ЦОС_ Мет_ ук_ лаб_ раб_ 2016. Методические указания новосибирск 2016
 Скачать 0.79 Mb.
|
|
№ 4642 621.37 Ц 752 ЦИФРОВАЯ ОБРАБОТКА СИГНАЛОВ Методические указания НОВОСИБИРСК 2016 1 Министерство образования и науки Российской Федерации НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ 621.37 № 4642 Ц 752 ЦИФРОВАЯ ОБРАБОТКА СИГНАЛОВ Методические указания к лабораторным работам для студентов факультета РЭФ (направления 11.03.01 – Радиотехника, 11.03.02 – Инфокоммуникационные технологии и системы связи) НОВОСИБИРСК 2016 2 УДК 621.372.083.92(076.5) Ц 752 Методические указания предназначены для проведения лаборатор- ных работ по дисциплинам «Цифровая обработка сигналов», «Приме- нение цифровой обработки сигналов», «Специальные вопросы цифро- вой обработки сигналов» с применением системы компьютерной математики Mathcad. Составил В.Н. Васюков, д-р техн. наук, профессор Рецензент Д.О. Соколова, канд. техн. наук, доцент © Новосибирский государственный технический университет, 2016 3 ВВЕДЕНИЕ Содержанием дисциплины «Цифровая обработка сигналов» явля- ется математическая теория дискретных и цифровых сигналов и цепей. Цель лабораторных занятий заключается в том, чтобы абстрактные математические конструкции воплотились в конкретные знания и навыки. Среда программирования Mathcad как нельзя лучше подходит для начального изучения теории дискретных и цифровых сигналов и цепей, поскольку интуитивно понятный интерфейс позволяет сосредо- точить внимание именно на вопросах теории, не отвлекаясь на про- блемы, связанные с программированием, что неизбежно при примене- нии таких систем, как MATLAB, Mathematica, Maple и т. п. Лабораторные задания должны выполняться строго индивидуаль- но, и допуск к последующим занятиям предполагает непременное вы- полнение всех предыдущих заданий. Необходима также самостоятель- ная подготовка к каждомузанятию с использованием литературы [1–9]. После выполнения лабораторного задания следует предъявить ре- зультат преподавателю для проверки. Защита работы происходит в форме собеседования и предполагает как ясное понимание хода ее вы- полнения, так и знание соответствующих разделов теории. В случае успешной защиты работы до окончания занятия оформлять отчёт не требуется. В противном случае оформляется отчёт и назначается время для защиты. Отчёт оформляется в виде документа формата .doc или .docx и распечатывается на листах формата А4. Форма титульного ли- ста отчёта представлена в Приложении 1. Некоторые практические со- веты по применению системы Mathcad при выполнении лабораторных заданий приведены в Приложении 2. 4 Лабораторная работа № 1 ДИСКРЕТИЗАЦИЯ И ВОССТАНОВЛЕНИЕ СИГНАЛОВ Цель занятия – изучение процессов дискретизации и восстановле- ния (интерполяции) аналоговых сигналов, явления подмены частот и процедуры противоподменной фильтрации. ПРЕДВАРИТЕЛЬНОЕ ЗАДАНИЕ Изучить вопросы, относящиеся к содержанию работы, по конспек- ту лекций и рекомендованным литературным источникам. Подгото- виться к ответу на контрольные вопросы. КРАТКИЕ ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ Теорема отсчётов (Котельникова) утверждает, что аналоговый сиг- нал ( ) a x t с финитным спектром может быть восстановлен по его мгновенным значениям (отсчётам) ( ) a d x nT , , n , измеренным в моменты времени, отстоящие друг от друга на шаг дискретизации d T , определяемый из условия в 1 / (2 ) d T F , где в F – верхняя частота спек- тра сигнала (частота Найквиста). Процесс восстановления описывается рядом Котельникова sin ( ) ( ) ( ) ( ) d d a a d n d d t nT T x t x nT t nT T , 5 который можно понимать как отклик идеального фильтра нижних ча- стот с П-образной амплитудно-частотной характеристикой, тожде- ственно нулевой фазочастотной характеристикой и частотой среза 0.5 1 / (2 ) d d F T на воздействие, имеющее вид d T -периодической по- следовательности -функций, каждая из которых умножена на соот- ветствующий отсчёт [4]. На практике условие финитности спектра никогда не выполняется вследствие конечной длительности реальных сигналов. Результатом является искажение формы сигнала после его дискретизации и после- дующего восстановления (интерполяции). Причина искажения заклю- чается в том, что гармонические составляющие сигнала, имеющие ча- стоты выше 0.5 1 / (2 ) d d F T , оказываются продискретизированными слишком редко, и при интерполяции заменяются низкочастотными колебаниями, частоты которых лежат в полосе в в ( , ) F F . Это явление называется подменой (маскировкой) частот и представляет собой по существу проявление стробоскопического эффекта. Искажения можно ослабить, если перед дискретизацией принудительно ограничить ши- рину спектра сигнала противоподменным фильтром 1 нижних частот с граничной частотой 0.5 1/ (2 ) d d F T ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАДАНИЕ 1. Дискретизация и восстановление полигармонического сигнала 1.1. Задайте сигнальную функцию в виде суммы трёх гармониче- ских слагаемых с частотами 1 2 3 , , f f f , амплитудами 1 2 3 , , A A A и начальными фазами . (Параметры здесь и далее определя- ются вариантом, табл. 1.) 1.2. Сформируйте последовательность отсчётов сигнала, взятых с интервалом d T , удовлетворяющим требованиям теоремы отсчётов. 1.3. Отобразите на одном графике сигнал и последовательность его отсчётов. Для отображения сигнальной функции целесообразно задать пунктирный тип линии. 1 В англоязычной литературе подмена частот называется aliasing, а проти- воподменный фильтр – antialiasing filter. 6 Т а б л и ц а 1 Вариант 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 A 3 2 1 1.5 2.5 3.1 2.8 3.3 1.7 2.4 2 A 2 3 2.3 3.5 1 2.3 2.7 1.1 2.2 3.1 3 A 2.1 1.5 3 2.2 3.5 1.3 1.5 2 3 1 1 f 2 3.8 2.3 3 2.4 5.3 3.4 5.6 2.5 5.3 2 f 3.5 2.7 3.5 2.6 4.1 2.7 2.6 3.4 4.7 4.2 3 f 5.2 4.9 5.5 4.7 5.7 3.2 4.8 2.7 3.3 2.7 / 2 / 4 / 3 / 6 / 2 / 3 / 3 / 2 / 3 2 / 3 / 6 / 2 / 6 / 2 / 6 / 6 / 2 / 6 / 6 3 / 6 / 2 / 6 / 2 / 3 / 3 / 2 / 6 / 3 / 2 A 2.5 5 4 3.5 4.5 3 4.6 6 5.5 4.5 п T 3 2.5 3.5 2.2 3.3 4.4 5 5.5 6 5.2 q 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 2.0 2.1 2.2 2.3 2.4 1.4. Сформируйте сигнал в виде суммы ряда Котельникова, исполь- зуя выбранное значение шага дискретизации d T и полученные ранее отсчёты сигнала. Отобразите на одном графическом поле исходный и восстановленный сигналы. 1.5. Измените частоту одной из составляющих сигнала так, чтобы нарушились условия теоремы отсчётов. Оцените визуально изменение формы восстановленного сигнала. 1.6. Оставьте в составе сигнальной функции только одно гармони- ческое слагаемое частоты k f , {1, 2, 3} k . Изменяя частоту k f , наблюдайте изменение формы восстановленного сигнала. Постройте график зависимости частоты ˆ k f восстановленного колебания от часто- ты k f исходного сигнала. 2. Дискретизация и восстановление последовательности прямоугольных импульсов 2.1. Задайте сигнальную функцию ( ) a x t в виде периодической по- следовательности прямоугольных импульсов амплитуды A с перио- дом п T и скважностью q . Определите спектр сигнала и отобразите его на графике. Определите эффективную ширину спектра эф f как поло- су частот, содержащую 90 % мощности сигнала. 7 2.2. Сформируйте последовательность отсчётов сигнала, взятых с интервалом d T , удовлетворяющим требованиям теоремы отсчётов, исходя из эффективной ширины спектра. 2.3. Отобразите на одном графике сигнал ( ) x t и последователь- ность его отсчётов [ ] x n 2.4. Сформируйте восстановленный сигнал ˆ( ) x t в виде суммы ряда Котельникова, используя выбранное значение d T шага дискре- тизации и полученную ранее последовательность [ ] x n отсчётов сиг- нала. Отобразите на одном графическом поле исходный ( ) x t и вос- становленный ˆ( ) x t сигналы. Рассчитайте среднеквадратическую ошибку восстановления п 2 2 п 0 1 ˆ ( ) ( ) T x t x t dt T 2.5. Примените к исходному сигналу противоподменную фильтра- цию, исключив составляющие с частотами выше половины частоты дискретизации. Продискретизируйте полученный сигнал и интерполи- руйте его, как в предыдущем пункте задания. Рассчитайте среднеквад- ратическую ошибку восстановления. КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ 1. При каких условиях возможно точное восстановление аналого- вого сигнала по последовательности его отсчётов? 2. Как выбирается шаг дискретизации согласно теореме отсчётов? 3. В чём заключается явление подмены частот? 4. Почему противоподменная фильтрация приводит к уменьшению среднеквадратической ошибки восстановления? Как определить наименьшее значение этой ошибки? 5. Как на практике можно реализовать восстановление аналогового сигнала по отсчётам? 6. Что не позволяет точно восстановить аналоговый сигнал по по- следовательности его отсчётов? 7. Можно ли реализовать идеальный интерполирующий фильтр? 8. Для чего на практике частоту дискретизации выбирают значи- тельно выше удвоенной частоты Найквиста? 8 Лабораторная работа № 2 ПРОСТРАНСТВО ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ Цель занятия – практическое изучение операций над последова- тельностями (дискретными сигналами). ПРЕДВАРИТЕЛЬНОЕ ЗАДАНИЕ Изучить вопросы, относящиеся к содержанию работы, по конспек- ту лекций и рекомендованным литературным источникам. Подгото- виться к ответу на контрольные вопросы. КРАТКИЕ ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ Представление о множестве сигналов как о векторном простран- стве основано на том, что над сигналами, как и над векторами, можно производить определённые операции. Так, векторы можно складывать и умножать на скалярные коэффициенты, и то же можно делать с сиг- налами. Таким образом, определена линейная комбинация совокупно- сти сигналов (векторов). Совокупность линейно независима, если ни- какой сигнал нельзя представить линейной комбинацией остальных. Линейно независимая совокупность называется (полным) базисом про- странства, если любой вектор из данного пространства можно предста- вить (единственным образом) в виде линейной комбинации базисных векторов. Говорят также, что это пространство является линейной обо- лочкой данного базиса (натянуто на данный базис) [5]. Важной операцией является скалярное умножение пары векторов, результат которого – число. Используя скалярное произведение, мож- но ввести полезные числовые показатели, характеризующие сигналы и их взаимное расположение, например, угол между векторами (сигна- 9 лами). В частности, сигналы ортогональны, если их скалярное произ- ведение равно нулю. Кроме того, можно определить норму вектора как квадратный корень из скалярного произведения вектора с самим со- бой. Можно также ввести метрику (расстояние) как норму разности между двумя векторами. В качестве базиса наиболее удобно выбрать ортонормальный базис, все векторы которого попарно ортогональны и имеют нормы, равные 1. Ортонормальный базис можно построить на основе любой линейно независимой системы функций посредством процедуры Грама–Шмидта [5]. Линейное пространство как алгебраическая структура может слу- жить моделью для различных множеств, в том числе множества анало- говых сигналов (функций непрерывного времени) и множества после- довательностей (функций дискретного времени). Пространства последовательностей принято обозначать буквой l с соответствующим индексом. Чаще других используются пространство 2 l квадратично суммируемых последовательностей и пространство 1 l абсолютно сум- мируемых последовательностей. Одна из особенностей дискретных сигналов заключается в перио- дичности частоты в их спектральном описании. Именно круговая ча- стота определена по модулю . Это означает, что прибавление к кру- говой частоте как аргументу спектральной плотности величины k при любом целом k не влияет на вид последовательности. Другая осо- бенность состоит в том, что гармонические последовательности sin( ) n , cos( ) n и exp( ) j n могут быть непериодичными [5]. ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАДАНИЕ 1. Генерирование последовательностей 1.1. Задайте гармоническую последовательность sin( ) n , 0, 1 n N (табл. 2). Постройте график. 1.2. Изменяя значение частоты на k при различных целых k, убедитесь, что последовательность sin( ) n периодична по частоте. 1.3. Подберите такое значение частоты, при котором последова- тельность sin( ) n периодична по n . 1.4. Задайте последовательность exp( ) j n , 0, 1 n N и постройте графики ее вещественной и мнимой частей, а также её модуля. 10 Т а б л и ц а 2 Вариант 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1.0 1.2 1.4 1.6 1.8 1.9 2.0 2.2 2.4 2.6 N 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 a 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.75 0.65 0.55 0.45 0.35 b 0.9 0.8 0.7 0.45 0.35 0.95 0.85 0.75 0.55 0.65 2. Определение скалярного произведения последовательностей 2.1. Задайте последовательности sin( ) n и cos( ) n одинаковой длины; частоту выберите так, чтобы длина последовательностей составляла целое число периодов. 2.2. Убедитесь, что скалярное произведение последовательностей равно 0. 2.3. Изменяя частоту , проверьте, изменяется ли скалярное про- изведение. 2.4. Задайте две последовательности экспоненциального вида n a , n b , 0, 1 n N ; найдите угол между ними. 2.5. Изменяя величины a и b , проследите за изменением угла. 3. Построение ортонормального базиса 3.1. Задайте линейно независимый набор последовательностей 2 3 (1, , , ) n n n конечной длины N . 3.2. Постройте на основе этого набора ортонормальный базис по методу Грама–Шмидта. 3.3. Отобразите построенные последовательности на одном графи- ческом поле (в целях наглядности рекомендуется отображать не сами последовательности, а их огибающие, показывая их сплошными лини- ями разных цветов). 3.4. Постройте на основе того же набора ортонормальный базис, рассматривая исходные последовательности в обратном порядке. Сравните результаты. КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ 1. Зачем вводится пространство последовательностей? Какие опе- рации необходимо задать на множестве последовательностей, чтобы оно стало линейным пространством? 11 2. Какие пространства называются гильбертовыми? 3. Что такое скалярное произведение? Что означает ортогональ- ность последовательностей? 4. Что такое норма? В чём её физический смысл? Что такое мет- рика? 5. Что такое базис? Сколько различных базисов можно задать в пространстве последовательностей? 6. Что такое ортонормальный базис? В чём состоят преимущества ортонормального базиса? 7. Сколько различных ортонормальных базисов можно задать в пространстве последовательностей? 8. Всегда ли периодична синусоидальная последовательность? Сформулируйте условие периодичности. 9. В чём состоит содержание шагов процедуры Грама–Шмидта? 10. Что такое равенство Парсеваля, в чём его смысл? 11. В чём заключается смысл обобщённой формулы Рэлея? 12 Лабораторная работа № 3 ВОЗДЕЙСТВИЕ СИГНАЛОВ НА ЛИС-ЦЕПИ. ЧАСТОТНЫЕ И ФАЗОВЫЕ ИСКАЖЕНИЯ Цель занятия – практическое исследование частотных и фазовых искажений сигналов при их прохождении через ЛИС-цепи. ПРЕДВАРИТЕЛЬНОЕ ЗАДАНИЕ Изучить вопросы, относящиеся к содержанию работы, по конспек- ту лекций и рекомендованным литературным источникам. Подгото- виться к ответу на контрольные вопросы. КРАТКИЕ ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ Влияние ЛИС-цепей на сигналы выражается в умножении спектра (спектральной плотности) сигнала на комплексную частотную харак- теристику цепи. Если модуль КЧХ (амплитудно-частотная характери- стика) отличается от константы, то имеют место частотные искаже- ния сигнала, которые обусловлены тем, что различные гармонические составляющие сигнала по-разному усиливаются или ослабляются цепью. Фазовые искажения вызываются тем, что разные гармоники сигнала приобретают при прохождении через цепь различные времен- ные сдвиги (задержки), чему соответствует нелинейная форма фазоча- стотной характеристики, которая представляет собой аргумент КЧХ. Вместе частотные и фазовые искажения называются линейными иска- жениями. Общим для них является то обстоятельство, что они сводят- ся к изменению амплитуд и начальных фаз гармонических составляю- щих, уже имеющихся в спектре сигнала. Искажения, связанные с появлением в спектре новых гармонических составляющих, принято 13 относить к нелинейным искажениям, хотя они могут возникать и в ли- нейных цепях с параметрами, зависящими от времени (линейных па- раметрических цепях). |