Методические указания к выполнению контрольной работы по дисциплине Начертательная геометрия для студентов заочной формы обучения всех специальностей
 Скачать 1.16 Mb.
|
|
Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное агентство по образованию Саратовский государственный технический университет НАЧЕРТАТЕЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ Методические указания к выполнению контрольной работы по дисциплине «Начертательная геометрия» для студентов заочной формы обучения всех специальностей Одобрено Редакционно-издательским советом Саратовского государственного Технического университета Саратов 2009 ВВЕДЕНИЕ Контрольные работы по начертательной геометрии представляют собой чертежи (эпюры). Задания на контрольные работы индивидуальные, представлены в вариантах. Студент выполняет тот вариант задания, номер которого соответствует сумме двух последних цифр шифра зачетной книжки. Если, например, учебный шифр студента 748231, то он во всех контрольных работах выполняет четвертый вариант (3+1=4). Контрольные работы представляются на рецензию в сроки, указанные в учебном графике. Чертежи контрольных работ выполняются на листах чертежной бумаги формата А3 (297×420 мм). На расстоянии 5 мм от линии отреза листа проводится рамка поля чертежа, с левой стороны рамка проводится от линии отреза на расстоянии 20 мм. В правом нижнем углу формата вплотную к рамке помещается основная надпись. Размеры ее и текст на ней показаны в приложении 2 настоящего методического указания. Прежде чем выполнить контрольные работы, студент должен разобраться в теоретическом материале, а затем применить его к решению контрольных задач. Титульный лист оформляется по форме (приложение 1). Тема 1. Пересечение прямой общего положения с плоскостью общего положения Положение прямой относительно плоскости определяется способом сечений. На рис.1 а изображена плоскость α(∆АВС) и прямая ℓ общего положения, надо определить точку пересечения прямой и плоскости. Алгоритм решения: 1. Заключить прямую ℓ во вспомогательную проецирующую плоскость . 2. Построить линию пересечения m (12) плоскости с заданной плоскостью α. 3. Определить относительное положение прямой ℓ и плоскости . Здесь возможны три случая: а) ℓ∩α; б) ℓ║ α; в) ℓ є α . 4. Определить видимость прямой ℓ по конкурирующим точкам. На рис. 1 б показано решение этой задачи на эпюре. 1. Прямая ℓ заключена в проецирующую плоскость (в горизонтально-проецирующую ). Горизонтальная проекция 1 совпадает с горизонтальной проекцией ℓ 1 , прямой ℓ; то есть 1≡ ℓ 1, так как П1. 2. Построить линию пересечения горизонтально-проецирующей плоскости с заданной α. Плоскость пересекает плоскость α по прямой m, проекция 11 21 отрезка которой совпадает с горизонтальной проекцией 1. Плоскость задана треугольником АВС, поэтому линия m проводится через точки 1 и 2 пересечения сторон треугольника АВ и АС с плоскостью , горизонтальные проекции этих точек известны: по линии связи определить их фронтальные проекции 12 и 22 и провести через них фронтальную проекцию m2 прямой m. 3. Определить относительное положение прямой ℓ и плоскости α . Прямая ℓ пересекается с плоскостью α в точке К, так как ℓ2 ∩ m2 = К2. Горизонтальную проекцию К1 построить по фронтальной К2 с помощью линии связи К1К2. 4. Видимость прямой ℓ относительно плоскости α определить по конкурирующим точкам. Рассмотреть две конкурирующие точки 2 и М, расположенные на одной горизонтально-проецирующей прямой. Точка М принадлежит прямой ℓ, точка 2 принадлежит стороне АС треугольника, горизонтальные проекции этих точек совпадают: 21=М1. По линиям связи найти фронтальные проекции, то есть 22 и М2 . Точка М расположена выше точки 2, поэтому точка М при виде сверху – видимая, а точка 2 – невидимая, но точка М принадлежит прямой ℓ, следовательно отрезок МК прямой ℓ при виде сверху виден. Видимость на плоскости П2 определить с помощью конкурирующих точек, расположенных на фронтально проецирующей прямой, т.е. рассмотреть две конкурирующие точки N и С. Точка С принадлежит плоскости α (вершина ∆ АВС) , точка N принадлежит прямой ℓ. Фронтальные проекции этих точек совпадают N2=С2 по линиям связи и свойству принадлежности точек построить горизонтальные проекции этих точек, то есть С1= N1 . Точка С расположена ближе к наблюдателю и на виде спереди видимая, а точка N невидимая. Но точка N принадлежит прямой ℓ, следовательно отрезок NK прямой ℓ при виде спереди невидимый и изображается штриховой линией. Тема 2. Перпендикулярность прямой и плоскости В курсе «Начертательная геометрия» доказана теорема: если прямая перпендикулярна плоскости, то горизонтальная проекция этой прямой перпендикулярна горизонтальной проекции горизонтали, а фронтальная проекция ее перпендикулярна фронтальной проекции фронтали. Задача. Определить расстояние от точки S до плоскости общего положения, заданной фронталью и горизонталью. Поставленная задача решена с использованием вышеуказанной теоремы. Дано. α(h∩f) – плоскость общего положения; S (S1; S2). Определить расстояние от S до α.  Решение. 1. Опустить перпендикуляр n из точки S на плоскость α. Используя свойство перпендикулярности прямой к плоскости и свойство проецирования прямого угла, на эпюре провести n1 h1 и n2 f2 через проекции S1 и S2 точки S. 2. Определить точку пересечения К перпендикуляра с плоскостью α, для чего применяя метод сечения, заключить перпендикуляр n в горизонтально-проецирующую плоскость β (n Є β), на эпюре n 1 ≡ β1; βП1. β∩ α=а; β1∩ h1 = 11; β1∩ f 1 = 21; по линии связи определить проекции 12 и 22, соединив которые найти проекцию а2. 3. Отметить точку пересечения построенной линии пересечения а с проведенным перпендикуляром n, то есть а∩n=К, на эпюре n2∩a2=К2, по линии связи построить К1. К – основание перпендикуляра. 4. Определить натуральную величину расстояния от точки S до α способом прямоугольного треугольника. Один катет – проекция S1К1, второй катет (∆z) – разность высот точек S и К, гипотенуза построенного прямоугольного треугольника есть расстояние от S до α, (рис. 2).  Рис. 2 Тема 3. Плоскопараллельное перемещение При вращении геометрической фигуры вокруг оси, перпендикулярной к плоскости П1, горизонтальная проекция фигуры не изменяется ни по форме, ни по размерам. При вращении вокруг оси, перпендикулярной к плоскости П2, ее фронтальная проекция не изменяется ни по форме, ни по размерам. В первом случае, все точки перемещаются в параллельных горизонтальных плоскостях, во втором – в параллельных фронтальных. Не фиксируя оси вращения, одну из проекций геометрической фигуры можно построить в новом удобном месте на чертеже, а затем по линии связи найти вторую проекцию, имея в виду, что точки ее перемещаются по прямым, перпендикулярным к линиям связи. На примере использования способа параллельного перемещения для перевода произвольно расположенной фигуры в частное положение надо определить натуральную величину (АВС) плоскости β, занимающей общее положение, рис 3. Дано. β(АВС) – плоскость общего положения. Построить натуральную величину АВС. Решение. 1. Провести в плоскости горизонталь (h) и повернуть треугольник АВС во фронтально проецирующее положение А´В´С´. Для этого горизонтальную проекцию треугольника надо построить на любом свободном месте чертежа, но так, чтобы h1 заняла положение h1´, перпендикулярное оси Х12. При этом А1´В1´С1´=А1В1С1, фронтальная проекция А2´В2´С2´ изобразится отрезком прямой. 2. Повернуть АВС параллельно плоскости П1. При этом фронтальную проекцию А2´´В2´´С2´´ надо расположить перпендикулярно к линиям связи, то есть А2´´В2´´С2´´||X12, причем А2´´В2´´С2´´=А2´В2´С2´. Горизонтальная проекция А1´´В1´С1´´ есть натуральная величина АВС (рис. 3).  Рис. 3 Тема 4. Взаимное пересечение многогранников Два многогранника могут пересекаться по одной или двум замкнутым ломаным линиям, которые можно определить по точкам пересечения ребер одного многогранника с гранями другого. Это известная задача на определение точки пересечения прямой с плоскостью, то есть задача на определение линии пересечения двух плоскостей. Линия пресечения многогранников может быть определена как линия пересечения граней многогранников. Преимущество отдается тому из способов, который в зависимости от условия задачи дает более простое и наиболее точное решение. Эти два способа построения линии пресечения двух многогранников при решении задач часто комбинируют. Неполное проницание многогранников Если один многогранник частично пересекается с другим, как бы не полностью врезается в другой многогранник, то в этом случае будет одна пространственная ломаная линия их взаимного пересечения. Такое взаимное пересечение многогранников называется неполным проницанием, или врезкой. На рис. 4 показано построение на эпюре линии пересечения неполного проницания прямой призмы с пирамидой. Прямая треугольная призма стоит своим основанием на плоскости проекций П1. Вертикальные ребра ее проецируются на П1 точками; грани боковой поверхности призмы проецируются на плоскость П1 отрезками прямых, то есть эти грани представляют собой отсеки горизонтально- проецирующих плоскостей, поэтому точки пересечения ребер пирамиды с гранями призмы (1, 2, 3, 4) определяются без дополнительных построений. Чтобы определить точки пересечения ребра NN' призмы с гранями пирамиды, надо заключить ребро NN' в горизонтально-проецирующую плоскость γ, проходящую через вершину пирамиды S. Точки пересечения плоскости γ с основанием пирамиды обозначены: E=F (E Є BC; F Є AB). Построить фронтальную проекцию сечения пирамиды (  ) плоскостью γ. Отметим точки пересечения проекции ребра N2N2' с построенной фронтальной проекцией сечения ( ), то есть точки 52 и 62. Так как каждый отрезок искомой ломаной линии пересечения является линией пересечения граней двух различных многогранников, то соединять нужно лишь те точки, которые одновременно принадлежат одним и тем же граням пересекающихся многогранников, (рис.4). Рис. 4 Полное проницание многогранников Если один многогранник полностью пересекается вторым многогранником, получаются две линии их пересечения – линия входа одного многогранника в другой и линия выхода. Такое взаимное пересечение многогранников называют полным проницанием. Полное проницание показано на примере пирамиды и призмы, (рис. 5). Линию пересечения двух многогранников построить по точкам пересечения ребер одного многогранника с гранями другого многогранника. Так, ребро SB пирамиды пересекает две грани призмы: одну в точке 1 и вторую в точке 2. Ребро SA пересекает две грани призмы в точках 5 и 6, ребро SC – в точках 3 и 4. Из четырех боковых ребер призмы только одно (КК') пересекает пирамиду. Чтобы найти точки пересечения этого ребра с гранями пирамиды, надо провести через него и вершину S горизонтально-проецирующую плоскость α. Эта плоскость пересекает пирамиду по прямым линиям, которые пересекаются с ребром призмы в точках 7 и 8, являющимися точками пересечения ребра призмы с гранями пирамиды. Соединив каждые пары точек одних и тех же граней отрезками прямых, можно получить две линии пересечения многогранников, одна из них представляет собой треугольник 145, другая – многоугольник 32768. В проекциях видимы только те из отрезков многоугольников пересечения, которые принадлежат видимым граням многогранников; невидимые отрезки обозначены на рис. 5 штриховыми линиями.  Рис. 5 Тема 5. Поверхности вращения Поверхностью вращения называется поверхность, образованная вращением вокруг некоторой неподвижной прямой. Неподвижная прямая называется осью вращения поверхности, а вращающаяся линия – образующей. Принадлежность точки поверхности вращения определяется при помощи параллели, проходящей через эту точку. Задача. Построить недостающую проекцию точки А, принадлежащей поверхности вращения Ф, если известна еe фронтальная проекция. Дано. Ф (Ф1, Ф2) – поверхность вращения; АЄФ; А2ЄФ2 . А1- ? Решение. Через данную фронтальную проекцию А2 точки А провести фронтальную проекцию Р2 параллели, принадлежащей поверхности Ф, построить ее горизонтальную проекцию. Радиус параллели равен длине отрезка  . По линии связи определить горизонтальную проекцию А1 (рис. 6). Рис. 6 Задача. Построить проекцию точки В, принадлежащей поверхности конуса, если известна горизонтальная проекция В1. Дано. Ф – прямой круговой конус; В Є Ф; В1. В2 - ? Решение. Для нахождения фронтальной проекции В2 точки В (рис. 7), провести через В1 горизонтальную проекцию Р1 параллели, радиусом равным расстоянию от оси до точки В1, то есть  отметить точку  – точку пересечения параллели с главным меридианом. По линии связи найти фронтальную проекцию  Є m2, через точку провести фронтальную проекцию Р2, параллельно оси х12. По линии связи построить фронтальную проекцию точки В, так как точка В находится за плоскостью главного меридиана m, проекция В2 будет невидимой и указывается в скобках. Рис. 7 Задача. Построить фронтальную проекцию точки С, принадлежащей поверхности сферы Ф. Дано. Ф (Ф1,Ф2) – сфера; СЄФ; С1ЄФ; С2 - ? Решение. Для нахождения фронтальной проекции точки С2 (рис. 8), провести горизонтальную проекцию m1 меридиана (m1׀׀Х12), проходящего через С1. Построить фронтальную проекцию m2 меридиана, то есть провести на фронтальной проекции окружность радиусом, равным отрезку  По линии связи определить фронтальную проекцию С2, так как горизонтальная проекция указана в скобках (по условию задачи), то есть невидимая, то фронтальная проекция точки С должна находиться под экватором. Поскольку точка С находится за плоскостью главного меридиана, то ее фронтальную проекцию указываем под экватором в скобках как невидимую. Рис. 8 |