X ] ; P −1x1. Начертить графики функций f(x);F(x) № 57 F x= { 0 ; x 1 ax 2 b ;1x3 1 ; x 3 } Найти a ;b ; f x; M [ X ]; D[ X ]; P 0x2. Начертить графики функций f(x);F(x) № 58 F x= { 0 ; x 1 a x−1 2 ;1 x3 1 ; x 3 } Найти a ; f x; M [ X ]; D [ X ] ; P 2x4. Начертить графики функций f(x);F(x) № 59 F x= { 0 ; x 1 ax 2 bx ;1x2 1 ; x 2 } Найти a ;b ; f x; M [ X ]; D[ X ]; P 0x1.5. Начертить графики функций f(x);F(x) № 60 F x= { 0 ; x 0 ax 3 ;0 x1 1 ; x 1 } Найти a ; f x; M [ X ]; D [ X ] ; P −0.5x0.5. Начертить графики функций f(x);F(x) 38 ПРИЛОЖЕНИЯ Таблица 1. Таблица значений функции Лапласа x= 1 2 ∫ 0 x e − t 2 2 dt x=−−x Дробная часть Целая часть 0 1 2 3 0.00 05 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75 80 85 90 95 0.0000 0.0199 0.0398 0.0596 0.0793 0.0987 0.1179 0.1368 0.1564 0.1736 0.1915 0.2088 0.2257 0.2422 0.2580 0.2734 0.2881 0.3023 0.3159 0.3289 0.3413 0.3531 0.3643 0.3749 0.3849 0.3944 0.4032 0.4115 0.4192 0.4265 0.4332 0.4394 0.4452 0.4505 0.4554 0.4599 0.4641 0.4678 0.4713 0,4744 0.4772 0.4821 0.4861 0.4893 0.4918 0.4938 0.4663 0.4965 0.4974 0.4981 0.49865 0.49931 0.49966 0.49984 0.49993 Таблица 2. Значения P k = k k ! e −k (распределение Пуассона) k =1 =2 =3 =4 =5 =6 =7 =8 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0.3679 0.3679 0.1839 0.0613 0.0153 0.0031 0.0005 0.0001 0.1353 0.2707 0.2707 0.1804 0.0902 0.0361 0.0120 0.0037 0.0009 0.0002 0.0498 0.1494 0.2240 0.2240 0.1680 0.1008 0.0504 0.0216 0.0081 0.0027 0.0008 0.0183 0.0733 0.1465 0.1954 0.1954 0.1563 0.1042 0.0595 0.0298 0.0132 0.0053 0.0067 0.0337 0.0842 0.1404 0.1755 0.1755 0.1462 0.1044 0.0653 0.0363 0.0181 0.0025 0.0149 0.0446 0.0892 0.1339 0.1606 0.1606 0.1377 0.1033 0.0688 0.0413 0.0009 0.0064 0.0223 0.0521 0.0912 0.1277 0.1490 0.1490 0.1304 0.1014 0.0710 0.0003 0.0027 0.0107 0.0286 0.0572 0.0916 0.1221 0.1396 0.1396 0.1241 0.0993 39 ЛИТЕРАТУРА 1. Гмурман В. Е. Теория вероятностей и математическая статистика. М. Высшая школа, 2002 г. 479 с. 2. Гмурман В. Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике. М. Высшая школа. 2003 г. 405 с. 3. Гурский Е. И. Сборник задач по теории вероятностей и математической статистике. Минск. Вышэйшая школа. 1984 г. 223 с. 4. Вентцель Е. С. Теория вероятностей. М. Высшая школа. 2002 г. 575 с. 5. Данко П. Е., Попов А. Г., Кожевникова Т. Я. Высшая математика в упражнениях и задачах ч. 2 , М. ОНИКС 21 век, 2003 г. 416 с. 40 Оглавление ВВЕДЕНИЕ......................................................................................................................................... 3 ПРОГРАММА КУРСА ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ...................................................................... 3 СЛУЧАЙНЫЕ СОБЫТИЯ................................................................................................................ 4 СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ........................................................................................................... 15 СИСТЕМА СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН..........................................................................................24 КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА.............................................................................................................. 32 ПРИЛОЖЕНИЯ................................................................................................................................ 39 ЛИТЕРАТУРА....................................................................................................................................40 41 |