Пособие для первого курса Колоколов 2014. Методические указания к решению задач для студентов iго курса дневного отделения Москва 2014 удк колоколов А. А
 Скачать 1.77 Mb.
|
|
Задача №5 Частица совершает гармонические колебания около положения равновесия х=0 с циклической частотой ω=4 рад/с так, что в начальный момент времени t=0 её координата x0=0,25м, а скорость V0=1м/с. Найдите смещение частицы x(t) как функцию времени t. Решение 1. Общее выражение, описывающее гармонические незатухающие колебания, имеет вид:
где А, ω и φ0 - постоянные величины. Согласно условиям задачи известны циклическая частота
и состояние частицы в момент времени t=0:
2. Из (2.5.3) и (2.5.4) получаем, что амплитуда колебаний
и начальная фаза
3. C учётом (2.5.5) и (2.5.6) выражение (2.5.1) принимает вид
где время t измеряется в секундах. Ответ:  м, где время t измеряется в секундах.Задача №6 Рассмотреть движение тела массой m=1 кг в колебательных системах 1 и 2, показанных на рис.6.2. Коэффициенты жёсткости пружины  и  . Массами пружин и трением можно пренебречь. Определите периоды T1 и T2 гармонических колебаний тела в этих системах. Система 1 Система 2 Рис.6.2 Решение Для расчёта механической колебательной системы необходимо: 1) найти положение равновесия системы, 2) проанализировать его устойчивость, записав выражение для силы, возникающей при малом смещении тела из положения равновесия и 3) получить уравнение движения тела в малой окрестности устойчивого положения равновесия, записав его в стандартной форме уравнения движения гармонического осциллятора. Определим все силы, действующие на тело согласно условиям задачи: сила тяжести  , сила реакции опоры  , силы упругости деформированных пружин  и  . В нашем случае достаточно рассмотреть только горизонтальное движение тела, поскольку вертикально направленные силы взаимно скомпенсированы.Очевидно, что в обеих системах имеются положения равновесия, причем будем считать, что для системы 1 в положении равновесия обе пружины не деформированы. Для каждой системы введём ось х, вдоль которой происходит движение тела, и направим её слева направо. При этом примем, что положение равновесия находится в точке х=0. Система 1 1. Определим устойчивость положения равновесия. При смещении тела относительно равновесия пружины деформируется таким образом, что возникающие силы упругости обеих пружин направлены в одну сторону – к положению равновесия тела. Следовательно, формируется возвращающая сила и положение равновесия устойчивое. 2. Если смещение тела относительно положения равновесия х, полная сила упругости, действующая на тело,
Здесь учитывается то обстоятельство, что смещения тела и прикреплённых к нему концов пружины одинаковые. 3. Согласно II - ому закону Ньютона уравнение движения тела имеет вид:
или
где
- циклическая частота и
- период гармонических колебаний тела в системе 1. Система 2 1. Определим устойчивость положения равновесия. При смещении тела относительно положения равновесия пружины деформируются таким образом, что возникающие силы упругости обеих пружин направлены в одну сторону – к положению равновесия тела. Следовательно, формируется возвращающая сила и положение равновесия устойчивое. 2. Смещение х тела относительно положения равновесия равно сумме смещений правых концов обеих пружин
при этом на тело действует сила упругости только пружины 2
3. Согласно II – ому закону Ньютона уравнение движения тела запишется в виде
4. Поскольку пружины считаются невесомыми, то согласно III – ему закону Ньютона для сил упругости пружин выполняется равенство
и
Тогда из (2.6.6) и (2.6.10) следует, что
5. С учётом (2.6.11) уравнение движения тела (2.6.8) запишется следующим образом:
или
где
- циклическая частота и
- период гармонических колебаний тела в системе 2. Согласно полученным результатам эквивалентная жёсткость k пружин в системе 1 определяется формулой
а в системе 2 – формулой
Ответ:  с,  с.3. Динамика вращательного движения твердого тела. Закон сохранения момента импульса Для описания вращения тела вокруг неподвижной оси используются следующие физические величины: 1. Момент инерции тела Iотносительно заданной оси, характеризующий инертность тела в отношении вращательного движения. 2. Момент импульса тела L=I относительно заданной оси, являющийся количественной мерой вращательного движения тела, ω– угловая скорость вращения тела вокруг оси. 3. Момент силы М относительно заданной оси, который действует на тело и определяет скорость изменения во времени его момента импульса относительно оси вращения
Если при вращении момент инерции тела остается постоянным, то уравнение вращательного движения преобразуется к виду:
где  – угловое ускорение тела.При описании вращательного движения твердого тела вокруг неподвижной точки используется момент импульса относительно точки, который определяется с помощью векторного произведения
где  – радиус-вектор, проведенный из выбранной точки в ту точку, где находится начало вектора импульса  (в точку нахождения частицы).Аналогично можно определить вектор момента  силы  относительно заданной точки
Момент импульса  или силы относительно точки О обозначается как  или  (рис. 3.01). Рис. 3.01 Точка О – начало координат,  – радиус-вектор точки O´, где находится начало вектора  и точка приложения силы .Рассмотрим проекцию вектора на ось z, проходящую через точку О. Из выражения (3.0.4) получим:
Величина Mzназывается моментом силы относительно заданной оси z. Важно отметить, что Mz не зависит от координаты z точки приложения силы и определяется только той компонентой силы, которая лежит в плоскости, перпендикулярной оси z. Эта компонента обозначается  . Соответственно,  обозначает компоненту силы, параллельную оси z(рис. 3.02). Таким образом, полная сила
Момент силы относительно оси zможно записать следующим образом:
Длина отрезка  , перпендикулярного к его компоненте силы  , называется плечом силы , – угол между радиусом-вектором и компонентой силы . Отрезки прямых d, r и  лежат в плоскости проходящей через точку O´ приложении силы перпендикулярно оси z. Выбор знака в формуле (3.0.7) зависит от ориентации вектора относительно оси z. |
,
м ,
м/с2 .
м
.
.
,
,
.
.
.
.
,
,
.
.
,
,
.
.
.
.