Методическое пособие для учителя Авторский коллектив фгаоу дпо Академия Минпросвещения России
 Скачать 2.73 Mb.
|
|
Месторасположение точки А Расстояние от A до B Маршрут Энн Маршрут Боба Маршрут Кори 1 2 3 4 Вы заметите, что независимо от расположения точки A и маршрута, длина от А до B остается одинаковой. Объясните, почему при применении любой из трех стратегий длина маршрута остается одинаковой. 2.2 Оценка уровня математической грамотности Рассмотрим, как осуществляется оценка трудности заданий и уровня математической грамотности учащихся. Разработчики инструментария исследования PISA обосновали, что возможно сконструировать шкалу измерения математической деятельности. Тогда каждому заданию будет отвечать точка на этой шкале, которая определяется с учетом его трудности, а каждому учащемуся будет соответствовать точка на этой же шкале, которая определяется с учетом продемонстрированного им уровня продуктивной деятельности при выполнении заданий. При этом реальная трудность тестового задания определяется с учетом процента выполнивших его учащихся, а уровень деятельности учащегося при выполнении конкретного теста может быть оценен с учетом количества и трудности заданий, с которыми он справился. Математическая модель, которая использовалась для анализа результатов исследования, вводилась с помощью итерационных процедур и одновременной оценки вероятности того, что конкретный ученик выполнит верно задания данного теста, и вероятности того, что конкретное задание 22 будет выполнено данной выборкой учащихся. В результате этих процедур стало возможным создать единую непрерывную шкалу оценок уровня математической грамотности. Реальная трудность задания оценивалась баллом, который определялся по этой шкале на основе результатов его выполнения учащимися-участниками исследования. Каждому учащемуся с учетом реальной трудности всех решенных им заданий по этой же шкале выставлялся балл, который оценивал уровень его математической грамотности. Для того чтобы характеризовать оценки учащихся с помощью постоянного и значимого по смыслу показателя, разработанная единая 1000-балльная шкала была разделена в 2012 г. на 6 интервалов по убыванию значений, определяющих разные уровни успешности учащихся при выполнении тестов. Каждый из этих интервалов определял один из 6 выделенных уровней успешности математической деятельности, которая требовалась для решения заданий, по трудности соответствующих данному интервалу значений. Характеристика каждого уровня составлена на основе содержания и математической деятельности, которая требуется для выполнения заданий с показателями трудности, принадлежащими интервалу шкалы, отвечающему данному уровню. Следует иметь в виду, что деятельность, характерная для предыдущих по сложности уровней грамотности, включается в последующие более высокие уровни грамотности. Различие математической деятельности, характерной для каждого из шести выделенных уровней, определяется: сложностью интерпретации и рассуждений, необходимых для решения проблемы; сложностью способа решения (от одношагового до многошагового решения); формой представления информации в описании предлагаемой ситуации (от единственной формы до нескольких форм); 23 сложностью математической аргументации (табл. 1 [6]). Таблица 1 Описание уровней математической грамотности в исследовании PISA Уровень Что могут делать учащиеся, достигшие данного уровня читательской грамотности 6 Учащиеся, достигшие 6-го уровня, как правило, способны делать многочисленные подробные и точные выводы, сравнения и противопоставления. Они демонстрируют полное и детальное понимание одного или нескольких текстов и могут объединять информацию, представленную в нескольких текстах. Работая с заданиями 6-го уровня, учащиеся сталкиваются с незнакомыми идеями в контексте явно противоречивой информации и должны быть в состоянии оперировать абстрактными категориями для интерпретации прочитанного. Учащиеся могут строить гипотезы, связанные со сложными текстами незнакомой им тематики, или критически оценивать содержание таких текстов, при этом учитывая несколько критериев или точек зрения и применяя общую эрудицию, не связанную с содержанием текста. Основополагающим условием для оценивания и проверки заданий этого уровня являются точность анализа и внимание к мельчайшим деталям текстов 5 Учащиеся, достигшие 5-го уровня, могут находить и систематизировать несколько фрагментов информации, которая неявным образом интегрирована в текст, определяя, чтó именно является релевантным. Рефлексивные задания требуют критического оценивания и построения гипотез, основывающихся на специализированном знании. Задания на рефлексию 24 Уровень Что могут делать учащиеся, достигшие данного уровня читательской грамотности и интерпретацию требуют полного и детализированного понимания текста, форма или содержание которого могут быть незнакомы учащемуся. Для всех аспектов чтения задания этого уровня обычно связаны с понятиями, содержание которых может противоречить тому, что ожидают учащиеся 4 Учащиеся, достигшие 4-го уровня, могут находить и систематизировать несколько фрагментов информации, которая неявным образом интегрирована в текст. Они также могут интерпретировать языковые тонкости в одной из частей текста, основываясь на тексте целиком. В других заданиях, связанных с интерпретацией, учащиеся демонстрируют понимание категорий и способность их применять в незнакомых контекстах. Кроме того, учащиеся на этом уровне могут использовать формальное или общедоступное знание для того, чтобы строить гипотезы на основании текста или критически оценивать его содержание. Учащиеся должны демонстрировать точное понимание длинных или сложных текстов, форма или содержание которых могут быть им незнакомы 3 Учащиеся, достигшие 3-го уровня, способны находить в тексте несколько фрагментов информации, которые отвечают определенным условиям, и в некоторых случаях определять взаимосвязь между ними. Они также в состоянии объединить информацию из нескольких частей текста для того, чтобы определить его основную идею, понять взаимосвязь между фрагментами текста или истолковать значение слова или фразы. В процессе выполнения заданий, связанных со сравнениями, 25 Уровень Что могут делать учащиеся, достигшие данного уровня читательской грамотности противопоставлениями или категоризацией, учащимся необходимо учитывать многие особенности текстов. Зачастую необходимая информация не является очевидной, в тексте также может быть большое количество противоречивой информации, или же в тексте могут содержаться другие сложности, например, идеи, которые противоположны ожиданиям учащихся или отрицательно сформулированы. Рефлексивные задания этого уровня могут быть связаны с сопоставлениями, сравнениями и объяснениями, от учащегося также может потребоваться оценить какую-либо особенность текста. Некоторые из рефлексивных заданий могут потребовать от учащегося продемонстрировать детальное понимание текста в отношении знакомого, повседневного знания. В некоторых заданиях детальное понимание текста не требуется, однако при этом необходимо делать выводы, основываясь на менее распространенном знании 2 Учащиеся, достигшие 2-го уровня, способны находить один или несколько фрагментов информации, которые, возможно, должны отвечать определенным условиям и на основании которых учащимся, возможно, нужно сделать выводы. Они могут понять, в чем заключается основная идея текста, понимать взаимоотношения между различными частями текста и истолковывать значение в рамках части текста в том случае, если информация неявно выражена и учащемуся необходимо сделать какие-либо базовые выводы. Задания этого уровня могут включать в себя сравнения или противопоставления, основанные на какой- 26 Уровень Что могут делать учащиеся, достигшие данного уровня читательской грамотности либо одной особенности текста. Типичные рефлексивные задания этого уровня требуют от учащихся сравнить или сопоставить информацию, представленную в тексте, с внешним знанием, основываясь на собственном опыте и мнении 1a Учащиеся, достигшие уровня 1a, могут находить один или несколько фрагментов четко выраженной информации, они также в состоянии понять основную идею или авторский замысел в тексте знакомой тематики, а также сопоставить информацию, представленную в тексте, с распространенным повседневным знанием. Обычно необходимая информация представлена в тексте явным образом, при этом в тексте мало противоречивой информации или же она отсутствует полностью. Учащегося четко направляют к рассмотрению определенных факторов в задании и в тексте 1b Учащиеся, достигшие уровня 1b, могут найти единственный фрагмент четко выраженной информации в коротком, синтаксически не осложненном тексте знакомой тематики и формы (например, повествовательной). В текстах этого уровня обычно содержатся подсказки для учащихся: повторения информации, картинки или знакомые символы. Количество противоречивой информации сведено к минимуму. Учащиеся, достигшие уровня 1b, могут интерпретировать тексты, устанавливая простые связи между смежными фрагментами информации 1c Несмотря на то, что можно измерить уровень грамотности учащихся, которые находятся ниже уровня 1b, описание того, что 27 Уровень Что могут делать учащиеся, достигшие данного уровня читательской грамотности они могут выполнять, достигнув этого уровня, не представляется возможным. В процессе подготовки нового материала для исследования PISA-2018 были разработаны задания, которые позволят измерять навыки чтения и понимания прочитанного, соответствующие уровню 1b или ниже Сами задания, предлагаемые PISA для оценки уровня математической грамотности, характеризуются тремя уровнями трудности: низкий, средний, высокий. Приведем задание низкого уровня трудности (рис. 14). Рис. 14. Задание низкого уровня трудности В каком месте трассы скорость машины была наименьшей при прохождении второго круга? Следующее задание относится к среднему уровню трудности (рис. 15). 28 Рис. 15. Задание среднего уровня трудности Задание на высокий уровень трудности (рис. 16, 17). Рис. 16. Задание низкого уровня трудности 29 Рис. 17. Задание низкого уровня трудности 30 3. Методика формирования математической грамотности 3.1 Конструирование заданий на формирование математической грамотности Отличительными особенностями заданий на формирование математической грамотности являются следующие: контекстность, проблемность, соответствие возрастным особенностям, обогащение социального опыта, познавательность, развитие компетенций, комплексность и уровневость. Для конструирования контекста заданий, мотивирующих обучающихся к освоению математической грамотности, необходимо знание их особенностей, что поможет лучше разобраться в том, какие у современных подростков есть интересы, потребности и предпочтения. На рисунке 18 представлен портрет современного подростка, из которого следует, что важным для них является семья, наличие хороших и верных друзей. Они также уважают технику, увлечены масс-медиа, стараются заботиться о своем здоровье. Отметим, что современные подростки прагматичны, но при этом инфантильны, им также присуща толерантность. Рис. 18. Портрет современного подростка 31 Для организации образовательного процесса по формированию математической грамотности следует также учитывать совокупность социальных ролей, которые должен освоить выпускник средней школы: работник; субъект профессионального самоопределения; субъект общения; гражданин; семьянин; субъект жизненного самоопределения; субъект непрерывного самообразования; потребитель; заемщик; кредитор; инвестор. Последние 4 роли связаны с необходимостью формирования у подростков финансовой грамотности. Критерий «проблемность» подразумевает наличие реальной противоречивой ситуации, характерной для этой возрастной категории, которая предполагает неопределенность и неоднозначность. Обогащение социального опыта должно быть связано с 4 видами контекста: личный, профессиональный, общественный, научный. Приведем примеры задач. 1. Социальная роль – «потребитель» (рис. 19, 20, 21 [2]) 32 Рис. 19. Пример задачи. Социальная роль – «потребитель» Рис. 20. Пример задачи. Социальная роль – «потребитель» 33 Рис. 21. Пример задачи. Социальная роль – «потребитель» 2. Социальная роль – «семьянин» (рис. 22, 23, 24, 25 [2]) Рис. 22. Пример задачи. Социальная роль – «семьянин» 34 Рис. 23. Пример задачи. Социальная роль – «семьянин» Рис. 24. Пример задачи. Социальная роль – «семьянин» Рис.25. Пример задачи. Социальная роль – «семьянин» 35 3.2 Методические приемы формирования математической грамотности Работа над формированием математической грамотности основана на следующих положениях: обучение математическому моделированию; сочетание теоретических и практических знаний; личная значимость приобретаемых знаний; обогащение социального опыта; межпредметная интеграция; освоение метадеятельности. Остановимся более подробно на процессе математического моделирования, который представляет собой идеальное научное знаковое формальное моделирование, при котором описание объекта осуществляется на языке математики, а исследование моделей осуществляется с использованием тех или иных математических методов. Как известно, процесс математического моделирования включает в себя несколько этапов. Первый из них – это математизация информации, т.е. перевод данных в математические величины, которые отражены в условии задачи. Следует также обратить внимание на единицы измерения величин (лучше, если в задаче будут использованы разные единицы измерения одной и той же величины, это даст лишний повод их повторить). Следующим шагом должно стать установление функциональной зависимости между величинами. Очень полезно поработать с записями в виде формул. Например, запись A = B ∙ C можно обыграть на разных величинах, уточняя каждый раз связь между ними. Можно, наоборот, предложить учащимся самостоятельно записать зависимость с помощью буквенной символики, используя величины, участвующие в условии. Третий этап – составление собственно математической задачи (уравнения, неравенства, системы уравнений и т.д.) и ее обязательное обоснование. К моменту работы с заданием все используемые способы и методы должны 36 быть освоены на уровне умений, так как целью должно стать формирование приемов математического моделирования. Решение собственно математической задачи должно быть быстрым, без громоздких вычислений (в крайнем случае, возможно использование калькулятора). Четвертый этап – интерпретация полученных результатов, сначала в математических терминах, а затем в контексте рассматриваемой реальной проблемы. Следующий этап – составление обобщенной модели с использованием буквенной символики. Для этого конкретные данные заменяем буквами (переменными). Необязательно все данные заменять сразу буквами, можно это делать последовательно. Далее предлагаем данные (например, таблицу), которые можно подставить в обобщенную модель и решить ее (у каждого учащегося – своя обобщенная модель). Обязательно подбираем такие данные, чтобы для них не существовало решения. Обсуждаем, почему так получилось. Рассмотрим предлагаемую методику на примере задания «Гостиница». Для развития туристического бизнеса мэрией города было принято решение о строительстве новой гостиницы. В ее проектировании, строительстве и оборудовании приняли участие студенты учебных заведений города. По проекту, который разработали с участием студентов архитектурного университета, в гостинице должно быть 200 современных одноместных и двухместных номеров. Бизнес-план, составленный студентами финансового университета, предполагал, что одноместный номер будет приносить 25 000 р. прибыли в месяц, а двухместный – 40 000 р. в месяц. Расчет прибыли основывается на предположении, что одноместные номера будут ежемесячно заполняться на 60%, а двухместные – на 80%. Вычислите, сколько одноместных и сколько двухместных номеров заложено в проект гостиницы, чтобы ежемесячная прибыль составляла 5 040 000 р.? Первый этап – это математизация информации, т.е. перевод данных в математические величины. В нашем случае – это доход, прибыль, количество 37 номеров. Необходимо обсудить с учащимися, в каких единицах измерения выражаются данные величины. Следующим шагом должно стать установление функциональной зависимости между величинами. Например, как связана прибыль гостиницы с количеством номеров и прибылью от каждого номера. Для этого следует рассмотреть запись A = B ∙ C, которую можно обыграть на таких величинах, как доход и количество номеров, прибыль, полученная от одного номера и количество номеров. Каждый раз уточняем связь между величинами. Третий этап – составление собственно математической задачи (уравнения, неравенства, системы и т. д.) и обязательно ее обоснование! Для рассматриваемой задачи это будет система линейных уравнений: { 𝑥 + 𝑦 = 200; 0,6 ∙ 25000 ∙ 𝑥 + 0,8 ∙ 40000 ∙ 𝑦 = 5040 Четвертый этап – интерпретация полученных результатов, сначала в математических терминах, а затем в терминологии задачи: x и y как решения системы линейных уравнений и количество одноместных и двухместных номеров. Пятый этап – составляем обобщенную модель с использованием буквенной символики для любой гостиницы с одноместными и двухместными номерами: { 𝑥 + 𝑦 = 𝐴; 𝑛 ∙ 𝐵 ∙ 𝑥 + 𝑚 ∙ 𝐶 ∙ 𝑦 = 𝐷 где x и y – количество одноместных и двухместных номеров соответственно, A – всего номеров, B, С, D – сумма прибыли (B – общая, С, D – для одноместных и двухместных номеров соответственно, n и m – заполнение номеров). Кроме специально разработанных заданий на формирование математической грамотности, учитель трансформировать текстовые арифметические задачи, которые в «чистом виде» таковыми не являются. 38 Для трансформации текстовых задач могут быть использованы следующие методические приемы. 1. Постановка проблемных вопросов: как изменятся решение и ответ задачи при изменении условий. При этом необходимо предусмотреть не только изменения количественных данных, но и самой реальной ситуации, контекст которой выступает основой для рассматриваемой задачи: изменилась технология, условия кредитования, способы транспортировки, новые тарифы и др.). 2. Цепочки задач, в которых ответ или условие предыдущей задачи служат данными (условием) для следующей, а также в неявной форме условие первой задачи использовано в следующей, например, срок эксплуатации, ограничения и др. 3. Комплексные задания, в которых требуется рассчитать различные данные о продукте, услуге (например, ресурсы, прибыль, оптимальный срок эксплуатации, упаковка и др.) 4. Использование различных источников и способов получения информации, в том числе, работа с базами данных, посещение различных финансовых и торговых организаций, проведение опросов и др. 5. Оценка оптимальности решения с различных аспектов (трудозатрат, финансовых затрат, организации и др.). 6. Использование различных способов визуализации информации в условиях и ответах к задаче. Рассмотрим некоторые из перечисленных выше приемов на примере решения следующей текстовой арифметической задачи. Задача 175 [1]. Получив премию, сотрудник решил положить ее на счет в банке. Он может открыть счет с годовым доходом 8%. Если банк выплачивал 11% годовых, то для получения такого же дохода потребовалось бы на 900 рублей меньше. Определите, сколько рублей составляла премия. 39 Перед тем как приступать непосредственно к решению, следует обсудить с учащимися, какие в настоящее время существуют ставки по вкладам, чем они отличаются, какие наиболее выгодны для различных целей. Для этого можно предложить учащимся заранее познакомиться с информацией, представленной на сайтах банков, поговорить с родителями, сходить в банк. Сравнить уровень инфляции и ставки по вкладам. Далее можно предложить учащимся определить цель накопления и рассмотреть серию задач, связанных с ее достижением с использованием различных способов сбережений. Для этого можно дать учащимся актуальную информацию из различных банков и предложить рассчитать возможные доходы. Таким образом, проблемный вопрос к исходной задачи может звучать следующим образом: «Какой доход максимальный (минимальный) доход может получить сотрудник фирмы, если бы он положил премию под проценты в банк в настоящее время?» Для усложнения исходной задачи учащимся следует предложить придумать цели, на которые необходимо накопить требуемую сумму и составить план сбережений с учетом актуальной информации из банков, рассмотреть возможные варианты выделения дополнительной суммы из заработной платы, способы экономии средств. Для формирования навыков визуализации можно предложить учащимся составить диаграммы изменения ставки по вкладам в банке за определенны срок, курсов доллара и евро и др. |