Теория вероятности № 5 (2). Методические указания и контрольные задания по курсу теории вероятностей для студентов заочного факультета по направлениям 210700, 220700, 230400 Санкт петербург гут 2012 1
 Скачать 356.27 Kb.
|
|
№ 5 Методические указания и контрольные задания по курсу теории вероятностей для студентов заочного факультета по направлениям 210700, 220700, 230400 Санкт -Петербург ГУТ 2012 1 Методические указания и контрольные задания по курсу теории вероятностей для студентов заочного факультета по направлениям 210700, 220700, 230400. № 5. Сост. Г. М. Полевая, В. С. Стукалова, Н. К. Яновская. Т. Е. Рекина, Е. Я. Раковщик. ГУТ СПб, 2012. Методические указания содержат варианты контрольных работ по теории вероятностей для студентов заочного отделения, а также указания по их выполнению и упражнения для самопроверки. 2 ВВЕДЕНИЕ Настоящие Методические указания предназначены для самостоятельного изучения теории вероятностей студентами заочного отделения ГУТ им. проф. М. А. Бонч-Бруевича. В них подробно перечислены вопросы теоретического материала, которые следует изучить по каждой теме, указана литература, даны необходимые пояснения по возможным сложностям, разобраны примеры типовых задач. Студенту рекомендуется также самостоятельно решить задачи из приведенных упражнений и сборников задач по теории вероятностей указанных в списке литературы . По теории вероятностей студент выполняет контрольную работу . ПРОГРАММА КУРСА ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ 1. Основные понятия теории вероятностей. Алгебра событий. Вероятность. Несовместные и независимые события. Вероятность суммы и произведения событий. Формула полной вероятности. Формула Байеса. Независимые испытания. Формула Бернулли 2. Случайная величина. Ряд распределения и функция распределения дискретной случайной величины. Числовые характеристики дискретной случайной величины. Функция распределения и плотность распределения непрерывной случайной величины. Числовые характеристики непрерывной случайной величины 3. Основные типы случайных величин и их числовые характеристики. Биномиальный закон. Равномерное распределение. Показательное распределение. Нормальный закон распределения 4. Система случайных величин. Функция распределения системы двух случайных величин. Функция плотности распределения системы двух непрерывных случайных величин. Числовые характеристики системы случайных величин. 3 СЛУЧАЙНЫЕ СОБЫТИЯ Тема 1. Предмет теории вероятностей. Основные понятия теории вероятностей (опыт, событие, случайное, невозможное и достоверное события, противоположные события, несовместные события, равновозможные события, полная группа событий). Алгебра событий. Сумма и произведение событий. Несовместные и независимые события. Вероятность суммы и произведения событий. Определение вероятности события. Частота события и статистическое определение вероятности. Случаи и классическое определение вероятности, Напомним,что случайным событием в теории вероятности называется такое событие, которое в результате опыта может произойти или не произойти, причем это определяется причинами, не контролируемыми лицом, производящим опыт. Например, мы бросаем на стол кубик (игральную кость). Он может показать любую грань. Выпадение 6 очков — случайное событие. Точнее, конечно, выпадение той или иной грани определяется начальным положением кубика, высотой места бросания над столом, жесткостью стола, ветром и ещё многими другими причинами, которые нами не контролируются и которые меняются от одного бросания к другому. Другой пример. Мы замеряем уровень шума на элементе электронной схемы. Уровень может превышать либо не превышать допустимое пороговое значение; это событие случайное, хотя, конечно, зависит от конструкции прибора, условий работы и т. п. Среди случайных событий какие-то более возможны или встречаются чаще, другие менее возможны или встречаются реже. Меру возможности или частоты появления случайного события называют вероятностью, причем условились считать вероятность числом от 0 до 1, т. е., обозначая случайное событие буквой А, а его вероятность Р(А), имеем 0 ≤P A≤1 . Вероятность некоторых событий найти легко. НЕВОЗМОЖНОЕ, т. е. практически неосуществимое событие имеет вероятность 0; оно обозначается буквой ∅ . ДОСТОВЕРНОЕ событие, т. е. появляющееся практически в любом опыте, имеет вероятность 1; оно обозначается буквой . Таким образом, P ∅=0 ; P =1 . Например, если опыт состоит в бросании монеты, невозможное событие — монета встала на ребро; достоверное событие — монета показала герб или цифру. Вероятность других событий находят различными методами, с которыми мы познакомимся ниже. Рассмотрим одну из моделей теории вероятностей, называемой «схема случаев». Говорят, что опыт укладывается в схему случаев, если исходы опыта (элементарные события, случаи) — равновозможны, попарно несовместны и в совокупности представляют собой достоверное событие. Тогда вероятность некоторого случайного события A , которое может произойти в рамках данного опыта, вычисляется по формуле P A= m n , где m - число исходов (случаев) опыта, благоприятных событию A , а n — число всех возможных исходов опыта (случаев, элементарных событий). Над событиями можно производить операции, которые немного напоминают действия над числами. СУММОЙ двух событий А и В называется событие А+В , состоящее в том, что в результате опыта наступило либо А, либо В, либо А и В вместе. 4 Пример 1. Пусть событие A k , k =1,2 ,...6 состоит в том, что при бросании кубика выпало k очков. Событие A 1 A 2 состоит в том, что выпало меньше трех очков. Операция сложения событий обладает следующими свойствами: A B=BA , ABC=ABC , A= , A∅=A Произведением двух событий A и B называется событие AB , состоящее в том, что в результате опыта наступили и A , и B . Пример 2. Опыт состоит в том, что из группы студентов наугад выбирается один. Пусть событие A состоит в том, что студент курит, B — в том, что студент живет в общежитии. Тогда наступление события AB означает, что случайно выбранный студент живет в общежитии и курит. Основные свойства произведения: AB =BA , ABC=ABC , A ∅=∅ , A =A , A BC =ABAC . Наконец, имеется еще одна операция над событиями. Через A обозначается событие, состоящее в том, что в результате опыта не наступило событие A . Событие A называется противоположным к A . При решении задач используются следующие соотношения: A A =∅ , AA= , ∅= , =∅ . Рассмотрим примеры составления формул «сложных» событий. Пример 3. Теннисист играет последовательно с тремя партнерами A , B , C . Победу над ними обозначим теми же буквами. Написать формулу события X , состоящего в том, что теннисист одержал хотя бы две победы подряд. Решение. Две победы подряд теннисист может одержать, выиграв либо у A и B , либо у B и C , таким образом, X =ABBC=B AC Пример 4. В условиях примера 1 описать формулой следующие события: B : выпало четное число очков; C : не выпала пятерка; D : выпало меньше 4 очков; E : выпало больше 4 очков. Ответ: B =A 2 A 4 A 6 ; C = A 5 ; D =A 1 A 2 A 3 ; E =A 5 A 6 Если два события A и B таковы, что их произведение невозможное событие, т.е. AB =∅ , события A и B называются НЕСОВМЕСТНЫМИ. Для несовместных событий имеет место равенство P AB=P AP B (1) Если же A и B — произвольные события, то формула (1) изменяется: P AB=P AP B−P AB (2) Формула (2) называется теоремой сложения вероятностей. Её частный случай: P A=1−P A , так как A и A несовместны. Пример 5. В урне содержится 8 синих и 5 красных шаров. Из урны наугад вынимают одновременно четыре шара. Требуется найти вероятность того, что все они синие; хотя бы один красный; три красных и один синий. Решение. В этой задаче опыт укладывается в схему случаев, так как в качестве исхода опыта или 5 случая рассматриваем выборку (набор) четырех шаров, взятых из общего количества имеющихся шаров (тринадцати). Мы будем различать такие выборки четырех шаров, которые отличаются друг от друга хотя бы одним шаром. Это условие обеспечивает попарную несовместность исходов опыта (составление набора из четырех шаров). Исходы опыта имеют равные возможности реализации в силу того, что все шары одинаковы и различаются только цветом. Далее, совокупность всех таких выборок является достоверным событием в рамках данного опыта. Для решения задачи используем формулу P A= m n , где n — число всех исходов опыта, а m — число исходов, благоприятных событию А, т. е. таких, при которых событие А происходит. Число всех возможных исходов равно n =C 4 13 , так как C 4 13 — число наборов четырех элементов из тринадцати, отличающихся друг от друга хотя бы одним элементом. . Благоприятными являются выборки, состоящие только из синих шаров. Таких выборок имеется m=C 4 8 По определению вероятности P 1 = m n = C 4 8 C 4 13 Напомним, как вычисляются числа C i k : C i k = k k−1⋅...⋅k −i1 i ! = k ! i !k −i! =C k −i k , ( k !=k k−1⋅...⋅3⋅2⋅1 , 0!=1 по определению.) Отсюда C 4 8 = 8 ⋅7⋅6⋅5 4 ⋅3⋅2⋅1 =70 , C 4 13 = 13 ⋅12⋅11⋅10 4 ⋅3⋅2⋅1 =715 , P 1 = 14 143 (Докажите, что C 0 k =C k k =1 , а C 1 k =k , например, C 99 100 =C 1 100 =100 .) Поскольку события «хотя бы один красный шар» и «все синие шары» противоположны, то P 2 =1− C 4 8 C 4 13 В третьем случае благоприятными являются выборки, содержащие 3 красных и один синий шар. Чтобы составить такую выборку, следует: выбрать три красных шара из пяти (это можно сделать C 3 5 способами), добрать недостающий синий шар (это можно сделать C 1 8 способами), и, так как любая тройка красных шаров может объединиться с любым синим шаром, то всего благоприятных комбинаций будет m=C 3 5 ⋅C 1 8 . Следовательно, искомая вероятность P 3 = C 3 5 ⋅C 1 8 C 4 13 , где C 1 8 =8 ; C 3 5 =C 2 5 = 5 ⋅4 2 ⋅1 =10 ; P 3 = 16 143 Упражнения 1) Бросают одновременно две игральные кости. Какова вероятность что откроется сумма, равная 6? Ответ: 5 36 6 2) В лифт восьмиэтажного дома вошли 5 человек. Каждый с равной вероятностью может выйти на любом этаже, начиная со второго. Найти вероятность того, что все пятеро выйдут на разных этажах; все выйдут на одном этаже; все выйдут на шестом этаже. Ответ: P= 7 ⋅6⋅5⋅4⋅3 7 5 ; P= 7 7 5 ; P= 1 7 5 3) Имеется шесть карточек с буквами О, М, Л, К, О, О. Какова вероятность, раскладывая карточки в случайном порядке, получить слово «молоко». Ответ: 3 ! 6 ! Тема 2. Условная и безусловная вероятности. Зависимые и независимые события. Теорема умножения для двух зависимых событий. Теорема умножения для двух независимых событий. Зависимость и независимость событий в совокупности. Теорема умножения для независимых в совокупности событий. Условная вероятность P A/ B= P AB P B . Условная вероятность — это вероятность наступления события A при условии, что известно, что событие B наступило. Независимость событий A и B означает, что условная вероятность P A/ B равна безусловной P A ( или P B / A= P B ). В этом случае (когда события A и B независимы) теорема умножения вероятностей выражается формулой: P A⋅B=P A⋅P B В более общем случае (когда события A и B зависимы) теорема умножения вероятностей выглядит так: P A⋅B=P A⋅P B / A Понятие независимости обобщается и на большее двух количество событий: события A 1 , A 2 , ... , A n независимы (точнее, независимы в совокупности), если для любой группы из этих событий вероятность их произведения равна произведению вероятностей. Пример 6. Студент знает двадцать вопросов из тридцати. В билете 3 вопроса. Найти вероятность того, что он ответит на первые два и не ответит на третий вопрос. Решение: На экзамене студент выбирает 3 вопроса наудачу. Обозначим через A 1 , A 2 , A 3 события, состоящие в правильном ответе, соответственно, на первый, второй и третий вопросы, через B — интересующее нас событие. Тогда B =A 1 ⋅A 2 ⋅ A 3 и, следовательно, P B=P A 1 ⋅P A 2 / A 1 ⋅P A 3 / A 1 ⋅A 2 . Далее, P A 1 = 20 30 . После того, как студент ответил на первый вопрос (событие A 1 ), осталось 29 вопросов, из них 19 известных, т.е. P A 2 / A 1 = 19 29 Аналогично P A 3 / A 1 ⋅A 2 = 10 28 Поэтому P B= 20 30 ⋅ 19 29 ⋅ 10 28 = 95 609 Упражнения 1) Опыт состоит в последовательном бросании двух монет. Рассматриваются события: A — выпадение герба на первой монете; B — выпадение хотя бы одного герба; C — выпадение хотя бы одной цифры; D — выпадение герба на второй монете. 7 Определить, зависимы или независимы пары событий. Ответ: P C = 3 4 ; P C / A= 1 2 — события A и C зависимы; P A= 1 2 ; P A/ D= 1 2 — события A и D независимы; P B= 3 4 ; P B /C = 2 3 — события C и B зависимы; P B= 3 4 ; P B / D=1 — события B и D зависимы. 2) В двух ящиках находятся детали: в первом — десять ( из них три стандартных), во втором — пятнадцать (из них шесть стандартных). Из каждого ящика вынимают по одной детали. Найти вероятность того, что они стандартные. Ответ: P = 3 25. Пример 7. 1. На рисунке 1. изображена электрическая схема, содержащая контакты A , B , C , D , E . Вероятности того, что контакты замкнуты, соответственно равны P A , P B , P C , P D , P E . Определить вероятность того, что цепь замкнута (при решении считать, что контакты действуют независимо друг от друга). рис. 1 Решение Обозначим через A , B ,C , D , E события, эквивалентные замкнутости соответствующих контактов. Замкнутость цепи эквивалентна тому, что ток проходит через части цепи I , II и III , обведенные пунктирной линией. Пусть Q I ,Q II ,Q III — события, эквивалентные прохождению тока через указанные участки. Тогда интересующее нас событие есть S =Q I ⋅Q II ⋅Q III Так как контакты действуют независимо друг от друга, то P S =P Q I ⋅P Q II ⋅P Q III Вероятности P Q I и P Q III можно вычислить следующим способом: тока в параллельной цепи не будет, если нет контакта и в элементе A и в элементе B , т. е. для события Q I , противоположного событию Q I , имеем Q I =A⋅B . Следовательно P Q I =P A⋅P B=1−P A⋅1−P B P Q I =1−P Q I =1−1−P A⋅1−P B . Соответственно, Q III = D⋅E , следовательно P Q III =1−P Q III =1−1−P D⋅1−P E , 8 A B C D E а также P Q II =P C =P C , тогда P =1−1−P A 1−P B ⋅P C ⋅1−1−P D 1−P E . Упражнения. 1) В ящике имеется 15 деталей, среди которых 10 окрашеных. Сборщик наудачу извлекает 3 детали. Найти вероятность того, что извлеченные делали окажутся окрашенными. Ответ: 24 91 2) В группе 12 студентов, среди которых 8 отличников. По списку наудачу отобраны 6 студентов. Найти вероятность того, что среди отобранных 4 отличника. Ответ: 5 11 Тема 3. Формула полной вероятности. Формула Байеса. Формула полной вероятности P A= ∑ i =1 n P H i ⋅P A/ H i получается как следствие теорем сложения и умножения вероятностей. Она позволяет определить вероятность события A , которое может произойти вместе с одним из событий (гипотез) H 1 , H 2 ,... , H n , образующих полную группу несовместных событий. Напомним, что, если события образуют полную группу, то их сумма равна достоверному событию ( одно из них обязательно реализуется) и, следовательно P A 1 A 2 ...A n =1 , а так как они несовместны, то P A 1 P A 2 ...P A n =1 Пример 8. Телеграфное сообщение состоит из сигналов «Точка» и «Тире». Статистические свойства помех таковы, что искажается с среднем 25% сообщений «Точка» и 20% сообщений «Тире». Известно, что среди передаваемых сигналов «Точка» и «Тире» встречаются в соотношении 3:2. Определить вероятность того, что принят сигнал «Точка». Решение Событие A состоит в том, что принят сигнал «Точка». Рассмотрим гипотезы: H 1 - передавался сигнал «Точка»; H 2 - передавался сигнал «Тире». Тогда P H 1 = 3 5 ; P H 2 = 2 5 (так как P 1 : P 2 =3:2 ; P 1 P 2 =1 ) Сигнал «Точка» будет принят, если переданный сигнал «Точка» не исказится, т. е. P A/ H 1 =0.75 , или, если переданный сигнал «Тире» исказится и воспримется как «Точка», т. е. P A/ H 2 =0.2 . Окончательно по формуле полной вероятности имеем P A= 3 5 ⋅0.75 3 5 ⋅0.2=0.53 Формула Байеса P H i / A= P H i ⋅P A/ H i ∑ i =1 n P H i ⋅P A/ H i позволяет найти условные вероятности гипотез, если событие A уже имело место. Пример 9. Имеется три партии изделий. В одной партии все изделия первого сорта, в другой — все изделия второго сорта, в третьей партии поровну изделий первого и второго сорта. Из 9 выбранной наудачу партии взято изделие, оказавшееся первосортным. Найти вероятность того, что это изделие из первой партии, где все изделия первого сорта. Решение. Событие A состоит в том, что из некоторой партии взято первосортное изделие. Рассмотрим гипотезы: H 1 - изделие взято из первой партии, где все изделия первого сорта; H 2 - изделие из партии, где все изделия второго сорта; H 3 - изделие из партии, где есть изделия двух сортов. Обратите внимание, что гипотезы описывают только, откуда взято изделие, но не говорят о его качестве (качество входит в событие A ). Так как партия выбиралась наудачу, то до того, как событие произошло, вероятности всех гипотез одинаковы: P H 1 =P H 2 =P H 3 , а так как P H 1 P H 2 P H 3 =1 , то P H i = 1 3 ; i=1,2,3 . Посмотрим, как изменятся эти вероятности после того, как стало известно, что взятое изделие оказалось изделием первого сорта. Не применяя формулу Байеса, легко догадаться, что в этом случае P H 2 / A=0 , так как во второй партии нет изделий первого сорта. Найдем P H 1 / A по формуле Байеса: P H 1 / A= P H 1 ⋅P A/ H 1 P A P A/ H 1 =1 - вероятность того, что взято первосортное изделие если оно берется из первой партии. Аналогичные рассуждения дают P A/ H 2 =0 ; P A/ H 3=0.5 . Окончательно получим P A= ∑ i =1 3 P H i ⋅P A/ H i = 1 3⋅ 1 1 3⋅ 0 1 3⋅ 1 2 = 1 2 ; P H 1 / A= 1 3 ⋅1 1 2 = 2 3 Найдите самостоятельно P H 3 / A Пример 10. В условиях примера 8 этой темы определить вероятность того, что принят передаваемый сигнал, если принят сигнал «Точка» Решение Событие A , состоящее в том, что принят сигнал «Точка» произошло. Нам надо найти вероятность того, что при этом был передан этот же сигнал, т. е. сигнал «Точка», и, значит, имела место первая гипотеза: P H 1 / A= 3 5 ⋅0.75 0.53 = 45 53 ≃ 0.85 (см. решение примера 1). Упражнения 1) Ответьте на вопрос примера 10, если был принят сигнал «Тире». Ответ: 0.68 2) Имеются две урны. В первой урне два белых и три черных шара, во второй — три белых и пять черных шаров. Из первой и второй урн наугад берут по одному шару и кладут их в третью урну. Шары в третьей урне перемешивают и берут из неё наудачу один шар. Найти вероятность того, что этот шар белый. Ответ: P = 31 80 3) Цель находится или в пункте A с вероятностью 0.7 или в пункте B с вероятностью 0.3 . Сделано 3 выстрела по пункту A и 2 выстрела по пункту B. Вероятность поражения цели при 10 одном выстреле равна 0.1 . Какова вероятность, что цель поражена? Ответ: P=1−0.9 3 ⋅0.71−0.9 2 ⋅0.3=0.328 Тема 4. Повторные испытания. Схема Бернулли и формула Бернулли (для вероятности m успехов в n опытах: P n , k =C k n ⋅p k ⋅q n −k ) Интегральная теорема Лапласа. Формула Пуассона. Поясним, что испытания Бернулли — это многократное повторение одного и того же опыта при неизменных условиях, при том дополнительном требовании, что результаты отдельых опытов независимы. В каждом опыте возможны 2 исхода, условно называемые успехом и неудачей. Пусть в одном испытании вероятность успеха равна p , 0 q=1-p. Формула Бернулли дает выражение для вероятности k успехов в серии из n испытаний: P n ,k =C k n ⋅p k ⋅q n −k , где C k n = n ! k !⋅n−k ! Вероятность не более k успехов определяется суммой ∑ j =0 k P n , j ; вероятность не менее k успехов — суммой ∑ j =k n P n , j ; вероятность того, что в серии из n испытаний количество успехов не менее k , но не более m , равна ∑ j =k m P n ,i Пример 11. Какова вероятность при 6-кратном бросании игральной кости получить: |