Методические указания к выполнению контрольной работы по дисциплине Начертательная геометрия для студентов заочной формы обучения всех специальностей

• Название: Методические указания к выполнению контрольной работы по дисциплине Начертательная геометрия для студентов заочной формы обучения всех специальностей
• Дата: 01.04.2022
• Размер: 1.16 Mb.
• Имя файла: 6809.doc
• Тип: Методические указания; #434321
• страница: 2 из 4

Тема 6. Взаимное пересечение поверхностей вращения
Линия пересечения двух поверхностей является множеством точек, общих для данных поверхностей. Для определения этих точек часто пользуются вспомогательными секущими плоскостями. Плоскости-посредники пересекают данные поверхности по линиям, которые, в свою очередь, пересекаются в точках линии пересечения данных поверхностей.

Секущие плоскости-посредники выбирают так, чтобы они, пересекаясь с данными поверхностями, давали простые для построения линии, например прямые или окружности.

При построении линии пересечения применяют два основных способа – способ секущих плоскостей и способ сфер.

Секущими плоскостями часто выбирают плоскости уровня – плоскости, параллельные плоскостям проекций.

Линия пересечения двух поверхностей имеет опорные точки, с которых следует начинать построение этой линии. Они позволяют увидеть, в каких границах можно изменять положения вспомогательных секущих плоскостей для определения остальных точек. К таким точкам относятся экстремальные точки: верхняя и нижняя точки относительно той или иной плоскости проекций; точки, расположенные на очерковых образующих некоторых поверхностей, точки видимости, имеющие проекции на линии очертания и т.д.

Использование метода секущих плоскостей показано на примере пересечения сферы и конуса, оси вращения которых расположены параллельно.

Дано.

Ф - конус;

Ф' - сфера;



Решение.

На рис. 9 даны две проекции поверхностей вращения, оси которых параллельны между собой и перпендикулярны к плоскости . В качестве плоскостей посредников можно выбрать горизонтальные плоскости. Плоскости-посредники пересекают конус и сферу по параллелям. При построении линии пересечения отметить опорные и характерные точки. Опорные точки – точки пересечения главных меридианов (1, 4), фронтальные проекции этих точек – 1₂ и 4₂, по линиям связи найти их горизонтальные проекции.

Чтобы определить точки границы видимости для П₁, провести секущую плоскость α через экватор сферы.

Конус при этом пересекается по параллели Р: Ф∩α=Р.

Сфера пересекается по экватору: Ф'∩α= Р'. Р1'∩Р1 =31∩31'.

При пересечение горизонтальной проекции параллели и экватора получаются горизонтальные проекции искомых точек 3₁ и 4₁, по линиям связи определить их фронтальные проекции.

Аналогично определить вспомогательные точки 2 и 2',

Проведя горизонтальную плоскость β:



Р1'∩Р1 = 2 и 2'. По линиям связи построить фронтальные проекции этих точек. Количество точек линии пересечения определяется требуемой точностью графических построений. Проекции линии пересечения строятся как обводы проекций ее точек.

Задача на построение линии пересечения двух поверхностей упрощается, в том случае, когда одна из поверхностей является проецирующей, то есть прямолинейные образующие этой поверхности (цилиндра, призмы) перпендикулярны какой-либо плоскости проекций. Проекция линии пересечения на эту плоскость, определяется на эпюре без дополнительных построений. Пусть конус вращения с вертикальной осью пересекается фронтально проецирующим цилиндром, рис. 10. Фронтальная проекция линии пересечения известна, она совпадет с фронтальной проекцией цилиндра. Отметить опорные, характерные и вспомогательные точки. Фронтальные проекции опорных точек 1 и 2 находятся по линиям связи без дополнительных построений. Точки 3 и 3` являются точками границы видимости линии пересечения. Точки 4 и 4` найдем с помощью параллели, проведенной через фронтальные проекции этих точек. Найденные горизонтальные проекции точек соединить плавной кривой с указанием видимости.



Рис. 9


Рис. 10

Задача.

Построить линию пересечения полусферы и призмы, рис.11.

Дано.

`- полусфера;

``- призма;

.

Решение.

`` расположена перпендикулярно к плоскости , поэтому известна, она совпадает с горизонтальной проекцией : (Φ₁''≡n₁). Отмечаем горизонтальные проекции опорных точек ,2₁, 3₁, точек границы видимости , , характерных точек и , которые определяются как кротчайшее расстояние до граней призмы.

Фронтальные проекции точек 1, 2, 3, 4, 5 определить по линиям связи. Для того чтобы построить фронтальные проекции остальных точек, провести через них горизонтальные проекции меридианов, найти фронтальные проекции меридианов затем по линиям связи построить проекции искомых точек, соединив которые можно получить фронтальную проекцию линии пересечения.




Рис. 11
Контрольная работа №1
Задача 1. Лист 1. Построить линию пересечения треугольников АВС и ЕDК, показать видимость их в проекциях. Определить натуральную величину треугольника АВС.

Указание к решению задачи 1.

В левой половине листа формата А3 построить две проекции треугольников по заданным координатам их вершин. Координаты точек А, В, С, D, Е, К берутся из табл. П 1.

Для построения проекций точек по их координатам необходимо провести ось Х₁₂, зафиксировать на ней точку О – начало координат и отложить координаты, оси У и Z на чертеже можно не проводить. Пример построения проекции А₁ и А₂, В₁ и В₂ точек А (х=8, у=2, z=0) и В(х=4, у=5, z=7) показан на рис.12.

Построив проекции заданных точек и соединив одноименные проекции точек А, В, С и точек D, Е, К, будут получены две проекции треугольников.

Линия пересечения треугольников строится по точкам пересечения сторон одного треугольника с плоскостью другого, то есть решается задача на определение точки пересечения прямой общего положения с плоскостью общего положения (тема 1.)



Рис. 12

Алгоритм решения задачи 1

I. Чтобы определить точку пересечения стороны АВ (треугольника АВС) с плоскостью треугольника ЕDК), надо:

1) заключить АВ в горизонтально-проецирующую плоскость α.

АВЄα; А₁В₁≡α₁. т.к. αП₁ ;

2) построить линию пересечения плоскости α с плоскостью ΔКDЕ,

α∩ΔКDЕ=n(n₁, n₂);

n₁≡α₁, т.к. nЄα; αП₁;

α₁∩Е₁D₁=1₁; α₁∩Е₁К₁=2₁.

По линиям связи найти фронтальные проекции 1₂ и 2₂ точек 1 и 2; через фронтальные проекции 1₂ и 2₂ провести фронтальную проекцию n₂ линии пересечения 2 плоскостей.

II. Чтобы определить точку пересечения стороны DК (треугольника ЕКD) с плоскостью треугольника АВС, надо:

1) заключить сторону DК (ΔЕDК) во фронтально проецирующую плоскость β

DКЄβ; D₂К₂≡β₂. т.к. βП₂;

2) построить линию пересечения фронтально-проецирующей плоскости β с плоскостью общего положения (ΔАВС)

β∩ΔАВС=m; (m₁; m₂);

m ₂≡β₂, т.к. m Єβ; βП₂;

β ₂∩А₂В₂=3₂; β ₂∩А₂С₂=4₂.

По линиям связи построить 3₁ и 4₁; через горизонтальные проекции точек 3 и 4 провести горизонтальную проекцию линии пересечения 2 плоскостей m₁;

3) отметить горизонтальную проекцию точки М пересечения DК с плоскостью ΔАВС

m₁∩ D₁К₁=М₁.

По линии связи определить М₂. Соединив M₁ и N₁, получим горизонтальную проекцию линии пересечения треугольников ΔАВС и ΔКДЕ.

М₂N₂ – фронтальная проекция линии пересечения треугольников ΔАВС и ΔКДЕ.

III. Определить видимость сторон треугольников способом конкурирующих точек.

Конкурирующие точки – это точки, лежащие на одном проецирующем луче. Конкурирующие точки принадлежат разным геометрическим фигурам, но лежат на одной проецирующей прямой. Видимой считают проекцию конкурирующей точки, расположенной дальше от плоскости проекций, относительно которой прямая является проецирующей. На чертеже невидимую проекцию точки принято заключать в круглые скобки.

Для того чтобы определить видимость фронтальных проекций треугольников, необходимо отметить фронтальные проекции конкурирующих точек (5 и 6): 5₂≡6₂. Допустим, что 5ЄАВ (ΔАВС), а 6ЄЕК(ΔКЕД), и найти по линиям связи их горизонтальные проекции (5₁;6₁).

По чертежу (прил.4) видно, что 5₁ расположена дальше от фронтальной плоскости проекций, отсюда следует, что 5₂ – видимая, а 6₂ надо заключить в круглые скобки.

Точка 5 принадлежит АВ, значит А₂В₂ будет видна до N₂, а часть стороны ЕК будет невидима, так как находиться под ΔАВС;

2) чтобы определить видимость горизонтальных проекций треугольников, необходимо отметить горизонтальные проекции конкурирующих точек (7 и 8): 7₁≡8₁. Допустим, что 7ЄДЕ (ΔКДЕ); 8ЄАС(ΔАВС), затем построим по линиям связи 7₂ и 8₂.

Точка 7₂ расположена дальше от горизонтальной плоскости проекций, значит 7₁ – видимая, а 8₁ – невидимая точка, ее надо отметить круглыми скобками.

Точка 7 принадлежит стороне ДК , отсюда следует, что Д₁К₁ видимая до точки М₁, то есть эта сторона находиться над АС ΔАВС.

IV определить натуральную величину треугольника АВС.

Натуральную величину ΔАВС можно определить способом плоскопараллельного перемещения, то есть способом преобразования проекционного чертежа (тема 3).

На листе 1 показаны две стадии поворота ΔАВС, расположенного в плоскости общего положения, с целью получения его натуральной величины. Чтобы получить такое положение, надо предварительно повернуть плоскость общего положения ΔАВС так, чтобы эта плоскость оказалась перпендикулярной к плоскости П₂, для этого:

1) построить горизонталь h плоскости ΔАВС, (построение выполнить, начиная с фронтальной проекции, то есть провести h₂ параллельно Х₁₂ через точку C₂): h₂׀׀Х₁₂; СЄh;

h₂∩А₂В₂=9₂; по линии связи найти 9₁.

Через С₁ и 9₁ провести h₁;

2) повернуть ΔАВС до положения, перпендикулярного к плоскости П₂. Для этого на свободном поле чертежа провести прямую h₁'= С₁9₁, перпендикулярно оси Х₁₂ , и с помощью циркуля построить ΔА₁'С₁'В₁', вместе с проекцией N₁M₁ линии пересечения ΔАВС и ΔДКЕ. При этом повороте подразумевается ось вращения, перпендикулярная к плоскости П₁; поэтому горизонтальная проекция треугольника сохраняет вид и величину (Δ А₁'С₁'В₁'= ΔАВС).

При построении на чертеже новых фронтальных проекций вершин треугольника АВС исходят из того, что поворот и перемещение треугольников в новое положение происходит без изменения расстояний его вершин до горизонтальной плоскости проекций. Тогда фронтальные проекции траекторий поворота и перемещений вершин треугольника представляют собой прямые линии, расположенные параллельно оси Х₁₂. На этом основании на чертеже через фронтальные проекции А₂В₂С₂ вершин треугольника проводят прямые линии, параллельные оси проекций. Через горизонтальные проекции А₁'В₁'С₁' вершин проводят линии связи в направлении, перпендикулярном оси проекции Х₁₂. На пересечении указанных прямых получают новую фронтальную проекцию ΔА₂'В₂'С₂'. Теперь фронтальная проекция ΔАВС представляет собой прямую линию, то есть в результате преобразования плоскость ΔАВС из общего положения переведена во фронтально проецирующее положение.

Последующий поворот фронтально проецирующей плоскости в положение, параллельное горизонтальной плоскости проекций, позволяет определить натуральную величину ΔАВС. ΔА'В'С' поворачивают относительно фронтально проецирующей оси, проходящей через вершину В₂' треугольника. При повороте ΔА'В'С' вершины А' и С' описывают окружность в плоскости, параллельной фронтальной плоскости, поэтому на плоскости П₂ эти окружности проецируются без искажения в натуральную величину, горизонтальные проекции представляют собой прямые линии, проходящие через горизонтальные проекции А₁' и С₁' параллельно оси проекции Х₁₂. Строят новые фронтальные проекции А₂'В₂'С₂' вершин треугольника, для этого циркулем проводятся дуги окружности через проекции А₂' и С₂' так, чтобы вершина А₂''В₂''С₂'' находились на одной прямой, параллельной оси Х₁₂.

Затем через фронтальные проекции А₂''В₂''С₂'' провести линии связи в направлении, перпендикулярном оси Х₁₂. на пересечении линий связи с горизонтальными проекциями траекторий вращения точек А и С находятся положения новых горизонтальных проекций А₁'' и С₁''. Соединив горизонтальные проекции А₁''В₁''С₁'' получают новую горизонтальную проекцию ΔАВС.

По признаку принадлежности определяют положение новых горизонтальных проекций точек N₁''M₁'' линии пересечения двух треугольников.

В результате выполнения графических построений плоскость ΔАВС преобразована в горизонтальную плоскость уровня, следовательно А₁''В₁''С₁'' представляет собой натуральную величину треугольника.
Задача 2. Лист 2.

Построить проекции пирамиды, основанием которой является ΔАВС, а ребро SA определяет высоту пирамиды.

Указания к решению задачи 2.

Данные для своего варианта взять из табл. П 2, в левой половине листа формата А3 отметить оси координат и по координатам построить ΔАВС в двух проекциях. Требуется построить проекции вершины S. Точка S находиться на расстоянии h от основания пирамиды АВС.

Затем, изучив тему 2 (перпендикулярные прямые и плоскости), приступить к решению задачи 2.

По условию задачи SA является высотой пирамиды, поэтому из точки А надо восстановить перпендикуляр к ΔАВС. Перпендикуляр к плоскости перпендикулярен к любой прямой, проведенной в этой плоскости. Но чтобы при этом проекция перпендикуляра к плоскости общего положения оказалась перпендикулярной к одноименной проекции к какой-либо прямой этой плоскости, прямая должна быть горизонталью или фронталью.

1) Построение фронтали в плоскости треугольника надо начинать с горизонтальной проекции, то есть надо провести f₁ параллельно оси Х₁₂ через точку С₁: f₁׀׀ Х₁₂; С₁ Є f₁; f₁∩А₁В₁=4₁.

По линии связи находим 4₂. Фронтальную проекцию f₂ провести через точки 4₂ и С₂.

2) В точке А восстановить перпендикуляр к плоскости ΔАВС, т.е. провести прямую ℓ ΔАВС. Из условия перпендикулярности прямой и плоскости известно, что прямая перпендикулярна к плоскости, если фронтальная проекция прямой перпендикулярна фронтальной проекции фронтали и горизонтальная проекция прямой перпендикулярна к горизонтальной проекции горизонтали, поэтому надо построить ℓ ₁h₁ и ℓ ₂f_{2 .}

3) Взять точку, принадлежащую прямой ℓ, например, NЄℓ

4) Определить натуральную величину отрезка АN, которую можно определить вращением вокруг фронтально-проецирующей оси, проходящей через точку А, то есть надо повернуть А₁N₁ вокруг оси J₁ до положения параллельного оси Х₁₂ (А₁N₁׀׀ Х₁₂), отметить новое положение точки N₁', фронтальная проекция N₂ будет перемещаться по прямой, параллельной оси Х₁₂.

По линии связи определить новое положение точки N₂'.

N₂'А₂ – натуральная величина отрезка NА.

5) На натуральной величине надо отложить заданную высоту пирамиды и отметь точку S₂'. Затем провести через точку S₂' прямую, параллельную N₂N₂' до пересечения с l₂ и отметить точку S₂. По линии связи определить точку S₁.

6) Соединить проекции вершин треугольника соответственно с точками S₁ и S₂, и получить две проекции пирамиды. Видимость ребер пирамиды определяется способом конкурирующих точек (7≡8).

Чтобы определить видимость горизонтальных проекций ребер, отметить горизонтальные проекции точек 7₁≡8₁, (например, 7ЄАС; 8ЄSB) построить фронтальные проекции этих точек. Та точка, которая расположена выше, будет видимой на горизонтальной проекции (то есть точка 8₂ видимая), а точка 8ЄSB, значит, ребро SВ будет расположено выше ребра АС; ребро АС – невидимое, изображается штриховой линией. Аналогично определяется видимость фронтальных проекций ребер пирамиды.