ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАДАНИЕ
1. Явление Гиббса
1.1. Задайте ступенчатую (П-образную) АЧХ фильтра нижних ча- стот.
1.2. Найдите импульсную характеристику фильтра (количество от- счётов 20…30) как последовательность коэффициентов разложения
АЧХ в ряд Фурье.
1.3. Оставляя небольшое количество (5…7) отсчётов ИХ, найдите
КЧХ как преобразование Фурье усечённой ИХ.
1.4. Изменяя количество удерживаемых отсчётов от 5 до 41, про- следите за изменениями количества и уровня гиббсовских осцилляций
АЧХ (используйте кнопку Trace на панели Graph).
2. КИХ-фильтры с применением окон
2.1. Задайте усечённую импульсную характеристику идеального каузального П-образного фильтра нижних частот (количество отсчётов
15…41).
2.2. Задайте окна Бартлетта, Хэмминга, Хэнна, Блэкмана, Кайзера.
25 2.3. Постройте графики АЧХ фильтров, получаемых с помощью оконного взвешивания усечённой ИХ (для всех окон).
2.4. Постройте графики АЧХ фильтров, полученных с применени- ем к усечённой ИХ всех окон, на одном графическом поле в децибелах по оси ординат. Для каждого окна оцените расширение переходной полосы и определите уровень первого бокового лепестка АЧХ.
КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ
1. Что такое явление Гиббса? В чём его причина? В чём смысл применения «окон»?
2. В чём заключается разница между методами синтеза КИХ- и
БИХ-фильтров с точки зрения теории аппроксимации?
3. Можно ли при постановке задачи синтеза фильтра потребовать нулевой ширины переходной полосы?
4. Можно ли реализовать дискретный фильтр со строго линейной
ФЧХ? Каковы особенности разностного уравнения и структурной схе- мы такого фильтра?
5. Зачем нужны цепи с линейной фазовой характеристикой?
6. Всегда ли нужно стремиться к возможно более крутому спаду
АЧХ? Когда крутой спад АЧХ нежелателен?
7. В чем заключается метод построения фильтров на основе ча- стотной выборки?
8. В каких случаях целесообразно применение фильтров на основе частотной выборки?
9. Почему методы аналого-цифровой трансформации применяют для синтеза БИХ- , а не КИХ-фильтров?
26
Лабораторная работа № 7
СИНТЕЗ БИХ-ФИЛЬТРОВ МЕТОДОМ АНАЛОГО-
ЦИФРОВОЙ ТРАНСФОРМАЦИИ
Цель занятия – построение дискретного фильтра с бесконечной импульсной характеристикой методом билинейного преобразования на основе аналогового фильтра-прототипа Баттерворта.
ПРЕДВАРИТЕЛЬНОЕ ЗАДАНИЕ
Изучить вопросы, относящиеся к содержанию работы, по конспек- ту лекций и рекомендованным литературным источникам. Подгото- виться к ответу на контрольные вопросы.
КРАТКИЕ ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ
БИХ-фильтры имеют значительно более низкий порядок по срав- нению с КИХ-фильтрами, имеющими сопоставимые частотно-изби- рательные свойства. Наряду с этим преимуществом им свойственны серьёзные недостатки – нелинейность фазочастотной характеристики и трудность непосредственной аппроксимации желаемой КЧХ реализуе- мой (дробно-рациональной) функцией. Поэтому наиболее часто ис- пользуются косвенные методы синтеза БИХ-фильтров, основанные на построении аналогового фильтра и преобразовании его в дискретный.
В качестве аналогового прототипа чаще всего рассматривают филь- тры нижних частот Баттерворта, Чебышёва и Золотарёва–Кауэра
(эллиптические). Иногда также используют фильтры Бесселя, обла- дающие низкой частотной избирательностью, но имеющие в полосе пропускания приближённо линейную ФЧХ. Каждый из фильтров- прототипов характеризуется определённым расположением на
27 комплексной плоскости полюсов квадрата модуля передаточной функции.
Фильтр Баттерворта определяется выражением
Б
2
c
1
( )
(
)
1
/
B
N
H
p H
p
p j
, где
Б
( )
H
p – передаточная функция, целое N – порядок фильтра, а c
– частота среза, или граничная частота, определяемая по уровню
0.707 амплитудно-частотной характеристики. Особенностью фильтра
Баттерворта является максимальная гладкость АЧХ. Полюсы функции
Б
( )
(
)
B
H
p H
p
располагаются равномерно на окружности радиуса c
с центром в нулевой точке комплексной p-плоскости. Диаграмма по- люсов симметрична относительно вертикальной оси (оси частоты). Для обеспечения устойчивости фильтра к функции
Б
( )
H
p относят полю- сы, лежащие в левой полуплоскости.
При синтезе полосового цифрового фильтра исходными данными являются нижняя нс
и верхняя вс
частоты аналогового сигнала, подлежащего выделению цифровым фильтром, а также частота дис- кретизации
d
. С учётом линейной связи «аналоговой» и «цифровой» частот
d
T
определяются граничные частоты для будущего циф- рового фильтра – нижняя н
и верхняя в
.
Особенность метода билинейного преобразования заключается в том, что естественная взаимосвязь комплексных переменных в описа- нии аналоговых и дискретных цепей
d
pT
z e
1
или ln
d
p
p
T
заме- няется приближённой дробно-рациональной зависимостью
2 2
d
d
pT
z
pT
соответственно
1 1
2 1 1
d
z
p
T
z
. Благодаря этому подстановка в дробно-рациональную передаточную функцию реализуемого аналого- вого фильтра вместо комплексного переменного p его дробно- рациональной аппроксимации даёт дробно-рациональную, а следова-
28 тельно, реализуемую передаточную функцию дискретного фильтра.
Следует, однако, учитывать, что вследствие нелинейности выражения
2 2
d
d
pT
z
pT
при этом происходит нелинейная деформация частотной оси, т. е. «аналоговая» и «цифровая» частоты оказываются связаны выражениями arctg
2 2
d
T
и tg
2 2
d
T
Искажение частотной оси должно быть заранее учтено при расчёте аналогового полосового фильтра путём пересчёта нижней н
и верх- ней в
частот цифрового фильтра в нижнюю нф
и верхнюю вф
частоты полосового аналогового фильтра.
Для того чтобы получить из исходного ФНЧ полосовой фильтр, применяется частотное преобразование вида
2 0
1
s
,
p
B
s
где бук- вой s обозначено комплексное переменное в описании полосового фильтра, а величины B и
0
определяются выражениями вф нф
с
B
и
0
вф нф
. Таким образом, подстановкой в пе- редаточную функцию ФНЧ
Б
( )
H
p получается передаточная функция полосового фильтра
( )
H s
. После замены s на p и подстановки
1 1
2 1 1
d
z
p
T
z
получается передаточная функция цифрового фильтра с заданными граничными частотами.
ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАДАНИЕ
1. Определение параметров аналогового фильтра-прототипа
нижних частот
1.1. Найдите значения полюсов фильтра НЧ Баттерворта третьего по- рядка, исходя из значения c
, табл. 5. Постройте диаграмму полюсов.
1.2. Используя найденные полюсы, определите передаточную функцию фильтра. Постройте графики АЧХ и ФЧХ.
29
Т а б л и ц а 5
Вариант
1 2
3 4
5 6
7 8
9 0 c
1 2 1.5 2.5 3 3.5 2.2 .2 2.6 2.8 нс
1000 1500 2000 2500 1250 2200 3000 3200 3600 3800 вс
1400 2500 3600 7000 4000 3500 5000 5500 7200 6600
2. Преобразование ФНЧ в полосовой аналоговый фильтр
2.1. Используя исходные данные (границы нс
и вс
полосы ча- стот аналогового сигнала, подлежащего фильтрации), определите гра- ничные частоты н
и в
для цифрового полосового фильтра. Шаг дискретизации
d
T выберите самостоятельно.
2.2. Рассчитайте граничные частоты нф
и вф
для аналогового полосового фильтра, который будет использован для преобразования в цифровой полосовой фильтр.
2.3. Определите параметры B и
0
частотного преобразования ис- ходного ФНЧ в полосовой аналоговый фильтр.
2.4. Применив формулу частотного преобразования, определите передаточную функцию аналогового полосового фильтра. Постройте графики АЧХ и ФЧХ.
3. Преобразование аналогового полосового фильтра
в цифровой
3.1. Подставьте в передаточную функцию аналогового полосового фильтра выражение билинейного преобразования. Упростите выраже- ние (рекомендуется воспользоваться символьным процессором
Mathcad).
3.2. Постройте графики АЧХ и ФЧХ полученного цифрового филь- тра.
3.3. Постройте графики АЧХ и ФЧХ цифрового фильтра, приведя ось частоты к масштабу «аналоговой» частоты.
3.4. Проверьте соответствие полученных граничных частот фильтра заданной полосе аналогового сигнала, подлежащего фильтрации.
КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ
1. В чём заключаются достоинства и недостатки БИХ-фильтров пе- ред КИХ-фильтрами?
30 2. Что такое фильтр-прототип?
3. Чем различаются фильтры-прототипы?
4. Какова особенность фильтра Бесселя?
5. Зачем применяют частотные преобразования? Какие это преоб- разования?
6. Зачем применяется билинейное преобразование?
7. Почему при построении цифрового БИХ-фильтра не использует- ся прямая подстановка
1
ln
d
p
p
T
?
8. Чем обусловлено искажение частотной оси при билинейном пре- образовании? Насколько вредно такое искажение?
9. В чём заключается преимущество метода билинейного преобра- зования перед методом инвариантности импульсной характеристики?
31
Лабораторная работа № 8
СПЕКТРАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ
СЛУЧАЙНЫХ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ
Цель занятия – изучение методов моделирования и непараметриче- ского спектрального анализа случайных последовательностей.
ПРЕДВАРИТЕЛЬНОЕ ЗАДАНИЕ
Изучить вопросы, относящиеся к содержанию работы, по конспек- ту лекций и рекомендованным литературным источникам. Подгото- виться к ответу на контрольные вопросы.
КРАТКИЕ ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ
Спектральным анализом принято называть совокупность действий, которые позволяют из наблюдаемой конечной реализации стационар- ного эргодического случайного процесса [ ]
x n
вывести некоторую
оценку
(
)
j
x
R e
его спектральной плотности мощности (СПМ). Воз- можны два принципиально различных подхода к оцениванию СПМ.
С одной стороны, можно ставить задачу найти некоторую функцию частоты, которая в том или ином смысле близка к истинной СПМ.
С другой стороны, в некоторых случаях вид искомой функции изве- стен (априорно задан), а оцениванию подлежат неизвестные парамет-
ры
этой функции. В соответствии со сказанным различают непара-
метрические
и параметрические методы цифрового спектрального анализа. Непараметрические методы, в свою очередь, подразделяются на прямые и косвенные в зависимости от того, оценивается ли непо- средственно СПМ, или оценка находится для автокорреляционной
32 функции (последовательности), а оценка СПМ вычисляется с помо- щью быстрого преобразования Фурье (БПФ) на основании теоремы Винера–Хинчина. В лабораторных условиях для изучения методов спектрального анализа можно использовать моделирование случайных последова- тельностей с желаемыми спектральными характеристиками. Средства вычислительной техники позволяют на основе определённых алго- ритмов генерировать так называемые псевдослучайные последова- тельности чисел, которые, будучи детерминированными, в некотором смысле похожи на случайные. В системе Mathcad имеются встроен- ные функции, которые позволяют генерировать псевдослучайные числа с различными распределениями. В частности, функция rnorm(m, mu, sigma) возвращает вектор-столбец, содержащий m компонент – независимых реализаций псевдослучайной величины, имеющей гауссово распределение с математическим ожиданием mu и среднеквадратическим отклонением (СКО) sigma. Таким образом, задав достаточно большое число m, можно с помощью функции rnorm получить реализацию дискретного белого шума с заданными средним и дисперсией. Для получения окрашенного процесса следует применить к белому шуму соответствующую процедуру фильтрации, которая может быть реализована различными способами. Например, можно процесс на вы- ходе фильтра получить путём решения разностного уравнения либо применить фильтрацию в частотной области методом быстрой свёрт- ки. Для этого следует использовать встроенные функции системы Mathcad cfft(.) и icfft(.). Функция cfft(.) выполняет прямое, а функция icfft(.) – обратное БПФ. Эта пара преобразований унитар- на, т. е. норма вектора сохраняется. Можно также воспользоваться парой преобразований fft(.) и ifft(.) для вещественных сигналов. Эти преобразования учитывают свойство сопряжённой симметрии спектра вещественного сигнала: в результате прямого преобразования вектора размерности m получает- ся вектор спектральных отсчётов размерности m/2+1, соответству- ющий положительной полуоси частот, включая нулевую частоту. Со- ответственно применение обратного преобразования ifft(.) к спектральному вектору размерности m/2+1 даёт m-мерный времен- ной вектор.
33
ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАДАНИЕ
1. Генерирование случайных последовательностей
1.1. Задайте с помощью встроенного датчика случайных чисел и указанных преобразований случайную последовательность длины 1024 отсчёта с гауссовским распределением и некоторыми средним и дис- персией. Отобразите полученную последовательность на графике.
1.2. Сформируйте путём фильтрации в частотной области (фильтр задайте произвольно) узкополосную (коррелированную) последова- тельность; отобразите ее на графике.
1.3. Запишите полученную узкополосную последовательность в файл.
2. Спектральное оценивание периодограммным методом
2.1. Считайте из файла узкополосную случайную последователь- ность длиной 1024, спектральная плотность мощности которой подле- жит оцениванию.
2.2. Найдите периодограмму последовательности (квадрат модуля дискретного преобразования Фурье).
2.3. Разбейте последовательность на два фрагмента длиной 512 от- счётов каждый.
2.4. Найдите среднее арифметическое двух периодограмм.
2.5. Разбейте исходную последовательность на четыре фрагмента длиной 256 отсчётов каждый.
2.6. Найдите сглаженную периодограмму, полученную усреднени- ем периодограмм четырёх фрагментов.
2.7. Отобразите графики периодограммы, полученной по всей по- следовательности, и сглаженных периодограмм друг под другом с учё- том изменения масштаба по оси частот.
3. Спектральное оценивание коррелограммным методом
3.1. Считайте из файла узкополосную случайную последователь- ность длиной 1024, спектральная плотность мощности которой подле- жит оцениванию.
3.2. Найдите коррелограмму последовательности (выборочную ав- токорреляционную последовательность).
3.3. Найдите оценку спектра последовательности как БПФ от АКП.
3.4. Выполните усечение коррелограммы, чтобы избавиться от
«хвостов» с большой дисперсией.
3.5. Найдите оценку спектра последовательности, как БПФ от усе- чённой АКП.
34 3.6. Выполните усечение коррелограммы со взвешиванием окном
Хэмминга, найдите оценку спектра с использованием БПФ. Оцените изменение оценки, вызванное применением окна.
3.7. Отобразите графики оценок спектра друг под другом с учётом изменения масштаба по оси частот.
КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ
1. Что представляет собой исчерпывающее описание произволь- ной случайной последовательности?
2. Что такое стационарная случайная последовательность?
3. Как связаны понятия стационарности в широком и узком смысле?
4. Как связаны автокорреляционная последовательность и спек- тральная плотность мощности стационарной случайной последова- тельности?
5. Как связаны ширина спектра СП и интервал корреляции?
6. Какие процессы называются эргодическими?
7. Какая нормировка ДПФ соответствует унитарному преобразо- ванию?
8. Как найти СПМ случайной последовательности на выходе
ЛИС-цепи, когда на входе стационарная последовательность с извест- ной автокорреляционной последовательностью?
9. Назовите непараметрические и параметрические методы спек- трального оценивания.
10. Зачем применяется сглаживание периодограмм?
11. Зачем применяется усечение коррелограмм?
12. В каких случаях применяют параметрические методы оценива- ния?
35
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Кирьянов Д.В. Mathcad 15/Mathcad Prime 1.0. – СПб.: БХВ-Петербург,
2012. – 432 с.
2. http://www.polybook.ru/mathcad/index.html (Мультимедийный учебник по Mathcad).
3. Макаров Е.Г. Mathcad. Учебный курс. – СПб., Питер, 2009. – 384 с.
4. Васюков В.Н. Общая теория связи. – Новосибирск: Изд-во НГТУ,
2017. – 580 с.
5. Васюков В.Н. Цифровая обработка сигналов и сигнальные процессоры в системах подвижной радиосвязи. – Новосибирск, НГТУ, 2006.
6. Оппенгейм А., Шафер Р. Цифровая обработка сигналов. – М.: Связь,
1979.
36
Приложение 1
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ
УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ
«НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»
Кафедра Теоретические основы радиотехники
ОТЧЁТ
О ЛАБОРАТОРНОЙ РАБОТЕ
ПО ДИСЦИПЛИНЕ ЦОС
Работа № … Тема: ____________________________________________________
Выполнил:
____________ (Фамилия, И.О.)
Группа_________________
Проверил:
_____________ (Фамилия, И.О.)
Отметка о защите:
Новосибирск
2017
37 Приложение 2 Некоторые рекомендации по использованию системы Mathcad 1. Для отображения на одном графическом поле решётчатой функ- ции (последовательности) и функции непрерывного аргумента (анало- гового сигнала) можно задать в поле аргумента через запятую целую переменную (например, n ) и непрерывный аргумент, нормированный к шагу дискретизации (например, / dt T ). 2. Для удобства наблюдения графиков при изменении параметров сигналов или цепей рекомендуется для параметров использовать опе- ратор глобального присваивания (вводится через панель инструмен- тов Evaluation или с помощью горячих клавиш Ctrl+). Выражение глобального присваивания можно расположить в любом месте доку- мента, в том числе рядом с исследуемым графиком. 3. Для измерения значений функций, отображаемых на графиках, следует использовать кнопку Trace на панели Graph. 4. Некоторые функции, используемые в выражениях сумм рядов, целесообразно определить заранее, например, прямоугольный импульс выражением ( ) : Ф( 0.5) Ф( 0.5) r ttt , где Ф( ) – функция Хэвисай- да, а также sinc( ) sin( ) / tt t 5. Если используются массивы с отрицательными индексами, нуж- но задать соответствующее значение встроенной переменной ORIGIN, имеющей по умолчанию значение 0, например, присваиванием ORIGIN:= –30. Можно также это сделать с помощью панели Worksheet Options (вкладка Built-In Variables). Переменная ORIGIN определяет минимально допустимое значение индекса массива. 6. В тех случаях, когда в работе предусмотрено моделирование или вычисление по различным алгоритмам, удобно воспользоваться воз- можностью отключения вычислительных блоков (команда Disable Evaluation в меню Tools или в контекстном меню, вызываемом нажати- ем правой кнопки мыши в пределах вычислительного блока). При этом справа сверху от выражения появляется чёрный прямоугольник. Об- ратное действие выполняется выбором команды Enable Evaluation.
38
ОГЛАВЛЕНИЕ
Введение ................................................................................................................... 3
Лабораторная работа № 1. ДИСКРЕТИЗАЦИЯ И ВОССТАНОВЛЕНИЕ
СИГНАЛОВ ...................................................................................................... 4
Лабораторная работа № 2. ПРОСТРАНСТВО ПОСЛЕДОВАТЕЛЬ-
НОСТЕЙ ........................................................................................................... 8
Лабораторная работа № 3. ВОЗДЕЙСТВИЕ СИГНАЛОВ НА ЛИС-
ЦЕПИ. ЧАСТОТНЫЕ И ФАЗОВЫЕ ИСКАЖЕНИЯ ................................. 12
Лабораторная работа № 4. ПОСТРОЕНИЕ ФИЛЬТРОВ ПУТЁМ
НЕПОСРЕДСТВЕННОГО РАЗМЕЩЕНИЯ НУЛЕЙ И ПОЛЮСОВ ....... 15
Лабораторная работа № 5. ВСЕПРОПУСКАЮЩИЕ И
МИНИМАЛЬНО-ФАЗОВЫЕ ЛИС-ЦЕПИ .................................................. 19
Лабораторная работа № 6. СИНТЕЗ КИХ-ФИЛЬТРОВ ОКОННЫМ
МЕТОДОМ ..................................................................................................... 22
Лабораторная работа № 7. СИНТЕЗ БИХ-ФИЛЬТРОВ МЕТОДОМ
АНАЛОГО-ЦИФРОВОЙ ТРАНСФОРМАЦИИ ......................................... 26
Лабораторная работа № 8. СПЕКТРАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ СЛУЧАЙНЫХ
ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ ....................................................................... 31
Библиографический список .................................................................................. 35
Приложение 1 ......................................................................................................... 36
Приложение 2 ......................................................................................................... 37
39
ЦИФРОВАЯ ОБРАБОТКА СИГНАЛОВ
Методические указания
Редактор И.Л. Кескевич
Выпускающий редактор И.П. Брованова
Корректор И.Е. Семенова
Компьютерная верстка Н.В. Гаврилова
Налоговая льгота – Общероссийский классификатор продукции
Издание соответствует коду 95 3000 ОК 005-93 (ОКП)
Подписано в печать 29.12.2016. Формат 60 × 84 1/16. Бумага офсетная
Тираж 100 экз. Уч.-изд. л. 2,32. Печ. л. 2,5. Изд. № 333. Заказ №
Цена договорная
Отпечатано в типографии
Новосибирского государственного технического университета
630073, г. Новосибирск, пр. К. Маркса, 20
| 
Скачать 0.79 Mb.