Пособие для первого курса Колоколов 2014. Методические указания к решению задач для студентов iго курса дневного отделения Москва 2014 удк колоколов А. А
Скачать 1.77 Mb.
|
Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Московский государственный технологический университет «Станкин» Кафедра «Физика» А.А. Колоколов «Механика и молекулярная физика» Методические указания к решению задач для студентов I-го курса дневного отделения Москва 2014 УДК Колоколов А.А. А.А.Колоколов. – М.: ГОУ ВПО МГТУ «СТАНКИН», 2014. – __с. Методические указания предназначены для студентов первого курса… УДК © Колоколов А.А. © ГОУ ВПО МГТУ «Станкин», 2014 1. Динамика материальной точки В классической нерелятивистской механике, где скорость движения тел считается много меньше скорости света в вакууме , основным законом динамики является II-ой закон Ньютона. Согласно этому закону в инерциальной системе отсчета первая производная импульса тела по времени равна полной силе , действующей на это тело,
Здесь , m – инертная масса тела, - мгновенная скорость тела, - радиус-вектор тела, определяющий его положение в выбранной инерциальной системе отсчета. При определении мгновенной скорости тело рассматривается как материальная точка, т.е. линейные размеры тела считаются малыми по сравнению с характерными расстояниями решаемой задачи и не учитывается вращательное движение тела. Если масса тела m при движении сохраняется постоянной, уравнение (1.0.1) упрощается и принимает вид
где - мгновенное ускорение тела. Это обыкновенное дифференциальное уравнение второго порядка по времени. Для однозначного определения решения уравнения (1.0.2), т.е. нахождения функции , необходимо в некоторый момент времени задать два начальных условия:
В этом случае при заданной силе все последующие состояния тела , для находятся однозначно. Определение движения тела по заданным начальным условиям и известной силе называется прямой задачей динамики. В обратной задаче требуется найти силу, которая обеспечивает необходимые характеристики движения тела (это задача управления движением тела). Задача № 1 Два тела с массами m1 и m2 связаны между собой нерастяжимой и невесомой (m=0) нитью, перекинутой через невесомый блок (рис.1.1). Коэффициент трения скольжения между телом 1 и горизонтальной поверхностью μ=0,2. Ускорение свободного падения g=9,8м/с2. Блок считается невесомым. Трением в блоке можно пренебречь. Определить ускорения тел a1 и a2, если в начальный момент времени t=0 они были неподвижны. Рассмотреть два случая: 1)m1=10кг, m2=5кг; 2) m1=10кг, m2=1кг. Рис.1.1 Решение Это прямая задача динамики, где по заданным действующим силам необходимо рассчитать движение тел в системе с кинематическими связями. Решение задачи выполняется с помощью следующего алгоритма. 1. Укажем все силы, которые согласно условиям задачи действуют на тела системы с отличной от нуля массой (движение невесомых тел определяется связями): силы тяжести и , силы натяжения и , сила реакции опоры , сила трения . 2. Согласно II-ому закону Ньютона запишем в векторной форме уравнения движения тел 1 и 2:
3. Поскольку тела движутся вдоль прямых, то удобно перейти от векторных уравнений к одномерным скалярным уравнениям, используя проекции уравнений (1.1.1)-(1.1.2) на направления соответствующих движений:
В полученные 3 уравнения входят 6 неизвестных величин: a1, a2, T1, T2, N и Fтр. Для однозначного нахождения всех 6 неизвестных систему уравнений (1.1.3)-(1.1.5) необходимо дополнить еще тремя независимыми уравнениями. 4. Для получения дополнительных уравнений воспользуемся условиями задачи и законами физики. Поскольку нить нерастяжима, то величины ускорений должны быть одинаковыми:
Нить и блок считаются невесомыми, трение в блоке не учитывается, поэтому величины сил натяжения равны друг другу во всех точках нити:
Сила трения имеет различную физическую природу и величину в зависимости от того, движется тело 1 относительно поверхности или нет:
Здесь Fтр.п. – сила трения покоя и Fтр.ск. – сила трения скольжения. В зависимости от условий задачи возможны два решения. I. Допустим, что действующие силы обеспечивают движение тел и
В этом случае полная система уравнений принимает вид:
Решая эту систему равнений, получим:
Данное решение справедливо, если a>0 или m2>μm1. Физический смысл последнего условия заключается в том, что сила тяжести m2g, действующая на тело 2, должна превышать максимальное значение силы трения покоя =Fтр.ск.=μN=μm1g, действующей на тело 2 и препятствующей движению. II. Если m2<μm1, тела остаются в состоянии покоя и
Соответствующая полная система уравнений принимает вид ():
Решение этой системы дает:
Для m1=10кг, m2=5кг и μ=0,2 справедливо условие m2>μm1, поэтому тела движутся с ускорением
При m1=10кг, m2=1кг и μ=0,2 выполняется условие m2<μm1, сила трения покоя Fтр.п.=m2g и тела остаются в состоянии покоя, когда
Ответ: 1) ; 2) . Задача №2 На краю горизонтального диска радиусом R=0,1м неподвижно лежит маленькая шайба (рис.2.1). В момент времени t=0 диск начинает вращаться вокруг вертикальной оси, проходящей через его центр, с угловым ускорением ε=1рад/с2. Через какое время t1 шайба соскользнет с диска, если коэффициент скольжения между шайбой и поверхностью диска μ=0,2? Рис.2.1 Угловая скорость ω и угловое ускорение ε определяются следующим образом
где φ - угол поворота диска вокруг вертикальной оси. Шайба совершает ускоренное движение по окружности, где её ускорение удобно представить в виде векторной суммы.
Здесь – тангенциальное ускорение, направленное по касательной к окружности
где - единичный вектор касательной к окружности, направленный по вектору линейной скорости . Это ускорение определяет скорость изменения величины линейной скорости . Ускорение – нормальное ускорение, перпендикулярное к касательной окружности в точке нахождения шайбы и направленное к центру окружности
Единичный вектор нормали перпендикулярен к вектору и направлен к центру окружности. Нормальное ускорение определяет скорость изменения направления вектора . Решение Это пример обратной задачи динамики, где по заданному ускорению тела требуется найти необходимую силу. 1. Определим все силы, которые действуют на шайбу согласно условиям задачи: сила тяжести , сила реакции опоры и сила трения покоя (шайба считается неподвижной относительно поверхности диска). 2. Запишем в векторной форме уравнение движения шайбы в лабораторной системе отсчета:
Поскольку ускорение шайбы в вертикальном направлении равно нулю, то
и уравнение (1.2.5) упрощается:
Используя разложение полного ускорения шайбы на тангенциальное и нормальное ускорения, запишем уравнение (1.2.7) в виде:
где . 3. Перейдем от векторной формы записи уравнения (1.2.8) к скалярной, используя проекции на направления ускорений и ,
4. Определим зависимость величины полного ускорения шайбы
от времени. Согласно определению
Здесь использована известная формула для линейной скорости материальной точки, движущейся по окружности, . Нормальное ускорение определяется выражением
в которое входит неизвестная угловая скорость ω(t). Для нахождения ω(t) используем определение углового ускорения
Разделим в этом дифференциальном уравнении относительно угловой скорости переменные ω и
и проинтегрируем левую часть по времени от t=0 до текущего момента времени t, а правую часть по угловой скорости от начального значения 0 до текущего значения ω(t)
Выполняя интегрирование
и подставляя (1.2.16) в (1.2.10), найдем, что
Из (1.2.10), (1.2.11) и (1.2.17) следует, что величина полного ускорения
монотонно растет со временем. 5. В соответствии с ростом величины ускорения должна расти сила трения покоя, обеспечивающая это ускорение,
Однако величина силы трения покоя ограничена сверху величиной силы трения скольжения Fтр.ск.=μN=μmg :
поэтому условие движения шайбы вместе с диском принимает вид
Отсюда находим, что в момент времени t1, когда
шайба слетит с диска. Таким образом,
Отметим, что при μg<Rε шайба слетит с диска сразу после начала вращения. Ответ: t1=4,5с. |