Методическое пособие по выполнению практических работ по предмет. Методическое пособие по выполнению практических работ по дисциплине Теория вероятностей и математическая статистика
 Скачать 1.23 Mb.
|
Практическая работа №5 «Решение задач по формуле полной вероятности событий и по формуле Байеса».Пусть события  удовлетворяют условиям  , если  , и  .Такую совокупность называют полной группой событий. Пусть интересующее нас событие А может наступить после реализации одного из Hi и известны вероятности p(Hi), p(A|Hi). В этом случае справедлива формула полной вероятности  .Пример 1. Литьё в болванках поступает из 2-х цехов: 70% из первого и 30% из второго. При этом продукция первого цеха имеет 10% брака, а второго 20%. Найти вероятность того, что одна взятая наугад болванка имеет дефект. Решение. p(H1)=0,7; p(H2)=0,3; p(A|H1)=0,1; p(A|H2)=0,2; Р=0,7*0,1+0,3*0,2=0,13 (13% болванок в цехе дефектны). Пример 2. В урне лежит N шаров, из которых n белых. Достаём из неё (без возвращения) два шара. Какова вероятность, что второй шар белый? Решение. H1 – первый шар белый; р(H1)=n/N; H2 – первый шар чёрный; p(H2)=(N-n)/N; A – второй шар чёрный;p(A|H1)=(n-1)/(N-1); p(A|H2)=n/(N-1) Р(A)=p(H1)*p(A|H1)+p(H2)*p(A|H2)=  Формула Байеса. Предположим, что выполняются условия предыдущего пункта и дополнительно известно, что событие А произошло. Найдём вероятность того, что при этом была реализована гипотеза Hk. По определению условной вероятности  Полученное соотношение - это формула Байеса. Она позволяет по известным (до проведения опыта) p(Hi) и условным вероятностямp(A|Hi) определить условную вероятность p(Hi/А), которую называют апостериорной (то есть полученной при условии, что в результате опыта событие А уже произошло). Пример 3. 30% пациентов, поступивших в больницу, принадлежат первой социальной группе, 20% - второй и 50% - третьей. Вероятность заболевания туберкулёзом для представителя каждой социальной группы соответственно равна 0,02, 0,03 и 0,01. Проведённые анализы для случайно выбранного пациента показали наличие туберкулёза. Найти вероятность того, что это представитель третьей группы. Решение. Пусть H1, H2, H3– гипотезы, заключающиеся в том, что пациент принадлежит соответственно первой, второй и третьей группам. Очевидно, что они образуют полную группу событий, причём p(H1)=0,3; p(H2)=0,2; p(H3)=0,5. По условию событие А, обнаружение туберкулёза у больного, произошло, причём условные вероятности по данным условия равны p(А/H1)=0,02; p(А/H2)=0,03; и p(А/H3)=0,01. Апостериорную вероятность p(H3/А) вычисляем по формуле Байеса:  . |